Cours en ligne Maths en Maths Spé
Chapitres Maths en MP, PSI, PC, TSI, PT
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Cours sur les espaces vectoriels normés en MP, PC, PSI
Résumé de cours Exercices et corrigés
Résumé de cours et méthodes – Espaces vectoriels normés
1. Comment prouver que est une norme sur ?
M1. Commencer par démontrer que est bien défini et que (attention quand est défini en utilisant une borne supérieure, un maximum ou la somme d’une série).
Puis prouver :
(N1) : séparation
Si ,
(N2) : homogénéité
(N3) : inégalité triangulaire
.
M2. Ici . Montrer que est une norme euclidienne (y penser lorsque s’exprime en fonction de la racine carrée d’une expression).
Dans ce cas, il faut montrer qu’il existe un produit scalaire défini sur vérifiant .
On peut trouver l’expression de en utilisant l’une des deux identités de polarisation :
ou
M3. Soit . Si pour tout , est une norme sur , les applications , et : , définies pour où par
.
sont des normes sur telles que pour tout ,
.
(s’applique pour et , donc ).
M4. Utiliser les normes au programme.
M4.1. La norme de la convergence uniforme sur l’espace vectoriel des fonctions bornées sur à valeurs dans :
si ,
M4.2. Sur l’espace vectoriel des suites bornées à valeurs dans
lorsque , .
2. Comment étudier l’équivalence des normes ?
M1. Pour prouver que deux normes et sur le -espace vectoriel sont équivalentes, il faut trouver deux réels et strictement positifs tels que : .
M2. En dimension finie, toutes les normes sont équivalentes : il n’y a rien à faire sauf si l’on demande des valeurs de et .
M3. En dimension infinie, pour prouver que deux normes et ne sont pas équivalentes, il suffit de trouver une suite
de telle que ou telle que .
Les notions conservées pour des normes équivalentes : suite convergente et sa limite, point adhérent, point intérieur, ouvert, fermé, ensemble borné, limite, continuité.
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3. Comment prouver qu’une suite d’un -e.v.n. converge ?
Lorsque n’est pas de dimension finie, l’énoncé introduit une norme sur .
Lorsque est de dimension finie, on peut choisir une norme particulière simplifiant les calculs.
Pour démontrer que la suite converge dans :
M1. Trouver de tel que la suite de réels converge vers 0.
M2. Trouver de tel que
.
M3. Si est un -espace vectoriel de dimension finie, on peut introduire une base de et en écrivant , montrer que pour tout , la suite de scalaires converge dans .
Cette méthode peut être utilisée en particulier pour étudier la limite d’une suite de matrices de type , en étudiant, pour tout couple où , la limite de la suite , où est le terme de la ligne et colonne de :
La suite converge ssi pour tout de , la suite converge.
Dans ce cas, .
M4. En appliquant les résultats usuels sur les opérations sur les suites convergentes.
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4. Comment raisonner avec les valeurs d’adhérence d’une suite ?
Lorsque n’est pas de dimension finie, l’énoncé introduit une norme sur . Lorsque est de dimension finie, on peut choisir la norme dans , la notion de valeur d’adhérence ne dépend pas de la norme choisie.
Def. est une valeur d’adhérence de la suite de si, et seulement si, il existe une suite extraite
qui converge vers .
U1. Une suite ayant au moins deux valeurs d’adhérence distinctes diverge.
U2. Théorème de Bolzano- Weierstrass : toute suite réelle bornée admet une valeur d’adhérence.
U3. Une suite bornée d’un espace vectoriel de dimension finie converge si, et seulement si, elle a une unique valeur d’adhérence.
U4. Une partie non vide est un compact si, et seulement si, toute suite de admet une valeur d’adhérence.
U5. Une suite d’éléments d’une partie compacte converge si, et seulement si, elle admet une unique valeur d’adhérence.
U6. Une suite bornée d’un espace vectoriel de dimension finie converge si, et seulement si, elle a une unique valeur d’adhérence.
5. Comment raisonner avec des points adhérents ?
Lorsque n’est pas de dimension finie, l’énoncé introduit une norme sur ; lorsque est de dimension finie, on peut choisir la norme dans .
Pour démontrer que est adhérent à la partie non vide (lorsque ) :
M1. démontrer qu’il existe une suite de points de qui converge vers .
M2. démontrer que .
M3. L’adhérence de , notée , est l’ensemble des points adhérents à , elle contient .
C’est le plus petit fermé de contenant .
M4. Une partie de est dense dans lorsque .
Exemples :
L’adhérence de est .
est dense dans .
Certains étudiants de Maths Spé se relâchent considérablement lorsqu’ils ne sont pas suivis en cours de soutien de maths ou lors d’un stage de maths spé de révision. Ainsi, pour éviter ce relâchement et rester à un bon niveau, les étudiants sont vivement incités à consulter les cours en ligne ainsi que les exercices corrigés au programme de Maths Spé, comme :
- les suites et séries de fonctions
- l’intégration sur un intervalle quelconque
- les séries entières
- le dénombrement
- les intégrales à paramètre
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