Chapitres Maths en Terminale Générale

Cours sur les graphes en terminale

Résumé de cours : les graphes en Terminale en Maths Expertes

Ce cours en ligne sur les graphes au programme de terminale permet de revoir les notions importantes du cours pour réussir en terminale et obtenir de bons résultats au bac. N’hésitez pas à compléter vos entrainements avec une recherche de prof de maths à domicile.

1. Graphe non orienté en Maths expertes

1.1. Définitions du graphe non orienté en terminale

$\bullet$ Un graphe non orienté d’ordre $n$ est la donnée d’un ensemble de $n$ points, appelés sommets et d’arêtes liant certains sommets.

$\ast$ Si deux sommets sont reliés par une arête (schématisée par un trait), ils sont dits adjacents.
$\ast$ Une arête reliant un sommet à lui-même est appelée une boucle.
$\ast$ Un sommet est isolé s’il n’est lié à aucun autre sommet du graphe.
$\ast$ L’ordre d’un graphe est le nombre de sommets.

$\bullet$ Un graphe non orienté est

$\ast$ simple si au plus une arête relie deux sommets et s’il n’y a pas de boucle sur un sommet.
$\ast$ complet si tous ses sommets sont adjacents.

$\bullet$ Un sous-graphe d’un graphe $G$ est un graphe constitué de certains des sommets du graphe initial et des arêtes joignant ces sommets

1.2. Degrés et nombre d’arêtes

Théorème : Dans un graphe simple non orienté, la somme des degrés des sommets est le double du nombre d’arêtes.

Conséquence : Si $G$ est un graphe simple non orienté et complet de $n$ sommets, chaque sommet est de degré $n - 1$ .
Il a $\dfrac {n (n - 1)} 2$ arêtes.

1.3. Chaîne et cycle Eulérien en terminale

$\bullet$ Définitions :

$\ast$ Une chaîne est une suite de sommets telle que chaque sommet est relié au suivant par une arête.
La longueur d’une chaîne est le nombre d’arêtes composant cette chaîne.

$\ast$ Un cycle est une chaîne fermée (c’est à dire dont l’origine et l’extrémité sont identiques) dont toutes les arêtes sont distinctes.

$\ast$ Un graphe est connexe si deux sommets quelconques peuvent être reliés par une chaîne.

$\ast$ Une chaîne eulérienne est une chaîne qui contient une fois et une seule chacune des arêtes du graphe.
Si cette chaîne est un cycle, on parle de cycle eulérien.

PROF DE MATHS PARTICULIER

Des cours de qualité et enseignants aguerris

Préparer des concours ou s'exercer

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

2. Graphe orienté en maths expertes

$\bullet$ Un graphe orienté d’ordre $n$ est la donnée d’un ensemble de $n$ points, appelés sommets et d’arcs définis par une origine et une extrémité. Graphiquement, on place une flèche sur les arcs pour indiquer le sens de parcours.

Le degré entrant d’un sommet est le nombre d’arcs dirigés vers ce sommet, le degré sortant est le nombre d’arcs issus de ce sommet.

Il faut donc distinguer si $A$ et $B$ sont deux sommets distincts : un arc allant de $A$ vers $B$ et un arc allant de $B$ vers $A$ .

$\bullet$ On définit de même

$\ast$ graphe simple : au plus un arc d’un sommet vers un autre et pas de boucle.
$\ast$ sommets adjacents : sommets liés par un arc (le sommet $A$ peut être adjacent à $B$ et $B$ ne pas être adjacent à $A$ ).
$\ast$ chemin : une suite de sommets dans laquelle deux sommets consécutifs sont adjacents.
$\ast$ chemin fermé : un chemin dont le premier et dernier sommet sont confondus.
$\ast$ cycle : chemin fermé dont les arcs sont distincts.
$\ast$ graphe connexe : il existe un chemin passant par tous les sommets.
$\ast$ chemin eulérien : une chemin contenant chaque arc une et une seule fois
$\ast$ cycle eulérien : une chemin eulérien fermé.

Le théorème d’Euler n’est pas valable.

On ne définit pas la notion de graphe complet.

3. Matrices d’adjacence d’un graphe en terminale générale

Soit un graphe orienté ou non d’ordre $n$ dont on numérote les sommets de $1$ à $n$ .

On appelle matrice d’adjacence associée à ce graphe, la matrice carrée d’ordre $n$ notée $M = (m_{i,j} ) _ {1\leqslant i,j\leqslant n}$ telle que $m_{i,j}$ est égal au nombre d’arêtes (resp arcs) liant le sommet $i$ au sommet $j$ .

$\bullet$ Pour un graphe non orienté
pour tout $(i, j )\in [\![1 , n]\!]^2$ , $m_{i,j} = m _{j , i}$

On dit que la matrice $M$ est symétrique.

$\bullet$ Pour un graphe orienté, on peut trouver $i \neq j$ tel que $m_{i,j} \neq m_{i,j}$

$\bullet$ Pour $i \in [\![1 , n]\!]$ , $m_{i,i} \neq 0$ ssi il y a au moins une boucle au sommet $i$ .

$\bullet$ Pour un graphe simple (orienté ou non), les éléments d’une matrice d’adjacence sont égaux à $1$ ou $0$ .

Pour réussir l’épreuve de maths au bac, qui exige aux élèves ayant choisi l’option maths expertes, d’avoir un bon niveau de maîtrise de chaque notion, il est important de travailler sur tous les chapitres. Les élèves peuvent retrouver d’autres fiches de cours ici :