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Cours sur les espaces vectoriels normés en MP, PC, PSI

Résumé de cours Exercices et corrigés

Résumé de cours et méthodes – Espaces vectoriels normés

1. Comment prouver que $N$ est une norme sur $E$ ?

$\bullet$ M1. Commencer par démontrer que $\forall \, x \in E, \; N(x)$ est bien défini et que $N(x)\geq 0$ (attention quand $N$ est défini en utilisant une borne supérieure, un maximum ou la somme d’une série).

Puis prouver :

$\ast$ (N1) : séparation

Si $x\in E$ , $N(x) = 0 \Rightarrow x = 0$

$\ast$ (N2) : homogénéité

$\forall x \in E,\, \forall \, \lambda \in \mathbb{K},\, N(\lambda \, x) = \vert\lambda \vert \, N(x)$

$\ast$ (N3) : inégalité triangulaire

$\forall (x , \, y) \in E^2,\, N(x + y) \leq N(x) + N(y)$ .

$\bullet$ M2. Ici $\mathbb{K} = \mathbb{R}$ . Montrer que $N$ est une norme euclidienne (y penser lorsque $N(x)$ s’exprime en fonction de la racine carrée d’une expression).

Dans ce cas, il faut montrer qu’il existe un produit scalaire $\varphi$ défini sur $E$ vérifiant $\forall x \in \, E ,\; N(x) =\sqrt {\varphi(x ,\, x)}$ .

On peut trouver l’expression de $\varphi$ en utilisant l’une des deux identités de polarisation :

$\varphi(x ,\, y) = \frac 1 2 (N(x + y)^2 - N(x)^2 - N(y)^2)$

ou $\varphi(x , \, y) = \frac 1 4 (N(x + y)^2 - N(x - y)^2).$

$\bullet$ M3. Soit $E = E_1\, \times\, E_2 \, \times\, \cdots \, \, \times\, E_n$ . Si pour tout $k \in \{ 1 , \,\cdots \, n \}$ , $\Vert \textrm { . } \Vert_k$ est une norme sur $E_k$ , les applications $N$ , $N_1$ et $N_2$ : $E \rightarrow \mathbb{R}$ , définies pour $x = (x_1 ,\, \cdots \, , \, x_n)$ où $\forall\, k \in \{ 1 , \,\cdots\, , \, n \}, x_k \in \, E_k$ par

$N(x) = \displaystyle \max_{1 \leq k \leq n} \Vert x_k \Vert _k$

$N_1(x) = \displaystyle \sum _{k = 1}^n \Vert x_k \Vert _k$

$N_2(x) = \displaystyle \sqrt { \sum _{k = 1}^n \Vert x_k \Vert _k^2 }$ .
sont des normes sur $E$ telles que pour tout $x \in \, E$ ,

$N(x) \leq N_2(x) \leq N_1(x) \leq n\, N(x)$ .

(s’applique pour $E_k = \mathbb{K}$ et $\Vert x \Vert _k = \, \mid x \mid$ , donc $E = \mathbb{K}^n$ ).

$\bullet$ M4. Utiliser les normes au programme.

$\ast$ M4.1. La norme de la convergence uniforme sur l’espace vectoriel $E$ des fonctions bornées sur $I$ à valeurs dans $\mathbb{K}$ :

si $f \in E$ , $\displaystyle \Vert f \Vert _{\infty} = \sup _{x \in I} \vert f(x) \vert$

$\ast$ M4.2. Sur l’espace vectoriel des suites bornées à valeurs dans $\mathbb{K}$

lorsque $u = (u_n)_n$ , $\displaystyle \Vert u \Vert _{\infty} = \sup _{n \in \mathbb{N}} \vert u_n\vert$ .

1) Homogénéité et max.

Par exemple sur

$E = \mathbb{K}^n$ pour

$\quad \displaystyle N(x) = N(x_1 ,\, \cdots \, ,\,x_n) = \max_{1\leq i\leq n}{\vert x_i\vert}$ , lorsque

$\lambda \in \mathbb{K}$ et

$x \in E$ ,

$\ast$ pour tout

$k$ ,

$\vert \lambda \, x_k \vert \leq \vert \lambda \vert N(x)$ , donc

$N(\lambda \, x ) \leq \vert \lambda \vert \, N(x)$ .

$\ast$ il existe

$j$ tel que

$N(x) = \vert x_j \vert$ , alors

$\vert \lambda \, x_j \vert =\vert \lambda \vert N(x)$ , donc

$N(\lambda \, x ) \geq \vert \lambda \vert \, N(x)$ .

Par double inégalité,

$N(\lambda \, x ) = \vert \lambda \vert\, N(x)$ .

2) Inégalité triangulaire et max.

On continue avec la même fonction

$N$ .

Pour tout

$x , \, y \in E$ , pour tout

$k$ ,

$\vert x_k + y_k\vert \leq \vert x_k\vert + \vert y_k\vert\leq N(x) + N(y)$ , donc

$N(x + y) \leq N(x) + N(y)$ .

3) Homogénéité et sup (par exemple pour la norme de la convergence uniforme sur

$E$ , espace vectoriel des fonctions bornées sur

$[a,\,b]$ ).

Soit

$\lambda \in \mathbb{K}$ et

$f \in E$ .

$\bullet$ Si

$\lambda = 0$ , il est évident que

$\quad \quad \Vert \lambda\, f \Vert _{\infty}= \vert \lambda \vert \; \Vert f \Vert _{\infty}$ .

$\bullet$ On suppose

$\lambda \neq 0$ .

$\ast$ Pour tout

$x \in [a, \,b] , \vert \lambda \, f(x)\vert \leq \vert \lambda\vert \, \Vert f \Vert _{\infty}$ .

Donc

$\Vert \lambda \, f \Vert _{\infty} \leq \vert \lambda\vert \,\Vert f \Vert _{\infty}$ .

$\ast$ En utilisant le résultat précédent avec

$g = \lambda \, f$ et

$1/\lambda$ ,

$\Vert 1/\lambda\, . \,\lambda \, f \Vert _{\infty} \leq \vert 1/\lambda \vert \, \Vert\lambda \, f \Vert _{\infty}$

ce qui donne

$\vert \lambda \vert \, \Vert f \Vert _{\infty} \leq \Vert \lambda \, f \Vert _{\infty}$ .

On obtient l’homogénéité par double inégalité.

4) Inégalité triangulaire et sup (avec le même exemple)

$f ,\, g \in E$ , pour tout

$x \in \, [a, \,b]$ ,

$\vert f(x) + g(x) \vert \leq \vert f(x) \vert + \vert g(x)\vert$

$\Rightarrow \vert f(x) + g(x) \vert \leq \Vert f \Vert _{\infty} + \Vert g \Vert _{\infty} \,$ , donc

$\Vert f + g \Vert _{\infty}\leq \Vert f \Vert _{\infty} + \Vert g \Vert _{\infty}\,$ .

2. Comment étudier l’équivalence des normes ?

$\bullet$ M1. Pour prouver que deux normes $N$ et $N'$ sur le $\mathbb{K}$ -espace vectoriel $E$ sont équivalentes, il faut trouver deux réels $\alpha$ et $\beta$ strictement positifs tels que : $\quad \forall \, x \in \, E, \;\alpha\, N(x) \leq N'(x) \leq \beta \, N(x)$ .

$\bullet$ M2. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes : il n’y a rien à faire sauf si l’on demande des valeurs de $\alpha$ et $\beta$ .

$\bullet$ M3. En dimension infinie, pour prouver que deux normes $N$ et $N'$ ne sont pas équivalentes, il suffit de trouver une suite

$(u_n)_n$ de $E$ telle que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac {N(u_n)} {N'(u_n)} = +\infty$ ou telle que $\displaystyle \lim_{n \to \infty} \frac {N'(u_n)} {N(u_n)} = +\infty$ .

Les notions conservées pour des normes équivalentes : suite convergente et sa limite, point adhérent, point intérieur, ouvert, fermé, ensemble borné, limite, continuité.

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3. Comment prouver qu’une suite d’un $\mathbb{K}$ -e.v.n. converge ?

Lorsque $E$ n’est pas de dimension finie, l’énoncé introduit une norme $N$ sur $E$ .

Lorsque $E$ est de dimension finie, on peut choisir une norme particulière simplifiant les calculs.

Pour démontrer que la suite $(u_n)_{n \geq 0}$ converge dans $(E , \, N)$ :

$\bullet$ M1. Trouver $L$ de $E$ tel que la suite de réels $(N(u_n - L))_n$ converge vers 0.

$\bullet$ M2. Trouver $L$ de $E$ tel que

$\forall \, \varepsilon > 0, \exists\, n_0 \in \mathbb{N}, \forall \, n \in \mathbb{N},$

$(n\geq n_0 \Rightarrow N(u_n - L) \leq \varepsilon)$ .

$\bullet$ M3. Si $E$ est un $\mathbb{K}$ -espace vectoriel de dimension finie, on peut introduire une base $b = (e_1 ,\, e_2 ,\, \cdots \, , \, e_p)$ de $E$ et en écrivant $\displaystyle u_n =\sum _{k= 1}^p u_n(k) \, e_k$ , montrer que pour tout $k \in \{ 1 , \, \cdots \, \, p \}$ , la suite de scalaires $(u_n(k))_n$ converge dans $\mathbb{K}$ .

Cette méthode peut être utilisée en particulier pour étudier la limite d’une suite $(A_n)_n$ de matrices de type $(p , \,q)$ , en étudiant, pour tout couple $(i ,\, j)$ où $1 \leq i \leq p, \, 1\leq j \leq q$ , la limite de la suite $n \mapsto a_{i,j}(n)$ , où $a_{i,j}(n)$ est le terme de la ligne $i$ et colonne $j$ de $A_n$ :

La suite $(A_n)_n$ converge ssi pour tout $(i,\, j)$ de $\{ 1 , \, \cdots \, \, p \}\times \{ 1 , \, \cdots \, \, q \}$ , la suite $(a_{i,j}(n))_n$ converge.

Dans ce cas, $\; \; \displaystyle \lim _ {n \to \infty } A_n = \left ( \lim _ {n \to \infty } a_n(i , j) \right ) _ {1 \leq i \leq p , 1\leq j \leq q }$ .

$\bullet$ M4. En appliquant les résultats usuels sur les opérations sur les suites convergentes.

Pour aller plus loin dans les révisions et pourquoi pas prendre de l’avance sur les cours enseignés en classe en prépa, jetez un œil sur les différents cours en ligne de Maths en PSI, les cours en ligne de Maths en PC et aussi les cours en ligne de Maths en MP.

4. Comment raisonner avec les valeurs d’adhérence d’une suite ?

Lorsque $E$ n’est pas de dimension finie, l’énoncé introduit une norme $N$ sur $E$ . Lorsque $E$ est de dimension finie, on peut choisir la norme dans $E$ , la notion de valeur d’adhérence ne dépend pas de la norme choisie.

$\bullet$ Def. $x \in \, E$ est une valeur d’adhérence de la suite $(a_n)_n$ de $E$ si, et seulement si, il existe une suite extraite

$(a_{\varphi(n)} ) _ n$ qui converge vers $x$ .

$\bullet$ U1. Une suite ayant au moins deux valeurs d’adhérence distinctes diverge.

$\bullet$ U2. Théorème de Bolzano- Weierstrass : toute suite réelle bornée admet une valeur d’adhérence.

$\bullet$ U3. Une suite bornée d’un espace vectoriel de dimension finie converge si, et seulement si, elle a une unique valeur d’adhérence.

$\bullet$ U4. Une partie non vide $A$ est un compact si, et seulement si, toute suite de $A$ admet une valeur d’adhérence.

$\bullet$ U5. Une suite d’éléments d’une partie compacte converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d’adhérence.

$\bullet$ U6. Une suite bornée d’un espace vectoriel de dimension finie converge si, et seulement si, elle a une unique valeur d’adhérence.

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5. Comment raisonner avec des points adhérents ?

Lorsque $E$ n’est pas de dimension finie, l’énoncé introduit une norme $N$ sur $E$ ; lorsque $E$ est de dimension finie, on peut choisir la norme dans $E$ .

Pour démontrer que $a$ est adhérent à la partie non vide $F$ (lorsque $a \notin F$ ) :

$\bullet$ M1. démontrer qu’il existe une suite $(a_n)_n$ de points de $F$ qui converge vers $a$ .

$\bullet$ M2. démontrer que $\quad \quad \forall \varepsilon > 0, \; B_o(a , \,\varepsilon) \cap F \not = \emptyset$ .

$\bullet$ M3. L’adhérence de $A$ , notée $\overline A$ , est l’ensemble des points adhérents à $A$ , elle contient $A$ .

C’est le plus petit fermé de $(E,\,N)$ contenant $A$ .

$\bullet$ M4. Une partie $A$ de $(E , \,N)$ est dense dans $E$ lorsque $\overline A = E$ .

Exemples :

L’adhérence de $B_0(a,r)$ est $B_f(a,r)$ .

$\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ .

Certains étudiants de Maths Spé se relâchent considérablement lorsqu’ils ne sont pas suivis en cours de soutien de maths ou lors d’un stage de maths spé de révision. Ainsi, pour éviter ce relâchement et rester à un bon niveau, les étudiants sont vivement incités à consulter les cours en ligne ainsi que les exercices corrigés au programme de Maths Spé, comme :

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