Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
Réduction des endomorphismes en Maths Spé
Résumé de cours Exercices et corrigés
Résumé de cours et méthodes – Réduction en MP, PC, PSI et PT
1. Utilisation des polynômes d’endomorphismes ou de matrices
1.1. Polynôme minimal d’un endomorphisme
est un -espace vectoriel,
, est un morphisme d’algèbre.
Ker est un idéal de , appelé idéal annulateur de .
Im est le sous-espace vectoriel engendré par . On le note .
Si est de dimension finie ,
l’idéal annulateur de est différent de , il est engendré par un unique polynôme unitaire appelé polynôme minimal de et noté .
Si est le degré du polynôme minimal de , admet pour base .
Si est un sev de non égal à et -stable et si l’endomorphisme de induit par , divise .
1.2. Polynôme minimal d’une matrice
Soit .
, est un morphisme d’algèbres.
Ker est un idéal de , appelé idéal annulateur de . Il est différent de , il est engendré par un unique polynôme unitaire appelé polynôme minimal de et noté .
Im est le sous-espace vectoriel engendré par . On le note .
Si est le degré du polynôme minimal de , admet pour base .
Si est un endomorphisme de de matrice dans une base de , et ont même polynôme minimal.
1.3. Lemme de décomposition des noyaux
Si est un endomorphisme du -espace vectoriel , si sont des éléments de deux à deux premiers entre eux, de produit égal à ,
.
COURS DE MATHS A DOMICILE
Les meilleurs profs de maths pour
réussir sa scolarité
En ligne ou à domicile
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
2. Synthèse des résultats – reduction des endomorphismes methodes
2.1. Pour un endomorphisme
Dans tout ce §, est un -espace vectoriel de dimension finie ,
est un élément de ,
un élément de .
On note le polynôme caractéristique de .
2.1.1. Valeurs propres d’un endomorphisme
Les conditions nécessaires et suffisantes :
n’est pas injectif.
,
La condition nécessaire:
Soit un élément de .
Si valeur propre de et , alors .
2.1.2. Polynôme caractéristique
, .
les racines de sont les valeurs propres de .
si est scindé sur et , si est l’ordre de multiplicité de si
, .
Si est un sev de non égal à et -stable et si l’endomorphisme de induit par , divise
.
Théorème de Cayley-Hamilton : .
2.1.3. Conditions de diagonalisibilité
Les conditions nécessaires et suffisantes :
est diagonalisable
il existe une base de formée de vecteurs propres de
il existe une base de dans laquelle la matrice de est diagonale
est scindé dans et pour tout
( ordre de multiplicité de la valeur propre dans )
il existe un polynôme de scindé dans , à racines simples, tel que
lorsque , est un polynôme annulateur de . C’est alors le polynôme minimal de .
le polynôme minimal de est scindé sur à racines simples.
la matrice de dans une base est diagonalisable.
.
La condition suffisante :
Si = dim et si a racines distinctes, est diagonalisable.
2.1.4. Endomorphisme induit
Si est un sous-espace vectoriel de différent de stable pour l’endomorphisme de , on note l’endomorphisme induit par sur ,
Le polynôme caractéristique de divise le polynôme caractéristique de
Si est diagonalisable, est diagonalisable.
2.2. Pour une matrice
Dans tout ce , et un élément de .
On note le polynôme caractéris- tique de .
2.2.1. Valeurs propres d’une matrice
Les conditions nécessaires et suffisantes :
est valeur propre de l’endomor- phisme canoniquement associé à
tel que
n’est pas inversible
.
La condition nécessaire :
Soit un élément de .
Si valeur propre de et , alors .
Donc si ,
2.2.2. Polynôme caractéristique
.
les racines de sont les valeurs propres de .
si est scindé sur et si est l’ordre de multiplicité de pour ,
,
, et toute matrice semblable à ont même polynôme caractéristique.
Théorème de Cayley-Hamilton : .
2.2.3. Conditions de diagonalisibilité
Les conditions nécessaires et suffisantes :
est diagonalisable
l’endomorphisme canoniquement associé à est diagonalisable.
il existe diagonale et telles que
est scindé sur et pour tout ,
( ordre de multiplicité de la valeur propre dans )
il existe un polynôme de scindé sur , à racines simples, tel que
lorsque , est un polynôme annulateur de .
le polynôme minimal de est scindé sur à racines simples.
est la matrice d’un endomorphisme diagonalisable.
.
La condition suffisante :
Si est carrée d’ordre et si a racines distinctes, la matrice est diagonalisable.
2.2.4. Cas particulier des matrices symétriques réelles (voir le chapitre espaces vectoriels euclidiens)
Théorème : Soit une matrice symétrique réelle carrée d’ordre .
Le polynôme caractéristique de est scindé sur
Les sous-espaces propres associés à des valeurs propres distinctes sont orthogonaux dans , muni du produit scalaire canonique.
est diagonalisable et il existe orthogonale et diagonale telles que .
Retrouvez l’ensemble des chapitres de Maths au programme de Maths Spé, grâce à nos cours en ligne pour les différentes filières. Ainsi, il vous est possible d’enrichir vos révisions et vos connaissances à l’aide d’une recherche de prof de maths à domicile, des cours en ligne de Maths en PC, des cours en ligne de Maths en MP et bien sûr des cours en ligne de Maths en PT et des cours en ligne de Maths en PSI.
3. Trouver le polynôme minimal de ou de
1er cas : le polynôme caractéristique de (ou de ) est scindé sur et étant deux à deux distincts,
.
Si est diagonalisable, .
Si n’est pas diagonalisable, on cherche sous la forme
où , , l’un au moins des étant supérieur ou égal à 2.
2ème cas : et le polynôme caractéristique de (ou de ) n’est pas scindé sur .
On suppose que , les polynômes étant deux à deux distincts unitaires, soit de degré 1, soit de degré 2 à discriminant strictement négatif et pour tout .
Chercher le polynôme minimal sous la forme
où , .
M3. Détermination de l’image (et seulement de l’image)
On cherche une matrice équivalente à la matrice en échelonnant les colonnes de par la méthode du pivot de Gauss. Les matrices et ont même image.
Une base de Im est formée par les colonnes échelonnées à pivot non nul de la matrice
COURS PARTICULIERS EN LIGNE
Nous avons sélectionné pour vous les meilleurs professeurs particuliers.
POUR ACCÉLÉRER MA PROGRESSION
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
4. Comment trouver les valeurs propres d’une matrice ?
Remarque : les méthodes ci-dessous peuvent être appliquées à un endomorphisme en introduisant sa matrice dans une base de .
Des résultats importants :
R1 : Si est un -espace vectoriel de dimension finie , tout endomorphisme de admet au moins une valeur propre complexe car admet au moins une racine dans .
Le résultat n’est pas vrai si est un -espace vectoriel :
Prendre tel que et où ) est la base canonique de
, .
R2 : Si , admet au moins une valeur propre complexe.
R3 : Si et si est impair, admet au moins une valeur propre réelle (puisque
et est impair).
R4 : Si , les valeurs propres non réelles de considérée comme élément de
sont deux à deux conjuguées et les sous-espaces propres de valeurs propres conjuguées ont même dimension.
Quand on écrit
les scalaires sont deux à deux distincts.
Lorsque est scindé et les valeurs propres ne sont pas distinctes 2 à 2, il faut dire : on note une liste de valeurs propres de .
M1. En calculant son polynôme caractéristique c’est-à-dire en calculant lorsque ,
Cette méthode a deux inconvénients :
cela nécessite un calcul de déterminant (qui peut être pénible quand ).
puis cela nécessite la recherche des racines d’un polynôme de degré (les calculs pouvant être compliqués pour lorsque le polynôme caractéristique n’a pas de racine évidente).
Mais elle peut être intéressante :
si est facilement calculable et factorisable, on connaît alors les valeurs propres de .
Exercice : Polynôme caractéristique d’une matrice compagnon. 🧡
Soit et ,
,
Montrer que est diagonalisable ssi le polynôme caractéristique de est scindé à racines simples.
5. Comment trouver les éléments propres d’une matrice ?
Rappel de deux résultats qui peuvent simplifier les calculs:
1) Si et si ,
et .
Si est valeur propre simple de , .
2) Si et si est une valeur propre de ,
est valeur propre de de même ordre de multiplicité,
vérifie
.
Il suffit donc de déterminer .
M1. On connaît déjà Sp
(en utilisant une des méthodes du § II-) ou des conditions nécessaires sur les valeurs propres de :
il suffit de résoudre pour ces valeurs de , l’équation , où .
M2. On ne connaît pas Sp (et on ne veut pas calculer ) :
il faut chercher et et tels que .
Pour cela, on peut :
utiliser le pivot de Gauss, chercher un système triangulaire équivalent et écrire que le système ainsi obtenu admet une solution non nulle (c’est à dire que la matrice triangulaire du système ainsi obtenu est non inversible si, et seulement si, si, et seulement si, le produit des termes de la diagonale de est nul).
par combinaison linéaire des équations, obtenir une condition nécessaire portant sur ou sur les et étudier ensuite la réciproque.
Il est indéniable que le travail personnel est la clé de la réussite en prépa et notamment en Maths Spé. Ainsi, pour vous aider à atteindre vos objectifs, nous vous mettons à disposition l’ensemble des chapitres des Maths au programme de Maths Spé, en voici quelques un :
- les matrices
- les espaces vectoriels normés
- les suites et séries de fonctions
- l’intégration sur un intervalle quelconque
- les séries entières
Si vous souhaitez accéder à l’ensemble des méthodes et aux corrigés des exemples, n’hésitez pas à télécharger l’application PrepApp