Chapitres du sous-test 2 du Tage Mage

Exercices sur la règle de trois et les proportionnalités

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne du Tage Mage

La règle de trois tout comme le produit en croix est une technique qui permet de grandement simplifier les calculs de proportionnalité, en pourcentage comme en fractions. La règle de trois est enseignée très tôt au collège mais elle sert tout au long de la scolarité autant lors d’une préparation pour le brevet que pour la préparation du Tage Mage ou du Score IAE Message. Cette technique ne sert d’ailleurs pas qu’en cours de mathématiques puisqu’elle est aussi utilisé en cours de physique pour calculer des vitesses.

Application avec des exercices sur la règle de trois

Exercice 1 : proportionnalité dans un collège et règle de trois

Dans un collège, 36 élèves de 3ème n’ont pas eu leur brevet ce qui représente $\dfrac{3}{7}$ du nombre total de 3ème.

Combien y a-t-il d’élèves en 3ème dans ce collège ?

Exercice 2 : nombre d’habitants et règle de trois

Dans un petit village de France, seule les $\dfrac{4}{11}$ des foyers sont équipés de la fibre optique pour leur connexion internet soit 440 foyers.

Combien y a-t-il d’habitations dans ce village ?

Exercice 3 : capacité totale d’un réservoir et règle de trois

Le réservoir d’une voiture est plein aux $\dfrac{2}{5}$ .

Si on y ajoute 27 litres, il sera alors totalement rempli.

Quelle est la capacité maximale de ce réservoir ?

Exercice 4 : calcul de bonbons et règle de trois

Alice achète un grand sachet de bonbons.

Elle en mange le quart puis encore 18 bonbons.

Il lui reste alors les $\dfrac{3}{5}$ de son sachet.

Combien y avait-il de bonbons au total ?

Exercice 5 : la règle de trois avec des pourcentages

Dans un groupe d’individus, 20% sont espagnols, $\dfrac{1}{3}$ sont turcs et le reste 91 personnes sont allemandes.

Combien y a-t-il d’individus dans ce groupe ?

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2. Corrigés sur la règle de trois

Correction de l’exercice 1 sur la proportionnalité des élèves dans un collège

On procède de même que dans l’exemple :

On a $\dfrac{3}{7} = 36$ élèves

Donc $\dfrac{1}{7} = 12$ élèves (on divise par 3)

Et donc $\dfrac{7}{7} = 84$ élèves (on multiplie par 7)

On retient au passage : $7 \times 12 = 84$

Correction de l’exercice 2 sur le nombre d’habitant avec la règle de trois

On procède de même dans l’exemple.

On a $\dfrac{4}{11} = 440$ foyers

Donc $\dfrac{1}{11} = 110$ foyers (on divise par 4)

Et donc $\dfrac{11}{11} = 1 210$ foyers (on multiplie par 11)

Pour le dernier calcul, $11 \times 110$ , on calcule d’abord $11 \times 11 = 121$ , avant d’ajouter le zéro.

On retient au passage : $11^2 = 11 \times 11 = 121$

Correction de l’exercice 3 en utilisant la règle de trois

Il y avait une étape supplémentaire dans cet exercice car les 27 litres ne représentaient pas $\dfrac{2}{5}$ mais le reste.

En effet s’il est plein aux $\dfrac{2}{5}$ c’est que le reste est $\dfrac{3}{5}$ (car le tout c’est $\dfrac{5}{5} = 1$ ).

On peut à présent utiliser la règle de trois :

On a $\dfrac{3}{5}= 27$ litres

Donc $\dfrac{1}{5} = 9$ litres (on divise par 3)

Et donc $\dfrac{5}{5} = 45$ litres (on multiplie par 5)

Correction de l’exercice 4 sur le calcul de bonbons avec la règle de trois

Ici il faut d’abord comprendre ce que représentent ces 18 bonbons.

Il s’agit de l’écart entre $\dfrac{3}{4}$ et $\dfrac{3}{5}$ .

En effet elle en mange d’abord $\dfrac{1}{4}$ c’est qu’il lui en reste $\dfrac{3}{4}$ .

Après 18 bonbons, les $\dfrac{3}{4}$ deviennent $\dfrac{3}{5}$ .

C’est donc que ces 18 bonbons représentent $\dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{5}$ .

Or $\dfrac{3}{4} - \dfrac{3}{5} = \dfrac{15}{20} - \dfrac{12}{20} = \dfrac{3}{20}$

De retour à notre règle de trois :

On a $\dfrac{3}{20} = 18$ bonbons

Donc $\dfrac{1}{20} = 6$ bonbons (on divise par 3)

Et donc $\dfrac{20}{20} = 120$ bonbons (on multiplie par 20).

Correction de l’exercice 5 en utilisant la règle de trois et les pourcentages

Le niveau monte encore car il faut quelques étapes supplémentaires avant de savoir quelle fraction représente les 91 allemands. D’autant que l’on mélange pourcentages et fractions. D’où l’importance de connaître la correspondance pourcentage/fraction.

En effet $20 \% = \dfrac{1}{5}$ .

Le problème peut se visualiser comme suit :

Espagnols $+$ Turcs $+$ Allemands $=$ Total

$20 \% + \dfrac{1}{3} + 91$ personnes $=$ total.

Or $20\% = \dfrac{1}{5}$ , on va donc additionner les espagnols et les turcs afin de déterminer la part des allemands :

Espagnols $+$ Turcs $= \dfrac{1}{5} + \dfrac{1}{3} = \dfrac{3}{15} + \dfrac{5}{15} = \dfrac{8}{15}$

On en déduit que le reste c’est $\dfrac{7}{15}$ ce qui représente les 91 allemands. On réitère alors les raisonnements précédents :

On a $\dfrac{7}{15} = 91$ personnes

Donc $\dfrac{1}{15} = 13$ personnes (on divise par 7)

Et donc $\dfrac{15}{15} = 195$ personnes (on multiplie par 15)

Pour le dernier calcul $13 \times 15$ il n’y a pas vraiment de technique particulière :

on peut poser la multiplication,
ou se dire : $10\times13 = 130$ et $5 \times13 = 65$ , donc $15 \times13 = 130+65 = 195$

On retient au passage : $7 \times 13 = 91$ , utile notamment dans le sous test 6 série numérique.

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