Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
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Méthodes Suites et séries de fonctions en MP, PC, PSI
Résumé de cours Exercices et corrigés
Résumé de cours et méthodes – Suites et séries de fonctions
1. Comment démontrer qu’une suite de fonctions converge uniformément sur
?
Les fonctions sont définies sur
à valeurs dans
(resp. l’e.v.n.
).
a) On détermine, pour tout de
, la limite
de la suite de scalaires (resp. vecteurs)
, c’est-à-dire on étudie la limite simple de
.
b) On vérifie que les fonctions sont bornées sur
pour
assez grand.
M1. On peut chercher à déterminer
et ensuite on regarde si
.
Lorsque les fonctions
et
sont à valeurs dans
, il suffit (lorsque les calculs sont simples) d’étudier les variations de
sur
, en faisant attention au signe de
et en utilisant le tableau de variation, on détermine
.
Lorsque les fonctions sont à valeurs dans
, il suffit d’étudier la fonction
sur
(fonction à valeurs dans
) pour déterminer
.
Pour des fonctions à valeurs dans
, il faudrait étudier la fonction
sur
.
On peut choisir une base de
et chercher à étudier la convergence uniforme sur
des suites de coordonnées
pour
vers la
-ème coordonnée
de
dans la base
et choisir une norme sur
utilisant cette base.
Exemple
On note si .
Convergence simple et uniforme de la suite de fonctions.
M2. Pour
, on peut chercher
tel que
(resp. ), la suite
étant convergente vers 0.
Dans les deux cas, ,
.
Exemple
Soit si et
,
.
Convergence simple et uniforme.




(soit selon le cas,



![Rendered by QuickLaTeX.com [0 ,\, 1]](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-44124a360bcb63431376ef5cb47ec12d_l3.png)

![Rendered by QuickLaTeX.com \forall\, n \in \mathbb{N}, \forall \, x \in [0, \, 1], \; f_n (x) = x^n f(x)](https://groupe-reussite.fr/ressources/wp-content/ql-cache/quicklatex.com-cc9df562cc71d144f0fc9856c16ced08_l3.png)
2. Comment prouver qu’une suite de fonctions ne converge pas uniformément sur
?
M1. Si
n’est pas bornée sur
pour
assez grand, la suite
ne converge pas uniformément vers
sur
.
Dans la suite, on suppose que les fonctions sont bornées sur
pour
assez grand.
M2. On démontre que la suite
ne converge pas vers 0.
Dans le cas particulier où et
sont à valeurs dans
, il suffit d’étudier
et de démontrer que la suite
ne converge pas vers 0.
Exemple
Appliquer M2 à .
M3. Il suffit de trouver une suite
de points de
telle que la suite
ne converge pas vers 0.
Exemple
Appliquer M3 à .
M4. Si pour tout
,
est continue sur
et s’il existe
tel que
est discontinue en
, la suite
ne converge pas uniformément vers
. (S’il y avait convergence uniforme,
devrait aussi être continue.).
Exemple
Appliquer M4 à .
M5. Lorsque la suite de fonctions continues
converge vers la fonction continue
sur
, s’il existe
où
et tel que
, la suite
ne converge pas uniformément vers
sur
.
Exemple
Appliquer M5 à sur
.
M6. On démontre que le théorème de la double limite ne s’applique pas :
c’est à dire étant une borne de l’intervalle
(resp. un point adhérent à
on démontre que pour tout
,
a une limite
finie (resp. dans
) en
, et on démontre que la suite
ne converge pas, ou que la limite simple
de la suite
n’admet pas
pour limite en
.
Exemple
Appliquer M6 à la suite de fonctions définies pour et
par
.
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3. Comment utiliser la convergence uniforme d’une suite de fonctions ?
M1. Continuité : Si la suite de fonctions continues
converge uniformément vers
sur
, la fonction
est continue sur
.
M1B. Pour démontrer que
est continue sur
, il suffit de montrer que
est une suite de fonctions continues sur
qui converge uniformément sur tout segment de
(resp. au voisinage de tout point
) vers
.
M2. On peut alors appliquer le théorème de la double limite : Si
est une borne de l’intervalle
(resp. un point adhérent à
), si la suite de fonctions
converge uniformément vers
sur
et si pour tout
de
,
où
(resp dans
), alors
admet une limite en
et
M3. Intégrale sur un segment :
Si est une suite de fonctions continues sur l’intervalle
qui converge uniformément sur tout segment de
vers la fonction
, lorsque
et
sont éléments de
,
.
M4. Dérivabilité :
On prouve que
pour tout
de
,
est de classe
sur l’intervalle
,
la suite
converge simplement sur
vers la fonction
,
la suite de fonctions
converge uniformément vers
sur tout segment de
.
Alors est de classe
sur
et
.
M5. Fonctions de classe
où
On prouve que
pour tout
de
,
est de classe
sur l’intervalle
,
pour tout
, la suite de fonctions
converge simplement sur
vers une fonction
la suite de fonctions
converge uniformément sur tout segment de
vers une fonction
.
Alors est de classe
sur I et pour tout
,
.
M6. Le théorème de convergence dominée (chapitre intégration sur un intervalle quelconque) permet d’intervertir, sous certaines conditions, l’intégrale et la limite (sans avoir besoin de la convergence uniforme).
Il y a deux théorèmes écrivant une fonction comme limite uniforme.
M7. Théorème de Weierstrass : Toute fonction
continue sur
à valeurs dans
est limite uniforme sur
d’une suite de fonctions polynômes à coefficients dans
.
M8. Toute fonction continue par morceaux sur
à valeurs dans
est limite uniforme sur
d’une suite de fonctions en escalier sur
.
Les étudiants en Maths Spé, peuvent se servir des cours en ligne de maths en PSI, des cours en ligne en PC de Maths ou des cours en ligne de Maths en MP et des cours de maths à domicile pour compléter leurs révisions en vue des concours des écoles d’ingénieurs.
4. Comment étudier la convergence d’une série de fonctions ?
Les questions à se poser quand on demande d’étudier la convergence de la série de fonctions de terme général sur l’intervalle
.
Q1. La série est-elle simplement convergente sur
? Si ce n’est pas le cas, on se place sur un intervalle
tel que
sur lequel la série de fonctions de terme général
converge simplement.
Q2. La série est-elle normalement convergente sur
? Si oui, l’étude de la convergence est terminée, car la série est uniformément convergente sur
.
Q3. Si la série n’est pas normalement convergente sur
, on cherche si
.
Si la suite
ne converge pas vers 0, il ne peut y avoir convergence uniforme.
Si la suite
converge vers 0, on peut étudier la convergence uniforme : dans ce cas, on regarde si
, où
est le reste d’ordre
de la série de terme général
.
Méthode d’étude :
ET1. Étudier la convergence simple de la série, c.a.d. étudier la série de terme général
: il s’agit d’un problème de convergence de série numérique (resp. de série vectorielle).
Il suffit de prouver que la série converge absolument (c’est à dire que ou
selon la nature de l’ensemble d’arrivée, converge).
ET2. Pour étudier la convergence normale (lorsque les fonctions
sont bornées sur I) :
soit on calcule
(en étudiant éventuellement la fonction
si elle est à valeurs dans
, et
si elle est à valeurs dans
) et on démontre que
converge.
soit on trouve
tel que
et tel que
converge (méthode à utiliser lorsque les variations de
sont compliquées pour les fonctions à valeurs dans
).
Il faudra peut-être restreindre l’intervalle et démontrer que la série converge normalement sur un intervalle (ou un ensemble) plus petit.
Pour des fonctions scalaires, il est inutile de vouloir étudier la convergence normale sur lorsqu’il existe
tel que la série de terme général
diverge, ou lorsque les fonctions
ne sont pas bornées sur l’intervalle
.
S’il existe tel que
diverge, en écrivant
, on démontre que
ne converge pas normalement sur
.
Quelques méthodes de choix d’intervalle pour démontrer une convergence normale dans le cas de fonctions définies sur un intervalle réel
l’intervalle de convergence simple noté
est ouvert : il est souvent nécessaire de se restreindre à un segment inclus dans
.
l’intervalle de convergence simple noté
est un intervalle centré en 0 : il est plus simple de démontrer que la série converge normalement sur un segment du type
où
.
en étudiant les variations de
(à valeurs réelles) sur
, on a trouvé
tel que
admette un maximum en
et
diverge, la fonction
changeant de sens de variation en
,
… lorsque ou
prendre
et
, démontrer qu’il existe
tel que si
et utiliser la monotonie de
sur
pour prouver la convergence normale sur
.
… lorsque ,introduire
, démontrer qu’il existe
tel que si
et utiliser la monotonie de
sur
pour prouver la convergence normale sur
.
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5. Comment utiliser la convergence uniforme d’une série de fonctions ?
Lorsque la série de fonctions de terme général est simplement convergente, on note
.
M1. Continuité : Si pour tout
,
est continue sur
et si
converge uniformément sur tout segment inclus dans
(resp. au voisinage de tout point
), la somme
est continue sur
.
M2. On peut alors appliquer le théorème de la double limite :
Si est une borne de l’intervalle
(resp.
est un point adhérent à
), si la série de fonctions de terme général
converge uniformément sur
et si pour tout
,
admet en
une limite
(resp.
), alors
.
exemple
Si et
,
étude de la limite de
en
.
M3. Intégrale sur un segment : Si pour tout
,
est continue sur
et si la série de terme général
converge uniformément sur
,
.
On verra un autre théorème permettant d’intervertir somme et intégrale avec une hypothèse de convergence simple. (cf chapitre intégration sur un intervalle quelconque).
M4. Dérivabilité : si l’on prouve que :
pour tout
de
,
est de classe
sur l’intervalle
,
converge simplement sur
,
converge uniformément sur tout segment de
,
la somme
est de classe
sur
et
.
M5. Fonctions de classe
où
: si l’on prouve que
pour tout
de
,
est de classe
sur l’intervalle
,
pour tout
,
converge simplement sur
,
converge uniformément sur tout segment de
,
la somme
est de classe
sur
et
.
Application à l’exponentielle d’une matrice, d’un endomorphisme :
A1 : Soit
et
.
a) On peut définir pour tout ,
notée aussi
.
La série converge normalement sur tout segment où
b) La fonction est de classe
sur
et pour tout
.
A2 : Soit
un
–espace vectoriel de dimension finie et
.
a) On peut définir pour tout ,
noté aussi
.
La série converge normalement sur tout segment où
b) La fonction est de classe
sur
et pour tout
.
En plus de ce cours en ligne sur les suites et séries de fonctions, de nombreux autres cours peuvent être retravaillés. En voici quelques exemples :
- l’intégration sur un intervalle quelconque
- les séries entières
- le dénombrement
- les intégrales à paramètre
- les variables aléatoires
Si vous souhaitez accéder à l’ensemble des méthodes et aux corrigés des exemples, n’hésitez pas à télécharger l’application PrepApp