Chapitres Maths en Terminale Générale

Cours sur les matrices en Terminale

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

A. Définitions des matrices en Terminale

$\bullet$ On appelle matrice réelle $A$ tout tableau rectangulaire de réels.

On note $n$ le nombre de lignes de la matrice $M$ et $p$ le nombre de colonnes de $M$ .

On dit alors que $A$ est une matrice de type $(n, \,p)$ (ou de format $(n , \, p)$ .

Dans le cas général pour une matrice $A$ de type $(n , \,p)$ , on note $a_{i,\, j}$ le terme dans la ligne numéro $i$ et dans la colonne numéro $j$ lorsque $1\leqslant i \leqslant n$ et $2 \leqslant j \leqslant p$ et on peut écrire

$A = \begin{pmatrix} a _{1 , 1} & \cdots & a _{i , j} & \cdots & a_{1 , p} \\ a _{2 , 1} & \cdots & a _{2 , j} & \cdots & a_{2 , p} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a _{i , 1} & \cdots & a _{i , j} & \cdots & a_{i , p} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a _{n , 1} & \cdots & a _{n , j} & \cdots & a_{n , p} \end{pmatrix}$

Une matrice $A$ de type $(2 , 3)$ pourra être notée plus simplement

$\qquad \qquad A = \begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\end{pmatrix}$ .

Une matrice $B$ de type $(3 , 2)$ pourra être notée plus simplement

$\qquad \qquad B = \begin{pmatrix} a&b \\c&d\\e&f\end{pmatrix}$ .

$\bullet$ La matrice de type $(n , p)$ dont tous les éléments sont nuls, est appelée matrice nulle et notée $O_{n,p}$ . Lorsqu’il n’y a pas de confusion possible, on la note $O$ .

$\bullet$ Lorsque le nombre de lignes est égal au nombre de colonnes de $M$ , on dit que la matrice est une matrice carrée d’ordre $n$ (le nombre commun de lignes ou de colonnes). On pourra la noter dans le cas général :

$A = \begin{pmatrix} a _{1 , 1} & \cdots & a _{i , j} & \cdots & a_{1 , n} \\ a _{2 , 1} & \cdots & a _{2 , j} & \cdots & a_{2 , n} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a _{i , 1} & \cdots & a _{i , j} & \cdots & a_{i , n} \\ \vdots & \cdots & \vdots & \cdots & \vdots \\ a _{n , 1} & \cdots & a _{n , j} & \cdots & a_{n , n} \end{pmatrix}$

Les termes $a_{1\,1} \,,\, a_{2,2} \,,\, \cdots \,,\, a_{n,n}$ forment la diagonale de $A$ .

Et simplement,
pour une matrice carrée $A$ d’ordre $2$ ,

$\qquad \qquad A = \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$

et pour une matrice carrée d’ordre $3$ ,

$\qquad \qquad A = \begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$ .

$\bullet$ Lorsque la matrice n’a qu’une ligne ou est de type $(1 , \, n)$ , on dit que c’est une matrice ligne d’ordre $n$ .

Elle pourra être notée

$\quad L = \begin{pmatrix} x_1&\cdots & x_j &\cdots & x_n \end{pmatrix}$ .

Il suffit de l’écrire $L = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ si $n = 2$ et $L = \begin{pmatrix} x & y &z\end{pmatrix}$ si $n = 3$ .

$\bullet$ Lorsque la matrice n’a qu’une colonne (ou est de type $(n , 1)$ ), on dit que c’est une matrice colonne d’ordre $n$ .
Une matrice $X$ colonne d’ordre $n$ pourra donc être notée

$X = \begin{pmatrix} x_1\\x_2\\\vdots \\x_n \end{pmatrix}$ .

Avec les notations plus simples, $X = \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}$ pour une matrice colonne d’ordre $2$ et $X = \begin{pmatrix} x \\y \\ z \end{pmatrix}$ pour une matrice colonne d’ordre 3.

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B. Premières opérations sur les matrices en Terminale

1. Produit d’une matrice par un réel

Si $A$ est une matrice de type $(n ,\, p)$ et si $k$ est un réel, on note $k \times A = k \, A$ la matrice de type $(n , p)$ obtenue en multipliant chaque terme de la matrice $A$ par le réel $k$ .

propriétés :

Si $k = 0$ , $0\times A$ est la matrice nulle (de même type que $A$ ).

Si $k = - 1$ , la matrice $( -1) \times A$ est notée $- A$ et appelée matrice opposée de $A$ .

Pour tout réel $k$ , si $A$ est la matrice nulle, $k \, A = O$ .

2. Addition de deux matrices en Maths expertes

$\bullet$ Si $A$ et $B$ sont deux matrices de même type $(n , \,p)$ ,

$A + B$ est la matrice de type $(n, p)$ dont l’élément en ligne $i$ et colonne $j$ est la somme de $a_{i,j}$ et de $b _ {i,j}$ .

Si $A = \left (a _{i,j} \right ) _{1 \leqslant i \leqslant n\,,\, 1\leqslant j \leqslant p } \,$

et $B = \left (b _{i,j} \right ) _{1 \leqslant i \leqslant n\,,\, 1\leqslant j \leqslant p } \,$

$A + B = \left (a _{i,j} + b_{i,j} \right ) _{1 \leqslant i \leqslant n\,,\, 1\leqslant j \leqslant p } \,$ .

3. Propriétés de deux matrices

$\bullet$ Les matrices $A$ et $B$ étant de même format $(n ,\, p)$ ,

$\ast$ $A + B = B + A$

$\ast$ $A + O_{n ,\, p} = O_{n ,\, p} + A = A$

$\ast$ $A + (-A) = (-A) + A = O_{n , \,p}$

$\ast$ Si $k \in \mathbb{R}$ , $k( A + B) = k \, A + k \, B$ .

$\ast$ On définit la différence des deux matrices $A$ et $B$ par $A + (-B)$ et on la note $A - B$
l’élément en ligne $i$ et colonne $j$ est égal à $a_{i,j} - b _ {i,j}\,$ .

$\ast$ Si $k \in \mathbb{R}$ , $k( A - B) = k \, A - k \, B$ .

C. Produit matriciel en Terminale

1. Produit d’une matrice par une matrice colonne

On commence par des cas particuliers

$\bullet$ $A = \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$ et $X = \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}$

$A \, X$ est une matrice colonne à 2 lignes donnée par

$A \, X = \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}\; \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a \, x + b \, y \\ c \, x + d \, y \end{pmatrix}$

$\bullet$ $A = \begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$ et $X = \begin{pmatrix} x \\y \\z \end{pmatrix}$

$A \, X$ est une matrice colonne à 3 lignes donnée par

$A \, X = \begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}\; \begin{pmatrix} x \\y\\z \end{pmatrix}$

$A \, X = \begin{pmatrix} a \, x + b \, y + c \ z \\ d \, x + e \, y + f \, z \\ g \, x + h \, y + i \, z \end{pmatrix}$ .

2. Produit de deux matrices carrées de même ordre

Si $A$ et $B$ sont deux matrices carrées d’ordre $n$ , on peut définir le produit $A \, B$ et on obtient une matrice carrée d’ordre $n$ .

$\bullet$ On commence par le cas d’un produit de deux matrices carrées d’ordre $2$

$A = \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} x&y\\z&t\end{pmatrix}$

$A \, B = \begin{pmatrix} a\, x + b \, z &a \,y + b \, t \\c\, x + d \, z &c \,y + d \, t \end{pmatrix}$ .

$\bullet$ Pour le produit de deux matrices carrées d’ordre 3 :

$A = \begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$

et $B = \begin{pmatrix} x &x'&x''\\y&y'&y''\\z &z'&z'' \end{pmatrix}$

$A \, B$ est égale à

$\left ( \begin{matrix} a\,x + b\, y + c \, z &a\,x' + b\, y' + c \, z'& \textrm{ } \\d \, x + e \, y + f \, z &d \, x' + e \, y' + f \, z'&\textrm{ } \\g\, x + h \, y + i \, z &g\, x' + h \, y' + i \, z' &\textrm{ } \end{matrix} \right.$

et sa troisième colonne est

$\qquad \qquad \quad \left. \begin{matrix} a\,x'' + b\, y''+ c \, z''\\d \, x'' + e \, y'' + f \, z''\\g\, x'' + h \, y''+ i \, z'' \end{matrix} \right )$

Le terme en ligne $i$ et colonne $j$ s’obtient en multipliant la ligne $i$ de $A$ par la colonne $j$ de $B$ .

3. Produit d’une matrice ligne par une matrice en Terminale

$\bullet$ Si $A$ est une matrice carrée d’ordre 2 et $L$ une matrice ligne à deux colonnes,

$L \, A$ est une matrice ligne à deux colonnes

$L \,A = \begin {pmatrix} x & y \end{pmatrix} \; \begin{pmatrix} a&b\\c&d\end{pmatrix}$

$L \,A = \begin {pmatrix} a \, x + c \, y & b \, x + d\, y \end{pmatrix}$ .

$\bullet$ Si $A$ est une matrice carrée d’ordre 3 et $L$ une matrice ligne à trois colonnes,

$L \, A$ est une matrice ligne à trois colonnes

$L \,A = \begin {pmatrix} x & y & z \end{pmatrix} \; \begin{pmatrix} a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{pmatrix}$

$L \,A = ( \begin {matrix} a \, x + d \, y + g \, z & b \, x + e\, y + h \, z \end{matrix}$ $\qquad \qquad \qquad \qquad c\, x + f \, y + z \, i )$ .

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D. Propriétés du produit matriciel en Terminale en Maths Expertes

1. Propriétés du produit matriciel en Maths Expertes

$\bullet$ Sous réserve de définition de la somme et du produit,
pour toutes matrices $A$ , $B$ et $C$ et tout réel $k$ ,

$\ast$ $A \, (k \, B) = (k \, A) \, B = k\, (A \, B)$ que l’on note $k \, A\, B$ .

$\ast$ $A\, (B \, C) = (A \, B) \, C$

$\ast$ $A \, (B + C) = A\, B + A\, C$

$\ast$ $(A + B) \, C = A \, C + B \, C$ .

$\ast$ $A$ de type $(n , \, p)$ , $A \, O_{p , \,k} = O_{n , \,k}$

et $O_{k , \,n} \, A = O_{k , \,p}\,$ .

2. Matrices identité d’ordre $n$ ,

$\ast$ Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On note $I_n$ la matrice carrée d’ordre $n$ , dont tous les termes sont nuls sauf les termes de la diagonale (soit d’indices $(i , i)$ ) sont égaux à $1$ . On l’appelle matrice identité d’ordre $n$ .

$I_2 = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}$ et $I_3 = \begin{pmatrix} 1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ .

$\ast$ Sous réserve que les produits soient définis, $A \, I_n = A$ et $I_n \, B = B$

donc si $A$ est carrée d’ordre $n$ , $\qquad \quad I_n \, A = A \, I_n = A$ .

3. Matrice inversible en terminale générale

$\bullet$ Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ . S’il existe deux matrices $B$ et $C$ carrées d’ordre $n$ telles que $A \, B = I_n\,$ et $C \, A = I_n\,$ , alors $B = C$ .

$\bullet$ Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ . On dit que $A$ est une matrice inversible lorsqu’il existe une matrice $B$ carrée d’ordre $n$ telle que $A \, B = I_n$ et $B \, A = I_n$ .

Dans ce cas, la matrice $B$ est unique et on l’appelle matrice inverse de la matrice $A$ et on note $B = A ^{ - 1}$ .

$\bullet$ Soit $A$ une matrice carrée d’ordre $n$ inversible et $B$ et $C$ deux matrices de type $(n , p)$ ,

$\qquad A \, B = C$ ssi $B = A ^{ - 1} \, C$ .

4. Puissance $n$ -ième d’une matrice carrée $A$ d’ordre $p$ .

$\bullet$ Si $A$ est une matrice carrée d’ordre $p$ , on définit

$A ^0 = I_n$ et si $n \in \mathbb{N}$ , $A ^{n + 1} = A ^n \, A$ .

Si $n \in \mathbb{N}$ et $n \geqslant 2$ , $A ^n$ est le produit de $n$ matrices $A$ et $A ^1 = A$ .

$\bullet$ Si $A$ est une matrice carrée et si $(n, p) \in \mathbb{N}^2$ , $A ^{n + p} = A ^n \, A^p$ .

$\bullet$ Si $D$ est une matrice carrée diagonale et $n \in \mathbb{N }$ ,

$\ast$ $D = \begin{pmatrix} a &0\\0&b \end{pmatrix}$ , $D ^n = \begin{pmatrix} a^n &0\\0&b^n \end{pmatrix}$ .

$\ast$ $D = \begin{pmatrix} a &0&0 \\0&b&0\\0&0&c \end{pmatrix}$

$\qquad \qquad D ^n = \begin{pmatrix} a^n &0&0\\0&b^n&0\\0&0&c^n \end{pmatrix}$ .

Ce sera en particulier simple
$\ast$ lorsque $A ^2 = \alpha \, A$ ,
il faudra prouver que $A ^n = \alpha ^{n - 1} \, A$ lorsque $n \geqslant 1$ .

$\ast$ lorsque $A ^3 = \alpha \,A$ ,
il faudra alors prouver que $A^{2 \, n + 1} = \alpha ^{n} \, A$ et $A ^{2 n} = \alpha ^{n - 1} \, A ^2$ si $n \geqslant 1$ .

$\ast$ Dans certains cas, on peut trouver une relation de récurrence vérifiée par les coefficients $a_n \,,\, b_n \,,\,$ etc de la matrice $A ^n$ .

Les mathématiques sont une matière très difficile et le programme de maths expertes est quant à lui encore plus difficile. N’accumulez pas les lacunes et relisez régulièrement vos cours de maths pour être certain d’avoir assimilé les notions essentielles de chaque chapitre. Quelques cours à bien revoir avant le bac :

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3. Produit d’une matrice ligne par une matrice en Terminale

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2. Matrices identité d’ordre $n$ ,

3. Matrice inversible en terminale générale

4. Puissance $n$ -ième d’une matrice carrée $A$ d’ordre $p$ .

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