Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
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Méthodes Suites et séries de fonctions en MP, PC, PSI
Résumé de cours Exercices et corrigés
Résumé de cours et méthodes – Suites et séries de fonctions
1. Comment démontrer qu’une suite de fonctions converge uniformément sur ?
Les fonctions sont définies sur à valeurs dans (resp. l’e.v.n. ).
a) On détermine, pour tout de , la limite de la suite de scalaires (resp. vecteurs) , c’est-à-dire on étudie la limite simple de .
b) On vérifie que les fonctions sont bornées sur pour assez grand.
M1. On peut chercher à déterminer et ensuite on regarde si .
Lorsque les fonctions et sont à valeurs dans , il suffit (lorsque les calculs sont simples) d’étudier les variations de sur , en faisant attention au signe de et en utilisant le tableau de variation, on détermine .
Lorsque les fonctions sont à valeurs dans , il suffit d’étudier la fonction sur (fonction à valeurs dans ) pour déterminer .
Pour des fonctions à valeurs dans , il faudrait étudier la fonction sur .
On peut choisir une base de et chercher à étudier la convergence uniforme sur des suites de coordonnées pour vers la -ème coordonnée de dans la base et choisir une norme sur utilisant cette base.
Exemple
On note si .
Convergence simple et uniforme de la suite de fonctions.
M2. Pour , on peut chercher tel que
(resp. ), la suite étant convergente vers 0.
Dans les deux cas, , .
Exemple
Soit si et , .
Convergence simple et uniforme.
(soit selon le cas, ou ).
2. Comment prouver qu’une suite de fonctions ne converge pas uniformément sur ?
M1. Si n’est pas bornée sur pour assez grand, la suite ne converge pas uniformément vers sur .
Dans la suite, on suppose que les fonctions sont bornées sur pour assez grand.
M2. On démontre que la suite ne converge pas vers 0.
Dans le cas particulier où et sont à valeurs dans , il suffit d’étudier et de démontrer que la suite ne converge pas vers 0.
Exemple
Appliquer M2 à .
M3. Il suffit de trouver une suite de points de telle que la suite ne converge pas vers 0.
Exemple
Appliquer M3 à .
M4. Si pour tout , est continue sur et s’il existe tel que est discontinue en , la suite ne converge pas uniformément vers . (S’il y avait convergence uniforme, devrait aussi être continue.).
Exemple
Appliquer M4 à .
M5. Lorsque la suite de fonctions continues converge vers la fonction continue sur , s’il existe où et tel que , la suite ne converge pas uniformément vers sur .
Exemple
Appliquer M5 à sur .
M6. On démontre que le théorème de la double limite ne s’applique pas :
c’est à dire étant une borne de l’intervalle (resp. un point adhérent à on démontre que pour tout , a une limite finie (resp. dans ) en , et on démontre que la suite ne converge pas, ou que la limite simple de la suite n’admet pas pour limite en .
Exemple
Appliquer M6 à la suite de fonctions définies pour et par .
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3. Comment utiliser la convergence uniforme d’une suite de fonctions ?
M1. Continuité : Si la suite de fonctions continues converge uniformément vers sur , la fonction est continue sur .
M1B. Pour démontrer que est continue sur , il suffit de montrer que est une suite de fonctions continues sur qui converge uniformément sur tout segment de (resp. au voisinage de tout point ) vers .
M2. On peut alors appliquer le théorème de la double limite : Si est une borne de l’intervalle (resp. un point adhérent à ), si la suite de fonctions converge uniformément vers sur et si pour tout de , où (resp dans ), alors admet une limite en et
M3. Intégrale sur un segment :
Si est une suite de fonctions continues sur l’intervalle qui converge uniformément sur tout segment de vers la fonction , lorsque et sont éléments de ,
.
M4. Dérivabilité :
On prouve que
pour tout de , est de classe sur l’intervalle ,
la suite converge simplement sur vers la fonction ,
la suite de fonctions converge uniformément vers sur tout segment de .
Alors est de classe sur et .
M5. Fonctions de classe où
On prouve que
pour tout de , est de classe sur l’intervalle ,
pour tout , la suite de fonctions converge simplement sur vers une fonction
la suite de fonctions converge uniformément sur tout segment de vers une fonction .
Alors est de classe sur I et pour tout , .
M6. Le théorème de convergence dominée (chapitre intégration sur un intervalle quelconque) permet d’intervertir, sous certaines conditions, l’intégrale et la limite (sans avoir besoin de la convergence uniforme).
Il y a deux théorèmes écrivant une fonction comme limite uniforme.
M7. Théorème de Weierstrass : Toute fonction continue sur à valeurs dans est limite uniforme sur d’une suite de fonctions polynômes à coefficients dans .
M8. Toute fonction continue par morceaux sur à valeurs dans est limite uniforme sur d’une suite de fonctions en escalier sur .
Les étudiants en Maths Spé, peuvent se servir des cours en ligne de maths en PSI, des cours en ligne en PC de Maths ou des cours en ligne de Maths en MP et des cours de maths à domicile pour compléter leurs révisions en vue des concours des écoles d’ingénieurs.
4. Comment étudier la convergence d’une série de fonctions ?
Les questions à se poser quand on demande d’étudier la convergence de la série de fonctions de terme général sur l’intervalle .
Q1. La série est-elle simplement convergente sur ? Si ce n’est pas le cas, on se place sur un intervalle tel que sur lequel la série de fonctions de terme général converge simplement.
Q2. La série est-elle normalement convergente sur ? Si oui, l’étude de la convergence est terminée, car la série est uniformément convergente sur .
Q3. Si la série n’est pas normalement convergente sur , on cherche si .
Si la suite ne converge pas vers 0, il ne peut y avoir convergence uniforme.
Si la suite converge vers 0, on peut étudier la convergence uniforme : dans ce cas, on regarde si , où est le reste d’ordre de la série de terme général .
Méthode d’étude :
ET1. Étudier la convergence simple de la série, c.a.d. étudier la série de terme général : il s’agit d’un problème de convergence de série numérique (resp. de série vectorielle).
Il suffit de prouver que la série converge absolument (c’est à dire que ou selon la nature de l’ensemble d’arrivée, converge).
ET2. Pour étudier la convergence normale (lorsque les fonctions sont bornées sur I) :
soit on calcule (en étudiant éventuellement la fonction si elle est à valeurs dans , et si elle est à valeurs dans ) et on démontre que converge.
soit on trouve tel que et tel que converge (méthode à utiliser lorsque les variations de sont compliquées pour les fonctions à valeurs dans ).
Il faudra peut-être restreindre l’intervalle et démontrer que la série converge normalement sur un intervalle (ou un ensemble) plus petit.
Pour des fonctions scalaires, il est inutile de vouloir étudier la convergence normale sur lorsqu’il existe tel que la série de terme général diverge, ou lorsque les fonctions ne sont pas bornées sur l’intervalle .
S’il existe tel que diverge, en écrivant , on démontre que ne converge pas normalement sur .
Quelques méthodes de choix d’intervalle pour démontrer une convergence normale dans le cas de fonctions définies sur un intervalle réel
l’intervalle de convergence simple noté est ouvert : il est souvent nécessaire de se restreindre à un segment inclus dans .
l’intervalle de convergence simple noté est un intervalle centré en 0 : il est plus simple de démontrer que la série converge normalement sur un segment du type où .
en étudiant les variations de (à valeurs réelles) sur , on a trouvé tel que admette un maximum en et diverge, la fonction changeant de sens de variation en ,
… lorsque ou prendre et , démontrer qu’il existe tel que si et utiliser la monotonie de sur pour prouver la convergence normale sur .
… lorsque ,introduire , démontrer qu’il existe tel que si et utiliser la monotonie de sur pour prouver la convergence normale sur .
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5. Comment utiliser la convergence uniforme d’une série de fonctions ?
Lorsque la série de fonctions de terme général est simplement convergente, on note .
M1. Continuité : Si pour tout , est continue sur et si converge uniformément sur tout segment inclus dans (resp. au voisinage de tout point ), la somme est continue sur .
M2. On peut alors appliquer le théorème de la double limite :
Si est une borne de l’intervalle (resp. est un point adhérent à ), si la série de fonctions de terme général converge uniformément sur et si pour tout , admet en une limite (resp. ), alors .
exemple
Si et , étude de la limite de en .
M3. Intégrale sur un segment : Si pour tout , est continue sur et si la série de terme général converge uniformément sur , .
On verra un autre théorème permettant d’intervertir somme et intégrale avec une hypothèse de convergence simple. (cf chapitre intégration sur un intervalle quelconque).
M4. Dérivabilité : si l’on prouve que :
pour tout de , est de classe sur l’intervalle ,
converge simplement sur ,
converge uniformément sur tout segment de ,
la somme est de classe sur et .
M5. Fonctions de classe où : si l’on prouve que
pour tout de , est de classe sur l’intervalle ,
pour tout , converge simplement sur ,
converge uniformément sur tout segment de ,
la somme est de classe sur et .
Application à l’exponentielle d’une matrice, d’un endomorphisme :
A1 : Soit et .
a) On peut définir pour tout , notée aussi .
La série converge normalement sur tout segment où
b) La fonction est de classe sur et pour tout .
A2 : Soit un –espace vectoriel de dimension finie et .
a) On peut définir pour tout , noté aussi .
La série converge normalement sur tout segment où
b) La fonction est de classe sur et pour tout .
En plus de ce cours en ligne sur les suites et séries de fonctions, de nombreux autres cours peuvent être retravaillés. En voici quelques exemples :
- l’intégration sur un intervalle quelconque
- les séries entières
- le dénombrement
- les intégrales à paramètre
- les variables aléatoires
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