Chapitres du sous-test 2 du Tage Mage

Cours sur les puissances : règles de calcul, formules et puissances de 10

Par Seda Biber, mis à jour le 20/10/2026

Une puissance est un produit de facteurs tous égaux : $a^n = a \times a \times \dots \times a$ , avec n facteurs. Pour calculer avec des puissances d’un même nombre, on applique trois règles : pour multiplier, on additionne les exposants ( $a^n \times a^m = a^{n+m}$ ) ; pour diviser, on soustrait les exposants ( $\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ ) ; pour élever une puissance à une puissance, on multiplie les exposants ( $(a^n)^m = a^{n \times m}$ ). Il n’existe pas de règle pour additionner des puissances. Ces règles servent au collège, au lycée et dans les épreuves de calcul du Tage Mage. Si les puissances vous posent problème, des cours particuliers de maths ou un stage de maths pendant les vacances permettent de reprendre les bases.

Ce cours fait partie des fiches en ligne de Groupe Réussite. Ces fiches sont rédigées par l’équipe qui organise nos cours particuliers à domicile et nos cours particuliers en ligne. Vous êtes étudiant ou enseignant et vous maîtrisez ces notions ? Vous pouvez donner des cours particuliers avec nous.

Résumé : les règles de calcul des puissances

Dans ce tableau, a et b sont des nombres non nuls, n et m des nombres entiers relatifs.

Règle	Formule	Exemple
Exposant 1	$a^1 = a$	$7^1 = 7$
Exposant 0	$a^0 = 1$	$5^0 = 1$
Produit de deux puissances d’un même nombre	$a^n \times a^m = a^{n+m}$	$2^3 \times 2^4 = 2^7$
Quotient de deux puissances d’un même nombre	$\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$	$\dfrac{5^6}{5^2} = 5^4$
Puissance d’une puissance	$(a^n)^m = a^{n \times m}$	$(3^2)^4 = 3^8$
Puissance d’un produit	$(a \times b)^n = a^n \times b^n$	$(2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3$
Puissance d’un quotient	$\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$	$\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{4}{9}$
Exposant négatif	$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$	$10^{-3} = \dfrac{1}{10^3} = 0{,}001$

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Qu’est-ce qu’une puissance d’un nombre ?

Pour un nombre a et un entier n supérieur ou égal à 2, la puissance n^e de a est le produit de n facteurs égaux à a :

$a^n = \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ facteurs}}$

On lit $a^n$ « a puissance n » ou « a exposant n ». Le nombre a s’appelle la base et n s’appelle l’exposant. Par exemple, $2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$ : la base est 2 et l’exposant est 5.

$a^2$ se lit « a au carré » : c’est l’aire d’un carré de côté a, d’où son nom.
$a^3$ se lit « a au cube » : c’est le volume d’un cube d’arête a.
Par convention, $a^1 = a$ et, si a n’est pas nul, $a^0 = 1$ .

Les carrés reviennent dans de nombreux chapitres, par exemple avec le théorème de Pythagore, et l’opération inverse du carré est la racine carrée : $\sqrt{25} = 5$ car $5^2 = 25$ .

Pourquoi un nombre puissance 0 est-il égal à 1 ?

Prenons les puissances de 2 et divisons par 2 à chaque étape : $2^3 = 8$ , $2^2 = 4$ , $2^1 = 2$ . En divisant encore par 2, on obtient $2^0 = 1$ . La règle du quotient donne le même résultat : $\dfrac{2^3}{2^3} = 2^{3-3} = 2^0$ , et un nombre divisé par lui-même vaut 1. Ainsi $10^0 = 1$ , $7^0 = 1$ et $1^0 = 1$ . Le cas $0^0$ n’est pas étudié au collège.

Le signe d’une puissance d’un nombre négatif

Les parenthèses changent le résultat :

$(-2)^4 = (-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2) = 16$ : la base est −2 ;
$-2^4 = -(2 \times 2 \times 2 \times 2) = -16$ : la base est 2, et le signe moins s’applique au résultat.

Une puissance d’un nombre négatif est positive si l’exposant est pair, négative si l’exposant est impair : $(-3)^2 = 9$ mais $(-3)^3 = -27$ .

Comment calculer une puissance ?

Pour calculer $a^n$ , on multiplie a par lui-même autant de fois que l’indique l’exposant : $3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$ . Attention, $3^4$ n’est pas égal à $3 \times 4 = 12$ .

Sur une calculatrice, on utilise la touche ^ (ou $x^y$ , ou $x^\square$ selon les modèles) : pour $3^4$ , on tape 3 ^ 4. Dans un calcul, les puissances sont prioritaires sur la multiplication et l’addition : $2 + 3^2 = 2 + 9 = 11$ et $5 \times 2^3 = 5 \times 8 = 40$ .

Les puissances à connaître par cœur

Le programme de 5^e demande de connaître les carrés des entiers de 0 à 12 et le cube de 10. Les premières puissances de 2 sont aussi très utiles en calcul mental.

n	$n^2$	$n^3$	$2^n$
1	1	1	2
2	4	8	4
3	9	27	8
4	16	64	16
5	25	125	32
6	36	216	64
7	49	343	128
8	64	512	256
9	81	729	512
10	100	1 000	1 024
11	121	1 331	2 048
12	144	1 728	4 096

Les puissances servent aussi à compter : un code à 4 chiffres, où chaque chiffre va de 0 à 9, offre $10^4 = 10\,000$ possibilités. Ce raisonnement est développé dans le cours de dénombrement.

Quelles sont les règles de calcul des puissances ?

Les règles qui suivent s’appliquent à des nombres a et b non nuls et à des exposants entiers n et m. Elles se retrouvent toutes en revenant à la définition : il suffit de compter les facteurs.

Multiplier deux puissances d’un même nombre

On garde la base et on additionne les exposants : $a^n \times a^m = a^{n+m}$ .

Exemple : $2^3 \times 2^4 = (2 \times 2 \times 2) \times (2 \times 2 \times 2 \times 2) = 2^7$ . On compte 3 + 4 = 7 facteurs.

Autre exemple : le double de $2^{11}$ est $2 \times 2^{11} = 2^1 \times 2^{11} = 2^{12}$ .

Diviser deux puissances d’un même nombre

On garde la base et on soustrait les exposants : $\dfrac{a^n}{a^m} = a^{n-m}$ .

Exemple : $\dfrac{5^6}{5^2} = 5^{6-2} = 5^4$ , car on simplifie deux facteurs 5 en haut et en bas.

Autre exemple : le tiers de $3^{12}$ est $\dfrac{3^{12}}{3} = 3^{12-1} = 3^{11}$ .

Calculer la puissance d’une puissance

On garde la base et on multiplie les exposants : $(a^n)^m = a^{n \times m}$ .

Exemple : $(3^2)^4 = 3^2 \times 3^2 \times 3^2 \times 3^2 = 3^{2+2+2+2} = 3^8$ .

Cette règle permet de changer de base. Comme $27 = 3^3$ , on a $27^5 = (3^3)^5 = 3^{15}$ .

Calculer la puissance d’un produit ou d’un quotient

L’exposant s’applique à chaque facteur : $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ et $\left(\dfrac{a}{b}\right)^n = \dfrac{a^n}{b^n}$ .

$(2 \times 5)^3 = 2^3 \times 5^3 = 8 \times 125 = 1\,000$ , et l’on vérifie que $10^3 = 1\,000$ .
$35^4 = (5 \times 7)^4 = 5^4 \times 7^4$ . Cette écriture sert à décomposer un nombre en produit de facteurs premiers, une méthode vue en arithmétique.
$\left(\dfrac{2}{3}\right)^2 = \dfrac{2^2}{3^2} = \dfrac{4}{9}$ . Pour revoir le calcul avec les fractions, consultez le cours sur les opérations sur les fractions.

Les mêmes règles s’appliquent en calcul littéral : $x^2 \times x^3 = x^5$ et $(2x)^3 = 8x^3$ . Vous pouvez vous entraîner avec nos exercices corrigés d’algèbre.

💡 Astuce : les règles du produit et du quotient ne marchent qu’avec la même base. Pour

$2^3 \times 5^3$ , ce sont les exposants qui sont égaux : on utilise la règle du produit,

$2^3 \times 5^3 = (2 \times 5)^3 = 10^3$ .

Comment calculer une puissance négative ?

Pour un nombre a non nul et un entier n positif, $a^{-n}$ est l’inverse de $a^n$ :

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

$2^{-1} = \dfrac{1}{2} = 0{,}5$
$2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$
$10^{-4} = \dfrac{1}{10^4} = 0{,}0001$

Un exposant négatif ne rend pas le résultat négatif : $2^{-3}$ est un nombre positif, plus petit que 1. Les règles de calcul restent les mêmes : $10^{-4} \times 10^4 = 10^{-4+4} = 10^0 = 1$ , et $\dfrac{2^3}{2^5} = 2^{3-5} = 2^{-2} = \dfrac{1}{4}$ .

Peut-on additionner des puissances ?

Non, il n’existe pas de formule pour $a^n + a^m$ . En particulier, $a^n + a^m$ n’est pas égal à $a^{n+m}$ : $2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12$ , alors que $2^5 = 32$ . Pour une somme ou une différence de puissances, on calcule chaque puissance puis on additionne : $10^2 + 10^3 = 100 + 1\,000 = 1\,100$ .

On peut parfois factoriser quand les puissances sont identiques :

$3^{12} + 3^{12} + 3^{12} = 3 \times 3^{12} = 3^{13}$ ;
$2^{11} + 2^{11} = 2 \times 2^{11} = 2^{12}$ ;
$5^4 + 5^3 = 5^3 \times 5 + 5^3 = 5^3 \times (5 + 1) = 6 \times 5^3$ .

Pas de règle non plus pour une puissance d’une somme : $(a + b)^2$ n’est pas égal à $a^2 + b^2$ . Par exemple, $(1 + 2)^2 = 9$ , alors que $1^2 + 2^2 = 5$ .

Comment calculer avec les puissances de 10 ?

Pour un entier n positif, $10^n$ s’écrit avec un 1 suivi de n zéros, et $10^{-n}$ s’écrit avec n chiffres après la virgule, le dernier étant 1 : $10^6 = 1\,000\,000$ et $10^{-6} = 0{,}000001$ .

Le tableau des puissances de 10 et des préfixes

Puissance de 10	Écriture décimale	Préfixe	Exemple
$10^9$	1 000 000 000 (un milliard)	giga (G)	1 Go = $10^9$ octets
$10^6$	1 000 000 (un million)	méga (M)	1 MW = $10^6$ W
$10^3$	1 000	kilo (k)	1 km = $10^3$ m
$10^2$	100	hecto (h)	1 hL = $10^2$ L
$10^1$	10	déca (da)	1 dam = 10 m
$10^0$	1	aucun	1 m
$10^{-1}$	0,1	déci (d)	1 dm = $10^{-1}$ m
$10^{-2}$	0,01	centi (c)	1 cm = $10^{-2}$ m
$10^{-3}$	0,001	milli (m)	1 mg = $10^{-3}$ g
$10^{-6}$	0,000001	micro (µ)	1 µm = $10^{-6}$ m
$10^{-9}$	0,000000001	nano (n)	1 nm = $10^{-9}$ m

Les règles de calcul avec les puissances de 10

Ce sont les règles générales, appliquées à la base 10 :

$10^5 \times 10^{-2} = 10^{5+(-2)} = 10^3$ ;
$\dfrac{10^2}{10^{-3}} = 10^{2-(-3)} = 10^5$ ;
$(10^{-2})^3 = 10^{-6}$ .

Multiplier un nombre par $10^n$ décale la virgule de n rangs vers la droite, et le multiplier par $10^{-n}$ la décale de n rangs vers la gauche : $3{,}7 \times 10^3 = 3\,700$ et $3{,}7 \times 10^{-3} = 0{,}0037$ .

Convertir des unités avec les puissances de 10

Grandeur	Conversions
Longueurs	1 km = $10^3$ m ; 1 m = $10^3$ mm
Aires	1 km² = $10^6$ m² ; 1 m² = $10^6$ mm² ; 1 ha = $10^4$ m² ; 1 km² = 100 ha
Volumes	1 km³ = $10^9$ m³ ; 1 m³ = $10^9$ mm³ ; 1 L = 1 dm³
Masses	1 t = $10^3$ kg = $10^6$ g ; 1 kg = $10^3$ g ; 1 g = $10^3$ mg

Pour les aires, l’exposant est doublé, et triplé pour les volumes : comme 1 m = $10^3$ mm, on a 1 m² = $(10^3)^2$ mm² = $10^6$ mm², et 1 m³ = $(10^3)^3$ mm³ = $10^9$ mm³. Les formules d’aire et de volume sont rappelées dans le cours sur les figures géométriques.

Qu’est-ce que l’écriture scientifique d’un nombre ?

Un nombre positif est écrit en notation scientifique lorsqu’il a la forme $a \times 10^n$ , avec a compris entre 1 (inclus) et 10 (exclu), et n un entier relatif. Le nombre a a un seul chiffre non nul avant la virgule.

Nombre	Écriture scientifique
150 000 000	$1{,}5 \times 10^8$
4 720	$4{,}72 \times 10^3$
0,00032	$3{,}2 \times 10^{-4}$
0,0001	$1 \times 10^{-4}$ , soit $10^{-4}$

Pour passer à l’écriture scientifique, on place la virgule après le premier chiffre non nul, puis on compte de combien de rangs elle s’est déplacée. Le nombre $0{,}00032$ devient 3,2 après un déplacement de 4 rangs vers la droite : on compense avec $10^{-4}$ .

L’écriture scientifique donne aussi l’ordre de grandeur d’un résultat. À la calculatrice, $259\,325 \times 159\,485 = 41\,358\,447\,625$ , soit environ $4{,}14 \times 10^{10}$ . Ce produit est donc compris entre $10^{10}$ et $10^{11}$ .

Quelles erreurs éviter avec les puissances ?

Erreur fréquente	Calcul correct
$3^4 = 3 \times 4 = 12$	$3^4 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81$
$2^3 + 2^2 = 2^5$	$2^3 + 2^2 = 8 + 4 = 12$
$2^3 \times 2^4 = 2^{12}$	On additionne les exposants : $2^7$
$2^3 \times 2^4 = 4^7$	On garde la base : $2^7$
$(3^2)^4 = 3^6$	On multiplie les exposants : $3^8$
$-2^4 = 16$	$-2^4 = -16$ , mais $(-2)^4 = 16$
$2^{-3} = -8$	$2^{-3} = \dfrac{1}{8} = 0{,}125$
$(a + b)^2 = a^2 + b^2$	$(1 + 2)^2 = 9$ , alors que $1^2 + 2^2 = 5$

Les puissances servent aussi dans les calculs d’évolution : deux hausses successives de 10 % multiplient un prix par $1{,}1^2 = 1{,}21$ , soit une hausse de 21 %. Cette méthode est détaillée dans le cours sur les pourcentages. Pour vous entraîner sur toutes ces règles, faites nos exercices corrigés sur les puissances.

En quelle classe apprend-on les puissances ?

Classe	Ce que l’élève apprend
5^e	Notion de puissance avec le carré et le cube, carrés des entiers de 0 à 12, cube de 10, calculs avec des puissances simples
4^e	Puissances d’exposant positif, produit de puissances d’un même nombre et de puissances de même exposant, problèmes
3^e	Puissances d’exposant négatif, produits et quotients de puissances, notation scientifique
Lycée	Puissances d’exposant entier relatif dans tous les calculs, puis fonctions exponentielles et suites géométriques

Cette répartition suit le programme de mathématiques du cycle 4 publié au Bulletin officiel du 5 mars 2026. Il s’applique en 5^e depuis la rentrée 2026, en 4^e à la rentrée 2027 et en 3^e à la rentrée 2028. Les préfixes des puissances de 10, de nano à giga, sont introduits au fil du cycle, selon les besoins.

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FAQ : questions fréquentes sur les puissances

Quelle est la formule d'une puissance ?

Pour un nombre a et un entier n supérieur ou égal à 2, aⁿ = a × a × … × a, avec n facteurs égaux à a. Par exemple, 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32. Par convention, a¹ = a et a⁰ = 1.

Comment multiplier des puissances ?

Si les puissances ont la même base, on garde la base et on additionne les exposants : 2³ × 2⁴ = 2⁷. Si elles ont le même exposant, on multiplie les bases : 2³ × 5³ = 10³. Sinon, on calcule chaque puissance avant de multiplier.

Comment additionner des puissances ?

Il n'existe pas de règle pour additionner des puissances : on calcule chaque puissance, puis on fait la somme. Par exemple, 2³ + 2² = 8 + 4 = 12. Quand les puissances sont identiques, on peut factoriser : 3¹² + 3¹² + 3¹² = 3 × 3¹² = 3¹³.

Que vaut 10 puissance -4 ?

10⁻⁴ = 1 / 10⁴ = 0,0001. Un exposant négatif donne l'inverse de la puissance positive : le nombre obtenu est positif et plus petit que 1.

Pourquoi un nombre exposant 0 est-il égal à 1 ?

En divisant une puissance par elle-même, on obtient 1 d'un côté et a⁰ de l'autre, car aⁿ / aⁿ = aⁿ⁻ⁿ = a⁰. Par exemple, 2³ / 2³ = 8 / 8 = 1. Cette règle vaut pour tout nombre a non nul : 10⁰ = 1 et 7⁰ = 1.

Que signifie une puissance 1/2 ?

Au lycée, on rencontre parfois des exposants fractionnaires. Pour un nombre a positif, a puissance 1/2 est la racine carrée de a : 25 puissance 1/2 = √25 = 5.

Sources

Ministère de l’Éducation nationale, Programme de mathématiques du cycle 4, annexe 2 de l’arrêté du 18 février 2026, BO n° 10 du 5 mars 2026
Académie de Bordeaux, Le programme de 5e, juillet 2026
Bureau international des poids et mesures (BIPM), Le Système international d’unités (SI), 9e édition, 2019