Exercices nombres premiers, critères de divisibilité, PGCD & PPCM

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne du Tage Mage

Il est indispensable de faire des exercices sur les critères de divisibilité, les nombres premiers, le PPCM et PGCD pour tout élève qui souhaite préparer le bac ou encore préparer le Tage Mage et le Score IAE Message. Les corrigés peuvent vous aider à mieux comprendre les notions. Une base d’exercices et de corrigés plus complète se trouve sur l’application mobile PrepApp à télécharger gratuitement.

1. Exercices d’arithmétique

Exercice 1 : PPCM et PGCD

Quel est le plus petit nombre divisible par 5 et 7 ?

Exercice 2 : PPCM et critères de divisibilité

Quel est le plus petit nombre divisible par 12 et 16 ?

Exercice 3 : PPCM et PGCD

Quel est le plus petit nombre divisible par 2, 3, 4, 5, 12 et 15 ?

Exercice 4 : nombres premiers et critères de divisibilité

Parmi ces cinq nombres, quel est le seul qui est un nombre premier ?

A) 213

B) 102

C) 143

D) 91

E) 101

Exercice 5 : critères de divisibilité

Alice dispose d’un certain nombre de billes. Si elle fait des tas de 5, il lui en reste 1, si elle fait des tas de 7, il lui en reste 2. Quel peut être le nombre de billes d’Alice ?

A) 26

B) 35

C) 31

D) 51

E) 70

Vrai ou Faux : critères de divisibilité, nombres premiers, PPCM, PGCD

1. Si X est un diviseur de 36, alors X est un diviseur de 9.
2. Si Y est divisible par 15, alors il est divisible par 3.
3. Si N est un multiple de 4 et de 7, alors N est un multiple de 28.
4. Le petit grand diviseur commun de 96 et de 60 est 6.
5. 117 est un nombre premier

2. Corrigés exercices d’arithmétique

Exercice corrigé 1 : PPCM et PGCD

Rappel : deux nombres sont premiers entre eux s’ils n’ont aucun diviseur commun excepté 1.

• 7 et 9 sont premiers entre eux
• 8 et 12 ne sont pas premiers entre eux : ils sont tous deux divisibles par 2 et 4

Ici, 5 et 7 sont premiers entre eux, donc le plus petit nombre divisible à la fois par 5 et par 7 est 5×7=35.

Remarque : trouver le plus petit nombre divisible par 5 et 7 revient à trouver le Plus Petit Commun Multiple (PPCM).

Exercice corrigé 2 : PPCM et critères de divisibilité

12 et 16 ne sont pas premiers entre eux, tous deux divisibles par 2 et 4. Il nous faut trouver leur plus petit multiple commun.

Méthode « à la main » :

On teste les différents multiples de 16 et on s’arrête quand on trouve aussi les multiple de 12 :

Table de 16 : 16 – 32 – 48 – 64 etc.

On remarque que 48=12×4, c’est lui le plus petit.

Méthode plus « rigoureuse » :

On décompose ces deux nombres :

• 12 = 4×3
• 16= 4×4

Pour trouver le plus petit multiple de ces deux nombres, il faut que tous les diviseurs soient présents mais sans répéter ceux qui sont en commun, ici 4. On conserve donc 4×3×4 soit 48.

Exercice corrigé 3 sur PGCD et PPCM

On procède de même à savoir ne pas répéter les nombres déjà présents. En effet dans 12, il y a déjà 4×3. Et dans 4, il y a déjà « du 2 ». De même dans 15 c’est 5×3 donc inutile de le compter encore.

Donc pour trouver le plus petit nombre contenant « du » 2, 3, 4, 5, 12 et 15, il ne faut conserver que 3, 4 et 5 et tout le monde est bien « représenté ». Le nombre vaut donc 3×4×5 soit 60.

Exercice corrigé 4 : nombres premiers et critères de divisibilité

Rappel : Un nombre premier est un nombre qui n’admet que deux diviseurs : 1 et lui même.

Autrement dit :

• « il est dans la table de personne »
• « il ne peut être divisé par personne (autre qui 1 et lui même) »

21 n’est pas un nombre premier car 3 x 7 = 21, il est donc dans la table de 3 et 7.

On va procéder par élimination :

• 213 : la somme des ses chiffres est 2+1+3 = 6 qui est un multiple de 3. Donc 213 est un multiple de 3, il n’est donc pas premier.
• 102 est pair il ne peut pas être premier.

Rappel : 2 est le seul nombre à la fois premier et pair

• 143. Il fallait voir que dans la construction de ce nombre : 1+3 = 4 (le chiffre du milieu) c’est un critère pour être un multiple de 11, donc 143 est multiple de 11.

On aurait également pu remarquer que 143 = 130 +13, donc un multiple de 13. Ce nombre n’est pas premier.

91 : un grand classique à connaître par cœur : 91 = 13×7.

Exercice corrigé 5 : critères de divisibilité

On peut tester les propositions ou raisonner. On va raisonner :

• Si elle fait des tas de 5, il lui en reste 1. Il fallait comprendre que son nombre de billes est « 1 au dessus d’un multiple de 5 » comme par exemple 16 (3 tas de 5, il en reste 1) ou 21. Autrement dit on cherche un nombre qui se termine par 1 ou 6.
• Si elle fait des tas de 7, il lui en reste 2, cela signifie que le nombre de billes est 2 au dessus d’un multiple de 7 comme par exemple 16 (2 tas de 7, il en reste 2) ou 37 etc.

Le nombre 51 fonctionne :

• 10 tas de 5, il en reste une : 5×10+1
• 7 tas de 7, il en reste deux : 7×7+2

Exemple de test avec la proposition A :

Si on divise 26 par 5, il reste bien 1 (5×5+1)

En revanche si on divise 26 par 7, il reste 5 (7×3+5).

Donc 26 ne convient pas. On réessaie jusqu’à trouver la bonne proposition.

Correction Vrai ou Faux

1. Faux. Contre exemple : 6. En effet 6 est un diviseur de 36 mais n’est pas un diviseur de 9. Autre contre exemple : 4.
2. Vrai. Être divisible par 15 signifie être un multiple de 15. Si Y est un multiple de 15, il est déjà multiple de 3 car « dans 15 il y a du 3 ».
3. Vrai. Par ailleurs 4 et 7 étant premiers entre eux, le plus petit multiple de 4 et 7 est 28.
4. Faux. 12 est un diviseur de commun à 96 et 60, c’est le plus grand.
5. Faux. On utilise le critère de divisibilité par 3 : 1+1+7 = 9 (multiple de 3). Donc 117 est un multiple de 3 (ou est divisible par 3), il n’est donc pas premier.

Les notions à connaître pour le sous-test 2 du Tage Mage ne sont pas très compliquées, elles reposent principalement sur les chapitres de maths du collège, néanmoins il est indispensable de revoir chacune d’entre elle afin de développer les bonnes méthodes de travail et les bonnes méthodes de calcul pour gagner des points et du temps le jour de l’examen. Ces cours en ligne au programme du sous-test 2 du Tage Mage sont très utiles pour se préparer à l’épreuve :

• les puissances
• la proportionnalité
• le dénombrement
• les probabilités
• les moyennes