Chapitres Maths en Terminale Générale

Primitives en terminale : cours, tableau des primitives usuelles et méthodes

Par Seda Biber, le 26/10/2026

Une primitive d’une fonction $f$ est une fonction $F$ dont la dérivée est $f$ : chercher une primitive, c’est faire le chemin inverse de la dérivation. En terminale, le chapitre fait partie de la spécialité maths. Il vous demande de connaître le tableau des primitives usuelles, de reconnaître les formes composées comme $u'e^u$ ou $\dfrac{u'}{u}$ , et de trouver la primitive qui vérifie une condition donnée. Ce résumé reprend chaque point avec une méthode et des exemples corrigés.

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Notion	À retenir	Exemple
Primitive	$F$ est dérivable sur $I$ et $F'(x)=f(x)$ pour tout $x$ de $I$	$x^2$ est une primitive de $2x$ sur $\mathbb{R}$
Existence	toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle	$e^{x^2}$ a des primitives sur $\mathbb{R}$
Toutes les primitives	si $F$ en est une, les autres sont les fonctions $F+k$ , $k$ réel	$x^2+5$ et $x^2-1$ sont aussi des primitives de $2x$
Condition initiale	une seule primitive vérifie $F(x_0)=y_0$	la primitive de $2x$ qui vaut 3 en 0 est $x^2+3$
Forme composée	une primitive de $(v'\circ u)\times u'$ est $v\circ u$	une primitive de $2xe^{x^2}$ est $e^{x^2}$
Lien avec l’intégrale	$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$	$\displaystyle\int_0^1 2x\,dx=1^2-0^2=1$

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Qu’est-ce qu’une primitive d’une fonction ?

Définition : soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ . Une fonction $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si, pour tout $x$ de $I$ :

$F'(x)=f(x)$

Dans le programme de terminale, cette définition se lit aussi avec une équation différentielle : une primitive de $f$ est une solution de l’équation $y'=f$ .

Exemple : soit $f(x)=6x^2-4x+3$ sur $\mathbb{R}$ . La fonction $F(x)=2x^3-2x^2+3x$ est une primitive de $f$ , car $F'(x)=6x^2-4x+3=f(x)$ .

Trois propriétés structurent tout le chapitre :

Existence : toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives sur cet intervalle. Ce théorème dit qu’une primitive existe, il ne donne pas son expression. Il est admis dans ce chapitre et démontré dans le chapitre de calcul intégral.
Infinité de primitives : deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante. Si $F$ est une primitive de $f$ , toutes les primitives de $f$ sont les fonctions $x\mapsto F(x)+k$ , avec $k$ réel.
Unicité avec une condition : pour $x_0$ dans $I$ et $y_0$ réel, il existe une seule primitive $F$ de $f$ telle que $F(x_0)=y_0$ .

Démonstration (au programme) : deux primitives d’une même fonction continue sur un intervalle diffèrent d’une constante.

Soit $F$ et $G$ deux primitives de $f$ sur $I$ . La fonction $G-F$ est dérivable sur $I$ .
Pour tout $x$ de $I$ , $(G-F)'(x)=G'(x)-F'(x)=f(x)-f(x)=0$ .
Une fonction dont la dérivée est nulle sur un intervalle est constante sur cet intervalle. Il existe donc un réel $k$ tel que $G(x)-F(x)=k$ , soit $G(x)=F(x)+k$ pour tout $x$ de $I$ .

Le mot « intervalle » compte : sur $]-\infty;0[\cup]0;+\infty[$ , deux primitives de $\dfrac{1}{x^2}$ peuvent différer d’une constante différente de chaque côté de 0.

💡 Astuce : pour vérifier une primitive, dérivez-la. Si vous retrouvez exactement

$f(x)$ , votre calcul est juste. Ce contrôle prend quelques secondes au brouillon et évite la plupart des erreurs de coefficient ou de signe.

Quel est le tableau des primitives usuelles ?

Le tableau des primitives se lit comme le tableau des dérivées à l’envers. Il donne une primitive de chaque fonction de référence : pour avoir toutes les primitives, ajoutez une constante $k$ .

Fonction $f(x)$	Une primitive $F(x)$	Intervalle $I$
$a$ (constante)	$ax$	$\mathbb{R}$
$x$	$\dfrac{x^2}{2}$	$\mathbb{R}$
$x^n$ , $n$ entier naturel	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\mathbb{R}$
$\dfrac{1}{x^2}$	$-\dfrac{1}{x}$	$]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$
$\dfrac{1}{x^n}$ , $n\geqslant 2$	$-\dfrac{1}{(n-1)x^{n-1}}$	$]-\infty;0[$ ou $]0;+\infty[$
$\dfrac{1}{\sqrt{x}}$	$2\sqrt{x}$	$]0;+\infty[$
$\dfrac{1}{x}$	$\ln(x)$	$]0;+\infty[$
$e^x$	$e^x$	$\mathbb{R}$
$\cos(x)$	$\sin(x)$	$\mathbb{R}$
$\sin(x)$	$-\cos(x)$	$\mathbb{R}$

Deux lignes reviennent souvent dans les recherches et dans les copies. La primitive de $\dfrac{1}{x}$ sur $]0;+\infty[$ est $\ln(x)$ , ce qui découle de la dérivée de la fonction logarithme. Sur $]-\infty;0[$ , une primitive est $\ln(-x)$ . La primitive de $\sqrt{x}$ n’est pas dans le tableau, mais $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$ donne $\dfrac{2}{3}x\sqrt{x}$ sur $[0;+\infty[$ : en dérivant, on trouve bien $\dfrac{2}{3}\left(\sqrt{x}+\dfrac{x}{2\sqrt{x}}\right)=\sqrt{x}$ pour $x>0$ .

Comment calculer la primitive d’une somme ou d’un produit par un réel ?

Les primitives se calculent terme à terme. Si $F$ et $G$ sont des primitives de $f$ et $g$ sur $I$ , et si $a$ et $b$ sont deux réels, alors $aF+bG$ est une primitive de $af+bg$ sur $I$ .

Exemple : soit $f(x)=4x^3-\dfrac{3}{x^2}+5e^x$ sur $]0;+\infty[$ . On traite chaque terme avec le tableau :

$F(x)=x^4+\dfrac{3}{x}+5e^x$

Le terme $-\dfrac{3}{x^2}=-3\times\dfrac{1}{x^2}$ a pour primitive $-3\times\left(-\dfrac{1}{x}\right)=\dfrac{3}{x}$ . Le double signe moins est l’erreur la plus fréquente sur cette ligne.

Attention, cette règle ne s’étend pas au produit de deux fonctions : une primitive de $fg$ n’est pas $FG$ . Par exemple, une primitive de $x\times x=x^2$ est $\dfrac{x^3}{3}$ , et non $\dfrac{x^2}{2}\times\dfrac{x^2}{2}=\dfrac{x^4}{4}$ .

Quelles sont les primitives des fonctions composées ?

Le programme demande de calculer une primitive à l’aide des fonctions de la forme $(v'\circ u)\times u'$ , dont une primitive est $v\circ u$ . Cette règle vient de la dérivée d’une fonction composée. Appliquée aux fonctions de référence, elle donne le tableau suivant, où $u$ est une fonction dérivable sur $I$ .

Forme de $f$	Une primitive $F$	Condition sur $I$
$u'u^n$ , $n$ entier naturel	$\dfrac{u^{n+1}}{n+1}$	aucune
$\dfrac{u'}{u^2}$	$-\dfrac{1}{u}$	$u$ ne s’annule pas
$\dfrac{u'}{u^n}$ , $n\geqslant 2$	$-\dfrac{1}{(n-1)u^{n-1}}$	$u$ ne s’annule pas
$\dfrac{u'}{\sqrt{u}}$	$2\sqrt{u}$	$u>0$
$\dfrac{u'}{u}$	$\ln(u)$	$u>0$
$u'e^u$	$e^u$	aucune
$u'\cos(u)$	$\sin(u)$	aucune
$u'\sin(u)$	$-\cos(u)$	aucune
$x\mapsto g(ax+b)$ , $a\neq 0$	$x\mapsto\dfrac{1}{a}G(ax+b)$ , où $G$ est une primitive de $g$	$ax+b$ reste dans l’intervalle de $g$

La méthode est toujours la même : repérez la fonction $u$ , calculez $u'$ , puis faites apparaître $u'$ dans l’expression en ajustant une constante multiplicative. Voici cinq exemples corrigés.

Forme $u'u^n$ : $f(x)=2x(x^2+1)^3$ sur $\mathbb{R}$ . Avec $u(x)=x^2+1$ , on a $u'(x)=2x$ , donc $F(x)=\dfrac{(x^2+1)^4}{4}$ .
Forme $\dfrac{u'}{u}$ : $f(x)=\dfrac{x}{x^2+1}$ sur $\mathbb{R}$ . Ici $u'(x)=2x$ , il manque un facteur 2 : $f(x)=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2x}{x^2+1}$ . Comme $x^2+1>0$ , $F(x)=\dfrac{1}{2}\ln(x^2+1)$ .
Forme $u'e^u$ : $f(x)=e^{3x-1}$ sur $\mathbb{R}$ . Avec $u(x)=3x-1$ et $u'(x)=3$ , on écrit $f(x)=\dfrac{1}{3}\times 3e^{3x-1}$ , donc $F(x)=\dfrac{1}{3}e^{3x-1}$ .
Forme $\dfrac{u'}{u^2}$ : $f(x)=\dfrac{3}{(2x+1)^2}$ sur $\left]-\dfrac{1}{2};+\infty\right[$ . Avec $u'(x)=2$ , $f(x)=\dfrac{3}{2}\times\dfrac{2}{(2x+1)^2}$ , donc $F(x)=-\dfrac{3}{2(2x+1)}$ .
Forme $u'\cos(u)$ : $f(x)=\cos(2x)$ sur $\mathbb{R}$ . On écrit $f(x)=\dfrac{1}{2}\times 2\cos(2x)$ , donc $F(x)=\dfrac{1}{2}\sin(2x)$ . Les fonctions sinus et cosinus sont détaillées dans le cours sur les fonctions trigonométriques.

💡 Astuce : on peut ajuster une constante, jamais une variable. Pour

$e^{x^2}$ , il faudrait

$u'(x)=2x$ , et on ne peut pas diviser par

$2x$ . Une primitive de

$e^{x^2}$ existe, car la fonction est continue, mais elle ne s’exprime pas avec les fonctions usuelles.

Quelle est la primitive de ln(x) ?

Sur $]0;+\infty[$ , une primitive de $\ln(x)$ est :

$F(x)=x\ln(x)-x$

Vérification : avec la dérivée d’un produit, $F'(x)=1\times\ln(x)+x\times\dfrac{1}{x}-1=\ln(x)$ . Cette formule ne figure pas dans le tableau des primitives usuelles. On l’obtient par une intégration par parties, une technique présentée dans le cours sur le calcul intégral. Dans un sujet de bac, l’énoncé fournit en général la fonction $F$ et vous demande de vérifier qu’elle convient : il suffit alors de la dériver.

Comment trouver la primitive qui vérifie une condition initiale ?

La méthode tient en trois étapes : écrire toutes les primitives avec une constante $k$ , remplacer $x$ par la valeur donnée, puis résoudre l’équation en $k$ .

Exemple : déterminer la primitive $F$ de $f(x)=3x^2-2x+1$ sur $\mathbb{R}$ telle que $F(1)=4$ .

Les primitives de $f$ sont les fonctions $F(x)=x^3-x^2+x+k$ , avec $k$ réel.
$F(1)=1-1+1+k=1+k$ .
$1+k=4$ donne $k=3$ , donc $F(x)=x^3-x^2+x+3$ .

Le même raisonnement s’applique avec une fonction de la forme $u'e^u$ , travaillée dans le cours sur la fonction exponentielle. Par exemple, la primitive de $e^{2x}$ qui s’annule en 0 est $\dfrac{1}{2}e^{2x}-\dfrac{1}{2}$ , car $\dfrac{1}{2}e^0+k=0$ donne $k=-\dfrac{1}{2}$ .

Quel est le lien entre primitive et intégrale ?

Si $f$ est continue sur un intervalle $I$ contenant $a$ et $b$ , et si $F$ est une primitive de $f$ sur $I$ , alors :

$\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$

Le résultat ne dépend pas de la primitive choisie, car la constante $k$ disparaît dans la différence. On note souvent $\left[F(x)\right]_a^b$ pour $F(b)-F(a)$ .

Exemple : $\displaystyle\int_0^1\dfrac{2x}{x^2+1}\,dx=\left[\ln(x^2+1)\right]_0^1=\ln(2)-\ln(1)=\ln(2)$ .

Lorsque $f$ est continue et positive, cette intégrale mesure l’aire sous la courbe. Les propriétés de l’intégrale (relation de Chasles, valeur moyenne, aire entre deux courbes) sont traitées dans le cours dédié au calcul intégral en terminale.

Quel est le lien entre primitives et équations différentielles ?

Le programme de terminale traite les primitives et les équations différentielles dans la même section. Une équation différentielle relie une fonction inconnue $y$ à sa dérivée $y'$ .

$y'=f$ : les solutions sont les primitives de $f$ .
$y'=ay$ , $a$ réel : les solutions sur $\mathbb{R}$ sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}$ , $C$ réel.
$y'=ay+b$ , $a\neq 0$ : les solutions sont les fonctions $x\mapsto Ce^{ax}-\dfrac{b}{a}$ , $C$ réel. La fonction constante $-\dfrac{b}{a}$ est la solution particulière.
$y'=ay+f$ , $f$ une fonction : si l’énoncé donne une solution particulière $y_p$ , toutes les solutions sont les fonctions $x\mapsto y_p(x)+Ce^{ax}$ , $C$ réel.

Exemple : $y'=2y+6$ . La solution constante est $-\dfrac{6}{2}=-3$ , donc $y(x)=Ce^{2x}-3$ . Avec la condition $y(0)=1$ , on obtient $C-3=1$ , soit $C=4$ et $y(x)=4e^{2x}-3$ .

Quelles erreurs éviter avec les primitives ?

Confondre dérivée et primitive : la dérivée de $\sin(x)$ est $\cos(x)$ , mais une primitive de $\sin(x)$ est $-\cos(x)$ .
Oublier le facteur $\dfrac{1}{a}$ dans une forme $g(ax+b)$ : une primitive de $e^{5x}$ est $\dfrac{1}{5}e^{5x}$ , pas $5e^{5x}$ .
Prendre $FG$ comme primitive de $fg$ .
Écrire $\ln(u)$ sans vérifier que $u>0$ sur l’intervalle.
Oublier la constante $k$ quand l’énoncé demande toutes les primitives ou une primitive qui vérifie une condition.
Ne pas préciser l’intervalle : une primitive de $\dfrac{1}{x^2}$ se donne sur $]-\infty;0[$ ou sur $]0;+\infty[$ , jamais sur $\mathbb{R}$ .

Pour vous entraîner, retrouvez les exercices corrigés sur les primitives et les équations différentielles, puis replacez le chapitre dans le programme de maths de terminale. Si les formes composées vous résistent encore, un professeur peut reprendre les méthodes avec vous en cours particuliers de maths en terminale ou lors d’un stage intensif de terminale pendant les vacances.

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FAQ

C'est quoi une primitive en maths ?

Une primitive d'une fonction f sur un intervalle I est une fonction F dérivable sur I dont la dérivée est f : F'(x) = f(x) pour tout x de I. Par exemple, x² est une primitive de 2x. Chercher une primitive revient à faire le calcul inverse de la dérivation.

Quelles sont les formules de primitives à connaître en terminale ?

Il faut connaître les primitives des fonctions de référence : x puissance n, 1/x², 1/√x, 1/x, exponentielle, cosinus et sinus. Il faut aussi savoir reconnaître les formes composées u'u puissance n, u'/u², u'/√u, u'/u, u'e puissance u, u'cos(u) et u'sin(u), qui viennent toutes de la règle : une primitive de (v'∘u) × u' est v∘u.

Une fonction a-t-elle une seule primitive ?

Non. Si F est une primitive de f sur un intervalle, toutes les fonctions F + k, avec k réel, sont aussi des primitives de f. En revanche, une seule primitive prend une valeur donnée en un point donné : c'est ce qu'on cherche avec une condition initiale.

Quelle est la primitive de 1/x ?

Pour x strictement positif, une primitive de 1/x est ln(x), car la dérivée de ln(x) est 1/x. Pour x strictement négatif, une primitive est ln(−x). Pour x strictement positif, les primitives de 1/x sont donc les fonctions ln(x) + k, avec k réel.

Quelle est la primitive de ln(x) ?

Pour x strictement positif, une primitive de ln(x) est x ln(x) − x. Pour le vérifier, on dérive : 1 × ln(x) + x × 1/x − 1 = ln(x). Cette formule s'obtient par intégration par parties.

Quelle est la différence entre une dérivée et une primitive ?

La dérivée de F est la fonction F'. Une primitive de f est une fonction F telle que F' = f. Les deux opérations sont inverses l'une de l'autre, à une différence près : une fonction a une seule dérivée, mais une infinité de primitives, qui diffèrent d'une constante.

Sources

Ministère de l’Éducation nationale, programme de l’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale de la voie générale, arrêté du 19 juillet 2019, Bulletin officiel spécial n° 8 du 25 juillet 2019, en vigueur pour l’année 2026-2027.
Éduscol, note de service relative à l’épreuve terminale de l’enseignement de spécialité mathématiques du baccalauréat général.

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