Chapitres Maths en Terminale Générale

Dérivation et convexité en terminale : cours complet

Par Seda Biber, mis à jour le 27/10/2026

La convexité décrit la forme d’une courbe. Une fonction est convexe sur un intervalle quand sa courbe est tournée vers le haut, comme la parabole de $x \mapsto x^2$ : elle est sous ses cordes et au-dessus de ses tangentes. Elle est concave quand sa courbe est tournée vers le bas, comme celle de $x \mapsto \sqrt{x}$ . En terminale, on étudie la convexité avec la dérivée seconde $f''$ , la dérivée de $f'$ : une fonction est convexe là où $f'' \geqslant 0$ , concave là où $f'' \leqslant 0$ , et sa courbe a un point d’inflexion là où $f''$ s’annule en changeant de signe. Le chapitre ajoute aussi la dérivée d’une fonction composée, $(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$ . Ce cours suit le programme de spécialité mathématiques de terminale générale.

Ce qu’il faut retenir du chapitre

Notion	À retenir
Dérivée d’une fonction composée	$(v \circ u)' = (v' \circ u) \times u'$
Dérivée seconde	$f'' = (f')'$ , la dérivée de la dérivée
Fonction convexe	Courbe sous ses sécantes et au-dessus de ses tangentes ; $f'$ croissante ; $f'' \geqslant 0$
Fonction concave	Courbe au-dessus de ses sécantes et sous ses tangentes ; $f'$ décroissante ; $f'' \leqslant 0$
Point d’inflexion	La courbe traverse sa tangente ; $f''$ s’annule en changeant de signe
Inégalité de convexité classique	$e^x \geqslant 1 + x$ pour tout réel $x$

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Que faut-il savoir de la dérivation de première ?

Le chapitre de terminale s’appuie directement sur le cours de dérivation de première. Voici les résultats à avoir en tête avant d’aller plus loin.

Une fonction $f$ est dérivable en $a$ lorsque le taux d’accroissement $\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}$ admet une limite finie quand $h$ tend vers 0. Cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ . Géométriquement, c’est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point d’abscisse $a$ , dont l’équation est :

$y = f'(a)(x - a) + f(a)$

Les règles de calcul restent les mêmes : $(u + v)' = u' + v'$ , $(k u)' = k u'$ , $(uv)' = u'v + uv'$ et, si $v$ ne s’annule pas, $\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}$ .

Sur un intervalle $I$ , le signe de $f'$ donne les variations de $f$ :

si $f'(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ , $f$ est croissante sur $I$ ;
si $f'(x) \leqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ , $f$ est décroissante sur $I$ ;
si $f'(x) = 0$ pour tout $x$ de $I$ , $f$ est constante sur $I$ .

Si $f$ admet un extremum local en un point $a$ qui n’est pas une borne de $I$ , alors $f'(a) = 0$ . La réciproque est fausse : la dérivée de $x \mapsto x^3$ s’annule en 0, mais la fonction est croissante sur $\mathbb{R}$ et n’a pas d’extremum. Enfin, en terminale, on ajoute que toute fonction dérivable en $a$ est continue en $a$ .

Comment dériver une fonction composée ?

La fonction composée $v \circ u$ est la fonction $x \mapsto v(u(x))$ : on applique d’abord $u$ , puis $v$ au résultat. Par exemple, $x \mapsto e^{-x^2}$ est la composée de $u : x \mapsto -x^2$ suivie de $v = \exp$ .

Si $u$ est dérivable sur $I$ , si $u(x)$ appartient à un intervalle $J$ pour tout $x$ de $I$ et si $v$ est dérivable sur $J$ , alors $v \circ u$ est dérivable sur $I$ et :

$(v \circ u)'(x) = v'(u(x)) \times u'(x)$

En pratique, on dérive la fonction « extérieure » en gardant l’intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l’intérieur. Le tableau suivant regroupe les cas les plus utilisés, avec $u$ dérivable sur $I$ .

Fonction	Dérivée	Condition
$u^n$ , avec $n$ entier, $n \geqslant 1$	$n \, u' \, u^{n-1}$	aucune
$\dfrac{1}{u^n}$ , avec $n \geqslant 1$	$-\dfrac{n \, u'}{u^{n+1}}$	$u$ ne s’annule pas sur $I$
$\sqrt{u}$	$\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}$	$u > 0$ sur $I$
$e^{u}$	$u' \, e^{u}$	aucune
$\ln(u)$	$\dfrac{u'}{u}$	$u > 0$ sur $I$
$\cos(u)$	$-u' \sin(u)$	aucune
$\sin(u)$	$u' \cos(u)$	aucune
$x \mapsto g(ax + b)$	$x \mapsto a \, g'(ax + b)$	$g$ dérivable en $ax + b$

Les formules avec $e^u$ , $\ln(u)$ , $\cos(u)$ et $\sin(u)$ s’utilisent avec les chapitres sur la fonction exponentielle, la fonction logarithme et les fonctions trigonométriques. Trois exemples corrigés :

$f(x) = (3x + 1)^4$ : avec $u(x) = 3x + 1$ et $u'(x) = 3$ , on obtient $f'(x) = 4 \times 3 \times (3x + 1)^3 = 12(3x + 1)^3$ .
$g(x) = e^{-x^2}$ : avec $u(x) = -x^2$ et $u'(x) = -2x$ , on obtient $g'(x) = -2x \, e^{-x^2}$ .
$h(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ : $x^2 + 1 > 0$ sur $\mathbb{R}$ , donc $h'(x) = \dfrac{2x}{2\sqrt{x^2 + 1}} = \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}$ .

💡 Astuce : avant de dériver, écrivez séparément

$u(x)$ et

$u'(x)$ au brouillon. L’oubli du facteur

$u'$ est l’erreur la plus fréquente sur ce chapitre : la dérivée de

$e^{3x}$ est

$3e^{3x}$ , pas

$e^{3x}$ .

Qu’est-ce que la dérivée seconde d’une fonction ?

Si $f$ est dérivable sur $I$ et si sa dérivée $f'$ est elle-même dérivable sur $I$ , on dit que $f$ est deux fois dérivable. La dérivée de $f'$ s’appelle la dérivée seconde de $f$ et se note $f''$ :

$f'' = (f')'$

Exemple : pour $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ , on a $f'(x) = 3x^2 - 6x$ , puis $f''(x) = 6x - 6$ . Le signe de $f'$ renseigne sur les variations de $f$ . Le signe de $f''$ renseigne sur les variations de $f'$ , et donc sur la forme de la courbe : c’est le lien avec la convexité.

Convexe ou concave : quelle différence ?

Une fonction convexe a une courbe « en creux », tournée vers le haut ; une fonction concave a une courbe « en bosse », tournée vers le bas. Une fonction $f$ est concave exactement quand $-f$ est convexe.

Voici la définition précise. Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $\mathcal{C}_f$ sa courbe. Pour deux réels $a < b$ de $I$ , on note $A(a ; f(a))$ et $B(b ; f(b))$ ; la droite $(AB)$ est une sécante à la courbe.

$f$ est convexe sur $I$ si, pour tous $a < b$ de $I$ , la portion de courbe entre $A$ et $B$ est située sous le segment $[AB]$ . La courbe « sourit », comme celle de $x \mapsto x^2$ .
$f$ est concave sur $I$ si, pour tous $a < b$ de $I$ , la portion de courbe entre $A$ et $B$ est située au-dessus du segment $[AB]$ , comme celle de $x \mapsto \sqrt{x}$ .

Pour une fonction deux fois dérivable sur $I$ , le programme admet l’équivalence entre plusieurs caractérisations, réunies dans ce tableau.

Critère	$f$ convexe sur $I$	$f$ concave sur $I$
Position par rapport aux sécantes	Courbe en dessous	Courbe au-dessus
Position par rapport aux tangentes	Courbe au-dessus	Courbe en dessous
Variations de $f'$	$f'$ croissante	$f'$ décroissante
Signe de $f''$	$f''(x) \geqslant 0$ sur $I$	$f''(x) \leqslant 0$ sur $I$

Attention à l’inversion : une courbe convexe est sous ses sécantes mais au-dessus de ses tangentes. Voici la convexité des fonctions de référence, à connaître pour gagner du temps.

Fonction	Dérivée seconde	Convexité
$x \mapsto x^2$	$2$	Convexe sur $\mathbb{R}$
$x \mapsto x^3$	$6x$	Concave sur $]-\infty ; 0]$ , convexe sur $[0 ; +\infty[$
$x \mapsto \dfrac{1}{x}$	$\dfrac{2}{x^3}$	Concave sur $]-\infty ; 0[$ , convexe sur $]0 ; +\infty[$
$x \mapsto \sqrt{x}$	$-\dfrac{1}{4x\sqrt{x}}$ pour $x > 0$	Concave sur $[0 ; +\infty[$
$x \mapsto e^x$	$e^x$	Convexe sur $\mathbb{R}$
$x \mapsto \ln(x)$	$-\dfrac{1}{x^2}$	Concave sur $]0 ; +\infty[$

Comment étudier la convexité d’une fonction ?

Pour une fonction deux fois dérivable, la méthode tient en quatre étapes :

calculer $f'(x)$ , puis $f''(x)$ ;
étudier le signe de $f''(x)$ sur l’intervalle, souvent en factorisant ;
conclure : $f$ est convexe là où $f'' \geqslant 0$ et concave là où $f'' \leqslant 0$ ;
repérer les valeurs où $f''$ s’annule en changeant de signe : ce sont les abscisses des points d’inflexion.

Reprenons $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2$ sur $\mathbb{R}$ . On a $f''(x) = 6x - 6 = 6(x - 1)$ .

Si $x < 1$ , $f''(x) < 0$ : $f$ est concave sur $]-\infty ; 1]$ .
Si $x > 1$ , $f''(x) > 0$ : $f$ est convexe sur $[1 ; +\infty[$ .

$f''$ s’annule en 1 en changeant de signe. Comme $f(1) = 1 - 3 + 2 = 0$ , le point $(1 ; 0)$ est un point d’inflexion de la courbe. La tangente en ce point a pour coefficient directeur $f'(1) = 3 - 6 = -3$ , donc pour équation $y = -3x + 3$ .

On peut aussi lire la convexité sur un graphique. Sur la courbe de $f'$ , on cherche où $f'$ croît (convexité) et où elle décroît (concavité). Sur la courbe de $f''$ , on cherche où elle est au-dessus ou au-dessous de l’axe des abscisses.

💡 Astuce : lisez bien l’énoncé. Si le graphique donné est celui de

$f'$ , la convexité de

$f$ se lit sur les variations de la courbe, pas sur son signe. Le signe de

$f'$ donne les variations de

$f$ , les variations de

$f'$ donnent la convexité de

$f$ .

Qu’est-ce qu’un point d’inflexion ?

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ et $A$ le point de sa courbe d’abscisse $a$ . On dit que $A$ est un point d’inflexion lorsque la courbe traverse sa tangente en $A$ . En ce point, la fonction change de convexité : elle passe de concave à convexe, ou l’inverse.

Pour une fonction deux fois dérivable, le critère pratique est le suivant : $A(a ; f(a))$ est un point d’inflexion si et seulement si $f''$ s’annule en $a$ en changeant de signe.

Pour $x \mapsto x^3$ , $f''(x) = 6x$ change de signe en 0 : l’origine est un point d’inflexion, et la courbe traverse sa tangente, l’axe des abscisses.
Pour $f(x) = (x + 2)e^{-x}$ , on trouve $f''(x) = x \, e^{-x}$ , du signe de $x$ . La courbe a un point d’inflexion en $(0 ; 2)$ .

Le changement de signe est indispensable. Pour $f(x) = x^4$ , on a $f''(x) = 12x^2$ , qui s’annule en 0 sans changer de signe : $f$ est convexe sur $\mathbb{R}$ et sa courbe n’a pas de point d’inflexion.

Comment démontrer une inégalité avec la convexité ?

La convexité permet de comparer une fonction à sa tangente, ce qui donne des inégalités sans étude de fonction auxiliaire. Le programme demande de savoir démontrer le résultat suivant : si $f''$ est positive sur $I$ , la courbe de $f$ est au-dessus de ses tangentes.

Démonstration. Soit $a$ dans $I$ . On pose $g(x) = f(x) - \left[f'(a)(x - a) + f(a)\right]$ , l’écart entre la courbe et la tangente en $a$ . Alors $g'(x) = f'(x) - f'(a)$ et $g''(x) = f''(x) \geqslant 0$ . Donc $g'$ est croissante sur $I$ , et comme $g'(a) = 0$ , $g'$ est négative avant $a$ et positive après. La fonction $g$ est donc décroissante puis croissante : elle admet un minimum en $a$ , égal à $g(a) = 0$ . Ainsi $g(x) \geqslant 0$ pour tout $x$ de $I$ : la courbe est au-dessus de la tangente.

Trois inégalités classiques se démontrent ainsi.

La fonction exponentielle est convexe sur $\mathbb{R}$ . Sa tangente en 0 a pour équation $y = x + 1$ , donc $e^x \geqslant 1 + x$ pour tout réel $x$ .
La fonction $\ln$ est concave sur $]0 ; +\infty[$ . Sa tangente en 1 a pour équation $y = x - 1$ , donc $\ln(x) \leqslant x - 1$ pour tout $x > 0$ .
La fonction $f : x \mapsto \sqrt{1 + x}$ vérifie $f''(x) = -\dfrac{1}{4(1 + x)\sqrt{1 + x}} < 0$ sur $]-1 ; +\infty[$ , elle y est donc concave. Avec $f(0) = 1$ et $f'(0) = \dfrac{1}{2}$ , la tangente en 0 est $y = 1 + \dfrac{x}{2}$ , d’où $\sqrt{1 + x} \leqslant 1 + \dfrac{x}{2}$ pour tout $x > -1$ .

La position par rapport aux sécantes donne d’autres inégalités. Pour $a$ et $b$ réels, le milieu du segment qui joint $(a ; e^a)$ et $(b ; e^b)$ est au-dessus de la courbe de l’exponentielle, convexe, ce qui s’écrit :

$e^{\frac{a+b}{2}} \leqslant \dfrac{e^a + e^b}{2}$

Pour vous entraîner sur ces méthodes, les exercices corrigés de dérivation et convexité reprennent les calculs de dérivées, l’étude de points d’inflexion et les inégalités de convexité. Le chapitre sert ensuite dans le cours sur les primitives, qui inverse la formule de dérivation d’une composée. Si certains points restent fragiles, un professeur particulier de maths peut les reprendre avec vous, et les stages intensifs de terminale permettent de revoir le chapitre pendant les vacances.

Ce cours suit le programme de spécialité fixé par l’arrêté du 19 juillet 2019, en vigueur jusqu’au bac 2027. Le nouveau programme de terminale, publié au Bulletin officiel du 2 avril 2026 et applicable à la rentrée 2027, reprend la partie « Compléments sur la dérivation » sans modification : le cours vaut donc aussi pour les élèves qui passeront le bac à partir de 2028.

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FAQ sur la dérivation et la convexité en terminale

Comment savoir si une fonction est convexe ?

Pour une fonction deux fois dérivable, on calcule la dérivée seconde f'' et on étudie son signe. La fonction est convexe sur les intervalles où f'' est positive ou nulle, et concave là où f'' est négative ou nulle. On peut aussi vérifier que f' est croissante, ou que la courbe est au-dessus de ses tangentes.

Quelle est la différence entre une fonction convexe et une fonction concave ?

La courbe d'une fonction convexe est située sous ses sécantes et au-dessus de ses tangentes, comme la parabole de x². La courbe d'une fonction concave est au-dessus de ses sécantes et sous ses tangentes, comme celle de la racine carrée. Une fonction f est concave exactement quand -f est convexe.

Un point où la dérivée seconde s'annule est-il toujours un point d'inflexion ?

Non. Il faut que f'' s'annule en changeant de signe. Pour f(x) = x puissance 4, la dérivée seconde 12x² s'annule en 0 sans changer de signe : la fonction est convexe sur tout R et sa courbe n'a pas de point d'inflexion.

Comment dériver une fonction composée en terminale ?

On utilise la formule (v o u)' = (v' o u) × u' : on dérive la fonction extérieure en gardant l'intérieur, puis on multiplie par la dérivée de l'intérieur. Par exemple, la dérivée de e puissance (-x²) est -2x × e puissance (-x²).

Quelles fonctions de référence sont convexes ou concaves ?

Les fonctions carré et exponentielle sont convexes sur R. Les fonctions racine carrée et logarithme népérien sont concaves sur leur ensemble de définition. La fonction cube est concave pour les x négatifs et convexe pour les x positifs. La fonction inverse est concave sur les réels strictement négatifs et convexe sur les réels strictement positifs.

Qu'est-ce que la convexité en maths ?

La convexité décrit la forme d'une courbe sur un intervalle. Une fonction est convexe quand sa courbe est tournée vers le haut, sous ses cordes et au-dessus de ses tangentes. Elle est concave quand sa courbe est tournée vers le bas. En terminale, on la détermine avec le signe de la dérivée seconde.

Sources

Ministère de l’Éducation nationale, programme de l’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale générale, arrêté du 19 juillet 2019 (BO spécial n° 8 du 25 juillet 2019), partie Analyse, section « Compléments sur la dérivation ».
Ministère de l’Éducation nationale, programme de l’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale de la voie générale, arrêté du 26 février 2026, BO n° 14 du 2 avril 2026, applicable à la rentrée 2027, partie Analyse, section « Compléments sur la dérivation ».
Éduscol, programmes et ressources en mathématiques, voie générale et technologique.