Chapitres Maths en Terminale Générale

Cours sur les Complexes en Terminale générale

Comme tout chapitre du programme de Maths de Terminale, le chapitre sur les nombres complexes peut tomber au Bac. Il s’agit donc de bien le connaître. Pour cela, ce cours vous aide à en saisir les bases. Vous pouvez ensuite appliquer ces bases sur des annales du bac de Maths, cela vous aidera grandement à travailler en conditions réelles pour être au point le jour J. Si cela ne suffit pas et que malheureusement vous souffrez encore de lacunes, ou si au contraire vous souhaitez renforcer encore plus votre niveau, vous avez également la possibilité de prendre des cours de maths à domicile.

1. Autour de $\dfrac{(z-a)}{(z-b)}$

On se place dans le plan complexe rapporté au repère orthonormal direct $\mathcal{R}(O , \vec{u} \, , \vec{v} )$ .

Rappel :

Si $M$ est un point d’affixe $z \neq 0$ ,

$\ast$ $OM = \vert z\vert$

$\ast$ $\left (\overrightarrow{u} \, , \overrightarrow{OM} \right ) = \arg(z) \;\; (2\, \pi)$ .

1.1. Résultat fondamental de complexe en terminale

Si $A$ a pour affixe $a$ , $B$ a pour affixe $b$ et $M$ a pour affixe $z$ , si $Z = \displaystyle \frac {z - a} {z - b}$ ,

$\ast$ $\vert Z \vert = \displaystyle \frac {A M} {B M}$

$\ast$ $\textrm{arg} (Z) = \left (\overrightarrow{BM}\, , \, \overrightarrow{A M} \right ) \; \; (2 \, \pi)$ .

1.2. Conséquences des complexes

$\bullet$ Alignement de trois points

Soient $A, B$ et $C$ trois points deux à deux distincts et $a, b, c$ leurs affixes respectives,
$A, B$ et $C$ sont alignés

ssi $\left (\overrightarrow{BC}\, , \, \overrightarrow{A C} \right ) = k \, \pi$ où $k \in \mathbb{Z}$

ssi $\displaystyle \frac {c - a} {c - b} \in \mathbb{R}^*$ .

$\bullet$ Triangle rectangle

Soient $A, B$ et $C$ trois points deux à deux distincts et $a, b, c$ leurs affixes respectives,
$AB C$ est rectangle en $C$

ssi $(A C) \perp (B C)$

ssi $\left (\overrightarrow{BC}\, , \, \overrightarrow{A C} \right ) = \displaystyle \frac {\pi} 2 \; \; ( \pi)$

ssi $\displaystyle \frac {c - a} {c - b}$ est un imaginaire pur (non nul).

$\bullet$ Médiatrice

Soient $A, B$ deux points distincts et $a, b$ leurs affixes respectives.
$M(z)$ est un point de la médiatrice de $[A , \, B]$

ssi $A M = B M$ ssi $\displaystyle \vert z - a\vert = \vert z - b \vert$ .

$\bullet$ Cercle de diamètre $[A\, B]$

Soient $A, B$ deux points distincts et $a, b$ leurs affixes respectives.

L’ensemble des $M(z)$ vérifiant $\displaystyle \frac {z - a} {z - b}$ est un imaginaire pur est le cercle de diamètre $[A \, B]$ privé du point $B$ .

Car c’est le point $A$ ou l’ensemble des points $M$ différents de $A$ et $B$ tels que les droites $(MA)$ et $(MB)$ soient orthogonales.

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2. Racines $n$ -ièmes de $1$ en Terminale

Si $a$ et $b$ sont deux éléments de $\mathbb{Z}$ tels que $a < b$ , on note
$\;\;\; [\![a,\, b]\!] = \{a \,,\, a + 1 \,,\, \cdots \,, \, b - 1 \, , \, b \}$ .

2.1. Ensemble $\mathbb{U}_n$ .

$\bullet$ L’équation $z^n = 1$ admet $n$ racines complexes distinctes, appelées racines $n$ -ièmes de $1$ et égales à $\textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \,k\, \pi / n}$ avec $k \in [\![0 , n - 1]\!].$
On peut aussi choisir $k \in [\![1 , n ]\!]$ ou même prendre $n$ valeurs consécutives entières pour $k$ .

$\bullet$ On note $\mathbb{U}_n$ l’ensemble des racines
$n$ -èmes de $1$ .
$\quad \mathbb{U}_n = \left \{ \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, k\, \pi / n} \, ,\, k \in [\![0 , n - 1]\!] \right \}$ .

$\bullet$ Si l’on note $\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i}\, \pi / n}$ ,
les racines $n$ – ièmes de 1 sont
$\qquad \omega ^0 \, , \, \omega ^1 \, , \, \omega ^2 \, ,\, \cdots \, ,\, \omega ^{n - 1 }$
et bien sûr $\omega ^n = 1$ .

$\bullet$ L’ensemble $\mathbb{U}_n$ des racines $n$ -ièmes de $1$ vérifie :

$\ast$ $1 \in \mathbb{U}_n\,$ ,

$\ast$ si $(z , \, z') \in U_n^2\, , z \, z' \in \mathbb{U}_n$

$\ast$ si $z \in \mathbb{U}_n\, , \overline{z} = z^{-1}\in \mathbb{U}_n \,$ .

2.2. Cas particuliers des nombres complexes

$\bullet$ $\mathbb{U} _ 2 = \{ 1 , - 1\}$ .

$\bullet$ les racines cubiques de $1$ sont

1, $\textrm{j} = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i} \, \pi/3 }\,$ , $\textrm{j} ^2 = \textrm{e} ^{4 \, \textrm{i} \, \pi/3 } = \overline {\, \textrm{j}\, }\,$ .

Et bien sûr $\textrm{j}^3 = 1$ .

$1 + \textrm{j} + \textrm{j}^2 = 0$ , donc $\textrm{j}$ et $\textrm{j}^2$ sont les racines de l’équation $x^2 + x + 1 = 0$ .

$\bullet$ les racines quatrièmes de $1$ :

$\qquad \mathbb{U} _ 4 = \{ 1, \textrm{i} \, - 1 \, - \textrm{i} \}$ .

2.3. Interprétation géométrique des nombres complexes en terminale

On note $\omega = \textrm{e} ^{2 \, \textrm{i}\, \pi / n}$ et pour $k \in [\![0 , n - 1]\!]$ , $M_k$ le point d’affixe $\omega ^k$ .

$M_0 \, ,\, M_1 \, , \, \cdots \, ,\, M_{n - 1}$ sont les som- mets d’un polygone régulier inscrit dans le cercle de centre $O$ et de rayon $1$ .

Le point $M_0$ est le point de coordon- nées $(1 , 0)$ .

$\bullet$ Cas particuliers

$\ast$ Les images des trois racines cubi- ques de $1$ : $1 ,\, \textrm{j} , \, \textrm{j} ^2$ sont les sommets d’un triangle équilatéral

$\ast$ Les images des quatre racines quatrièmes de $1$ : $1 , \textrm{i} , \, - 1 ,\,- \textrm{i}$ sont les sommets d’un carré.

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