Chapitres Maths en Terminale Générale
Cours sur le Dénombrement en Terminale générale
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths de Terminale
Pour maximiser vos résultats au bac, il vous faudra maîtriser le chapitre sur le dénombrement. En effet, il s’agit d’un important chapitre du programme de Maths de Terminale, essentiel pour le bac mais aussi, si vous voulez plus tard intégrer les meilleures prépa MP. En cas de lacunes, des cours particuliers de maths pourront vous aider à dépasser vos difficultés et à arriver à un excellent niveau.
1. Opérations sur les ensembles en Terminale
1.1. Rappels sur les opérations sur les ensembles en Terminale :
Si
est un ensemble, on dit que
est une partie de
ou un sous ensemble de
lorsque tout élément de
est élément de
.
Dans ce cas, on écrit .
On dit aussi que est inclus dans
.
Un ensemble n’est pas inclus dans l’ensemble
s’il existe
tel que
.
L’ensemble vide noté est une partie de tout ensemble
.
Deux ensembles
et
sont égaux s’ils vérifient les conditions équivalentes :
et
ont les mêmes éléments
est élément de
ssi
est élément de
et
.
Soient
et
deux parties de l’ensemble
.
La réunion de
et
est la partie de
formée des éléments de
qui appartiennent à
ou à
:
.
L’intersection de
et
est la partie de
formée des éléments de
qui appartiennent à
et à
:
.
et
sont dits disjoints lorsque
.
Si
est une partie de l’ensemble
,
le complémentaire de
dans
est l’ensemble des éléments de
qui n’appartiennent pas à
:
et
sont disjointes
.
Si
et
sont des parties de l’ensemble
,
,
.
1.2. Produit cartésien en Terminale
Le produit cartésien des ensembles
et
est
.
Les éléments de sont appelés couples.
ssi
et
.
Le produit cartésien des ensembles
,
et
est
.
Les éléments de sont appelés triplets .
ssi
,
et
.
Plus généralement si
et si pour tout
,
est un ensemble, le produit cartésien des ensembles
est noté
c’est l’ensemble des -uplets
lorsque pour tout
,
.
Dans le cas où pour tout ,
, on note le produit cartésien
.
Un élément de est appelé
-uplet ou
-liste d’éléments de
.
En géométrie, par exemple, vous avez déjà raisonné avec et
.
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2. Principe additif et multiplicatif en Terminale
Dans la suite, on suppose que l’on raisonne dans des ensembles ayant un nombre fini d’éléments. On dit alors qu’ils sont finis.
Si a
éléments, on dit que le cardinal de
est égal à
et on note
.
On pose .
Toute partie d’un ensemble fini
est finie et
.
2.1. Principe additif en Terminale
Si deux ensembles
et
sont finis et disjoints,
est fini et
.
Si
ensembles
sont finis et 2 à 2 disjoints,
est fini et
Application : Si est une partie de l’ensemble fini
,
.
Méthode : Utiliser le principe additif pour dénombrer un ensemble , c’est écrire
comme réunion de
(resp.
) ensembles finis disjoints (resp. 2 à 2 disjoints) et utiliser l’un des deux résultats précédents.
Méthode pour dénombrer lorsque
, écrire
comme réunion des 3 ensembles, 2 à 2 disjoints,
,
et
.
est l’ensemble des éléments de
qui ne sont pas dans
, c’est aussi le complémentaire dans
de
est l’ensemble des éléments de
qui ne sont pas dans
, c’est aussi le complémentaire dans
de
.
2.2. Principe multiplicatif en Terminale
Si deux ensembles
et
sont finis,
est fini et
.
Si
ensembles
sont finis,
est fini et
.
En particulier, si est un ensemble fini,
.
Méthode : Utiliser le principe multiplicatif pour dénombrer un ensemble c’est écrire
comme produit cartésien de
(resp.
) ensembles finis et utiliser l’un des deux résultats précédents.
On utilise cette méthode
lorsque l’on choisit successivement deux éléments dans deux ensembles disjoints
et
: on cherche donc le nombre d’éléments de
.
lorsque l’on choisit
éléments en remettant après chaque tirage l’élément tiré dans l’ensemble
.
On détermine un – uplet de
, il y a donc
choix.
3. Les
-listes en Terminale
3.1.
-liste et applications en Terminale
On a vu que le nombre de
-listes d’un ensemble
de cardinal
est le nombre de
-uplets de
: soit
.
Le nombre d’applications d’un ensemble
de cardinal
dans un ensemble
de cardinal
est le nombre de
-uplets d’éléments de
soit
.
Soit
un ensemble à
éléments. Le nombre de parties de
est égal à
.
3.2. Factorielle d’un entier en Terminale
Soit , on appelle factorielle de
l’entier noté
avec
et
alors pour tout
3.3.
-liste sans répétition en Terminale
Soit
et
.
Soit un ensemble de cardinal
.
On appelle – liste sans répétition des éléments de
tout
– uplet de
formé d’éléments 2 à 2 distincts.
Soient
et
.
Le nombre de listes sans répétition des
éléments de
est égal à
.
3.4. Permutation en Terminale Générale
Soit
un ensemble de cardinal
.
On appelle permutation des éléments de toute
-liste sans répétition des éléments de
.
Il y a
permutations d’un ensemble à
éléments.
4. Combinaison en Terminale
4.1. Définition et valeur
Soit
un ensemble formé de
éléments. Soit
.
On appelle combinaison de éléments de
toute partie de
à
éléments.
Soit
et
.
Le nombre de combinaisons de éléments d’une partie
à
éléments est égal à
.
.
En particulier et
Il est conseillé de retenir aussi que .
Application aux mots :
On écrit un mot de lettres à partir de
et
. Soit
.
Le nombre de mots de lettres où
est écrit
fois est égal à
.
Application au nombre de chemins
On effectue déplacements, à chaque déplacement, on a le choix entre un déplacement à gauche et un déplacement à droite.
Le nombre de chemins de déplacements où l’on a effectué
déplacements à droite est égal à
.
On peut s’aider par un arbre comme ci-dessous :
4.2. Propriétés des coefficients du binôme en Terminale
Si
et
,
.
Formule du triangle de Pascal
Soit . Si
,
.
On peut obtenir les coefficients du binôme lorsque est faible (en général
), en calculant le triangle de Pascal
Si
,
5. Quelques méthodes en complément
5.1 Utilisation du complémentaire en Terminale
Pour dénombrer « avoir au moins un élément vérifiant une propriété
» (où
),
En général il est plus simple de dénombrer le complémentaire
(c’est le cas lorsque le complémentaire se traduit par « sans ») et d’utiliser
.
Lorsque le nombre maximum
d’éléments vérifiant la propriété
est faible, on peut envisager de noter
« avoir
éléments vérifiant
» et écrire
, les ensembles étant deux à deux disjoints,
par le principe additif.
5.2. Autour de 
Soient et
deux parties de
.
Pas de problème si
car
Lorsque , on a plusieurs méthodes :
Par utilisation d’un tableau à 4 lignes et 4 colonnes
Deux lignes intermédiaires et
.
Deux colonnes intermédiaires et
.
Dans les 4 cases intermédiaires du tableau, le cardinal de l’intersection de la ligne et de la colonne.
En fin des lignes 2 et 3, le cardinal de cette partie
En fin des colonnes 2 et 3, le cardinal de cette partie.
En dernière ligne, dernière colonne, .
5.3. Dénombrer des tirages en Terminale
Soit un ensemble de
éléments distincts. Soit
.
tirer
éléments de
avec remise entre chaque tirage, c’est choisir un élément de
, il y a
tirages.
tirer
éléments de
en une seule fois : on obtient une combinaison de
éléments parmi
, il y a
tirages
tirer successivement
éléments de
sans remise : on obtient une
– liste d’éléments 2 à 2 distincts de
, il y en a
.
5.4. Reconnaitre un modèle binomial en Terminale
On suppose que et
sont des entiers tels que
.
Lorsque l’on répète
fois un tirage entre des éléments de
catégories
et
, il y a
tirages donnant
fois un élément de catégorie
et
éléments de catégorie
.
Lorsque l’on répète
fois une expérience menant à deux résultats possibles
et
, le nombre de façons d’obtenir une suite de
expériences donnant
fois le résultat
est égal à
.
5.5. Utiliser un arbre en Terminale
L’illustration par un arbre est à réserver aux cas où l’énoncé demande explici- tement de représenter les différentes situations par un arbre ou pour des effectifs faibles.
Pour représenter
, où
et
, en partant de la racine, placer
branches terminées par les
éléments de
.
De chacune de ces extrémités, tracer branches terminées par les
éléments de
.
En parcourant les branches, on obtient les
couples
de
On peut aussi représenter les
– listes sans répétition des
éléments de
.
En partant de la racine, placer
branches terminées par les
éléments de
.
De chacune de ces extrémités, tracer
branches menant aux
éléments de
n’ayant pas encore été tirés.
Puis une troisième série de branches issues de ces
branches etc…
À l’issue du tracé, le parcours des
branches donnent les
listes sans répétition des
éléments de
.
Dans un modèle binomial.
Pour dénombrer dans une suite de épreuves ayant
résultats (notés
et
ici) , on peut aussi s’aider d’un arbre :
On part de la racine, et on place 2 branches terminées par
et
.
De chacune de ces 2 branches, par- tent 2 nouvelles branches terminées par
et
On recommence jusqu’à avoir tracé
branches successives.
On obtient un arbre à branches correspondant aux
listes de
.
On peut ensuite pour donné suivre les branches donnant
fois
et obtenir le nombre
de branches contenant exactement
fois
.
Mots de longueur
écrits avec
lettres.
On obtient le même principe lorsque l’on veut écrire les mots de lettres formés uniquement de
et de
.
Faire un arbre comme dans le cas précédent, en remplaçant par
et
par
.
L’arbre a branches et on peut mettre en évidence les
branches formant des mots contenant exactement
fois la lettre
.
Les Maths ayant un gros coefficient au bac, comme vous pouvez d’ailleurs le voir en consultant notre simulateur du Bac, il est important de bien suivre les cours et s’entraîner sur des exercices. N’hésitez donc pas à vous rendre sur les cours en ligne de maths de terminale pour vérifier vos connaissances, testez-vous par exemple sur les chapitres suivants :
- loi binomiale
- loi des grands nombres
- loi Normale, intervalle de fluctuation
- raisonnement par récurrence
- les suites
Au delà des cours particuliers, des cours en ligne et des exercices, vous pouvez également utiliser un autre support très utile : les annales du bac de maths. Elles vous serviront pour vous entraîner en conditions réelles et pour bien identifier les attendus de l’épreuve du bac.