Cours arithmétique : nombres premiers, divisibilité, PPCM & PGCD

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne du Tage Mage

Les programmes de maths au collège et au lycée à partir de l’année de troisième se suivent avec souvent les mêmes chapitres qui reviennent et qui sont approfondis chaque année. C’est le cas du chapitre sur l’arithmétique qui au programme de maths de 3ème mais également au programme en seconde et en terminale. Ce chapitre important est très utile pour préparer le Tage Mage et le Score IAE Message également. Ainsi connaitre les critères de divisibilité d’un nombre, les propriétés d’un nombre premier et savoir utiliser le PPCM et PGCD est aussi nécessaire en vue de la préparation au baccalauréat.

1. Définition divisibilité

Définition et Vocabulaire :

Si a, b et k sont trois entiers relatifs tels que a = b × k, alors :

• b est un diviseur de a.
• k est un diviseur de a.
• a est un multiple de b (et de k).

Autrement dit :

• 7 est un diviseur de 35. En effet : « lorsque l’on divise 35 par 7, ça tombe juste ».
• 36 est un multiple de 12 signifie : « 36 est dans la table de multiplication de 12 ».

Un nombre (autre que 1) admet toujours au moins 2 diviseurs : 1 et lui même.

2. Nombres premiers

Un nombre premier est un nombre qui admet exactement 2 diviseurs : 1 et lui même.

Autre façon de comprendre la définition : un nombre est premier si

• sa seule décomposition est « 1 × lui même ».
• on ne peut le diviser par aucun autre nombre (sauf 1 et lui même)

1 n’est pas premier (un seul diviseur).

Liste des nombres premiers :

2 – 3  – 7 – 11 – 13 – 17 – 19 – 23 – 29 – 31 – 37 – 41 – 43 – 47 – 53 – 59 – 61 – 67 – 71 – 73 – 79 – 83 – 89 – 97 – 101 etc.

2 est le seul nombre pair et premier.

3. Critères de divisibilité

• Un nombre est divisible par 3 ou multiple de 3 si la somme de ses chiffres et dans la table de 3.
  • Exemple 2751. On a 2 + 7 + 5 + 1 = 15, multiple de 3 donc 2751 est lui-même multiple de 3.
• Un nombre est divisible par 4 si ses deux derniers chiffres forment un multiple de 4.
  • Exemple : 5312 est un multiple de 4 car les 2 derniers chiffres 12 sont un multiple de 4.
• Un nombre est divisible par 5 s’il se termine par 0 ou par 5.
  • Exemple : 1230 est divisible par 5.
• Un nombre est divisible par 9 ou multiple de 9 si la somme de ses chiffres et dans la table de 9.
  • Exemple 2751. On a 2 + 7 + 5 + 1 = 15, n’est pas un multiple de 9.
• Un nombre est divisible par 6 s’il est divisible par 3 et par 2. Autrement dit, s’il est pair et que la somme de ses chiffres est un multiple de 3
  • Exemple : 72 est divisible par 6

A retenir sur les critères de divisibilité : 

• Si N est un multiple de 12, alors c’est un multiple de 3 et 4
• Si X est un diviseur de 15, alors c’est un diviseur de 30 ou 45

Attention : 

• Si Y est un diviseur de 60, Y n’est pas nécessairement un diviseur de 15.
• Si A est un multiple de 5, A n’est pas nécessairement un multiple de 15.

4. PPCM

PPCM : Plus Petit Commun Multiple

Question type PPCM au Tage Mage :

Sarah et Jessica sont à la bibliothèque et préparent leur bac de mathématiques. Sarah fait un exercice complet toutes les 24 minutes tandis que pour Jessica, il lui faut 40 minutes. Elles décident de prendre une pause uniquement si elles ont toutes les deux fini un exercice. Sachant qu’elles commencent leur révision à 9h, à quelle heure pourront-elles prendre leur première pause ?

A) 9h40

B) 10h12

C) 10h20

D) 10h40

E) 11h

Résolution de l’exemple sur les PPCM :

Il faut ici trouver le plus petit multiple de 40 min et 24 min pour qu’elles aient toutes deux fini un certain nombre d’exercices (pas le même nombre d’exercices) et qu’elles puissent toutes deux prendre la pause. Ces nombres n’étant pas si petits, on utilise la décomposition en facteurs premiers ; on ne veut que des nombres premiers :

24 = 6×4 = 3×2×2×2 = 2³×3

40 = 8×5 = 2³×5

Pour déterminer le PPCM, on prend les plus grandes puissances de chacun des facteurs, ce qui donne : 2³×3×5 = 120. Il faudra donc attendre 120 min soit 2h pour qu’elles soient toutes les deux à la fin d’un exercice, soit à 11h.

Pour déterminer le PPCM entre deux nombres :

1. On les décompose en facteurs premiers
2. Puis on prend les plus grandes puissances présentes

5. PGCD

PGCD : Plus Grand Commun Diviseur

Question type PGCD au Tage Mage.

Un professeur d’EPS souhaite faire des équipes pour un tournoi incluant plusieurs disciplines sportives. Il y a 108 garçons et 84 filles. Les équipes doivent être identiques entre elles, même nombre de filles et de garçons par équipe et il doit utiliser tous ses élèves. Combien d’équipes au maximum pourra-t-il alors composer ?

A) 4 équipes

B) 6 équipes

C) 12 équipes

D) 18 équipes

E) 84 équipes

Résolution de l’exemple sur les PGCD :

Si le prof fait 2 équipes, il y aura 54 garçons et 42 filles par équipes. Ces deux équipes sont bien identiques entre elles mais ce n’est évidemment pas le nombre maximum d’équipes possibles.

Le nombre d’équipes doit être un diviseur de 108 et de 84, sinon il restera des élèves sans équipe. De plus, on veut un maximum d’équipes, on cherche donc le plus grand de ces diviseurs communs, le PGCD. On décompose ces deux nombres en facteurs premiers :

108 = 2×54 = 2×9×6 = 2×3×3×2×3 = 2²×3³

84 = 12×7 = 2×2×3×7 = 2²×3×7

Pour déterminer le PGCD on doit prendre les plus petites puissances des facteurs, on prend ce qu’il y a en commun entre eux, ce qui donne : 2²×3 = 12. Le professeur pourra donc faire 12 équipes. Et la composition de chacune sera : 9 garçons (9×12 = 108) et 7 filles (7×12 = 84).

Pour déterminer le PGCD entre deux nombres :

1. On les décompose en facteurs premiers
2. Puis on prend les plus petites puissances présentes

Comme tout examen, le Tage Mage doit être préparé pour obtenir le meilleur score possible. Les cours en ligne du sous-test 2 suivants, vous permettent ainsi de pouvoir faire une préparation complète et efficace depuis chez vous :

• les puissances
• la proportionnalité
• le dénombrement
• les probabilités
• les moyennes