Chapitres du sous-test 2 du Tage Mage

Cours sur le dénombrement : cours, formules et applications

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne du Tage Mage

Moins connu que les probabilités, le dénombrement est pourtant un chapitre essentiel pour la préparation du Tage Mage. En effet, dans ce chapitre, on apprend à compter ! Il est souvent question de trouver le nombre de possibilités dans telle ou telle situation, ce qui permet ensuite de calculer les probabilités. Il est donc indispensable de maîtriser cette notion pour bien se préparer au Gmat et pour obtenir un bon score IAE Message. Si le dénombrement est surtout étudié en post-bac dans le programme de prépa HEC ou de MP, il n’est pas rare de faire du dénombrement sans le savoir pour les révisions du bac en probabilité.

Exemple type sur le dénombrement :

Exemple dénombrement dans un restaurant :

Sur la carte d’un restaurant, on peut opter pour un menu décrit comme suit :

Quatre entrées au choix : chèvre chaud, salade composée, crevettes cocktails ou pâté en croûte.
Deux plats au choix : poisson et riz ou viande et haricots
Trois desserts au choix : salade de fruits, mousse au chocolat ou flan maison.

Combien peut-on former de menus différents ?

Réponse exemple dénombrement dans le restaurant :

C’est sans doute l’exemple le plus abordable et instinctif, néanmoins pour être certain de bien compter, il faut se poser les bonnes questions !

On symbolise le menu :

Entrée – Plat – Dessert

Les questions à se poser :

Pour l’entrée, combien a-t-on de possibilités ? On en a 4

Pour le plat, combien a-t-on de possibilités ? On en a 2

Et pour le dessert ? On en a 3

4 – 2 – 3

Au total : $4 \times 2 \times 3 = 24$ menus différents.

Si ce n’est pas clair :

Supposons qu’on choisisse le chèvre chaud : on peut lui associer 2 plats et pour chaque plat, on peut encore lui associer 3 desserts. Donc si on choisit le chèvre chaud, on peut encore former 2 plats 3 desserts soit 6 combinaisons. Et cela pour chaque entrée.

D’où le résultat : $4 \times 2 \times 3 = 24$ menus différents.

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Exemple type dénombrement avec des voyages :

Patrick veut faire un petit tour d’Europe et visiter les villes suivantes : Madrid, Lisbonne, Rome et Berlin. Combien de combinaisons de voyage peut-il faire ?

Réponses exemples dénombrement avec les voyages :

C’est le cas le plus courant. Et, pour compter de la bonne manière, il faut se poser les bonnes questions !

On symbolise les 4 villes :

Ville n°1 – Ville n°2 – Ville n°3 – Ville n°4

Les questions à se poser :

Pour la 1ère ville, combien a-t-il de possibilités ? Réponse 4 (les 4 villes de l’énoncé)

Pour la 2ème ville, combien a-t-il de possibilités ? Réponse 3 (l’une d’elles a été choisie en 1)

Pour la 3ème ville, combien a-t-il de possibilités ? Réponse 2 (2 ont déjà été choisies)

Pour la 4ème ville, combien a-t-il de possibilités ? Plus qu’une seule.

4 possibilités – 3 possibilités – 2 possibilités – 1 possibilité

On les multiplie entre elles, en effet pour chacune des 4 possibilités pour la première ville, on en a 3 autres pour la suivantes : donc 4 $\times$ 3. Et ainsi de suite.

Donc le nombre total est 4 $\times$ 3 $\times$ 2 $\times$ 1 = 24 combinaisons différentes de voyage.

A noter :

4 $\times$ 3 $\times$ 2 $\times$ 1 se note 4! et se lit factorielle de 4.

Et donc 6! = 6 $\times$ 5 $\times$ 4 $\times$ 3 $\times$ 2 $\times$ 1

Exemple type dénombrement avec un code :

Le code d’entrée d’un immeuble est constitué de quatre chiffres et d’une lettre (A ou B).

Sachant que la lettre est située au milieu, combien de codes différents peut-on former ?

Réponse exemple dénombrement avec un code :

On va encore se poser les (mêmes) bonnes questions pour répondre. On remarque ici que les répétitions sont possibles, contrairement aux exemples précédents et que sans plus de précisions, on prend pour vrai que l’on dispose de tous les chiffres : de 0 à 9 comme « dans la vraie vie ».

1er chiffre – 2ème chiffre – La lettre – 3ème chiffre – 4ème chiffre

Pour le 1er chiffre, combien a-t-on de possibilités ? Réponse 10 (0, 1, 2, … 9)

Pour le 2ème chiffre combien a-t-on de possibilités ? Réponse 10 également, les répétitions ne sont pas interdites.

Pour la lettre, il y a 2 possibilités : A ou B

Pour le 3ème chiffre combien a-t-on de possibilités ? Réponse 10

Pour le 4ème chiffre combien a-t-on de possibilités ? Réponse 10

10 – 10 – 2 – 10 – 10

Finalement, le nombre total de codes est :

10 $\times$ 10 $\times$ 2 $\times$ 10 $\times$ 10 = 2 $\times$ 10 000 soit 20 000 codes différents.

Exemple type dénombrement avec des combinaisons :

Sur le modèle du scrabble, on dispose de 10 lettres différentes dans la main. Combien de mots différents de trois lettres peut-on former ? (qu’ils aient un sens ou non)

Réponse exemple de dénombrement avec des combinaisons :

Posons-nous à nouveau les bonnes questions :

1ère lettre – 2ème lettre – 3ème lettre

Pour la 1ère lettre, combien a-t-on de possibilités ? Réponse 10

Pour la 2ème lettre, combien a-t-on de possibilités ? Réponse : plus que 9. L’une d’entre elles a déjà été posée.

Pour la 3ème lettre, combien a-t-on de possibilités ? Il n’en reste plus que 8 étant donné que 2 lettres sont déjà posées.

10 – 9 – 8

Finalement, le nombre total de mots est : 10 $\times$ 9 $\times$ 8 = 720.

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