Chapitres Maths en Terminale Générale

Géométrie dans l’espace en terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Résumé de cours : La géométrie dans l’espace au programme en Terminale

Le coefficient au bac des mathématiques pour ceux ayant pris la spécialité en Terminale est très élevé. Bien connaître toutes les notions au programme de maths en Terminale est donc indispensable pour réussir en Terminale. Ce cours et ces exercices corrigés sur la géométrie dans l’espace, vous permettront dans un premier temps, de revoir les définitions, les propriétés et les méthodes de calculs essentielles, puis d’identifier vos points forts et vos points faibles avec les exercices. Si vous rencontrez des difficultés, n’hésitez pas à prendre des cours particuliers de maths à Paris. Pour les élèves qui souhaitent une vraie remise à niveau ou qui souhaitent aller plus loin dans le programme de terminale, il est également possible de suivre des stages de révisions pendant les vacances scolaires.

1. Rappels sur le produit scalaire dans le plan

Définition :

On appelle produit scalaire de deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ , le réel $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ défini par:

$\boxed{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = ||\overrightarrow{u}|| \times ||\overrightarrow{v}|| \times cos(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}$ si aucun des deux vecteurs n’est nul

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\text{ si au moins l'un des vecteurs est nul}$

Autre expression du produit scalaire

Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ :

$\boxed{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \dfrac{1}{2} \left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^{2}-||\overrightarrow{u}||^{2}-||\overrightarrow{v}||^{2}\right)}$

Dans un repère orthonormé, si les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ ont pour coordonnées respectives $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \\ \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ \end{pmatrix}$ , alors:

$\boxed{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy'}$

Propriétés

$\bullet$ Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ , $\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ et pour tous réels $a$ , $b$ et $c$ :

$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$

(symétrie)

$(a\overrightarrow{u}).(b\overrightarrow{v}) = (ab)\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$

(multiplication par un scalaire)

$\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$

(distributivité)}

$\bullet$ Soient $A$ et $B$ deux points distincts. Un point $M$ vérifie $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}$ si et seulement si il appartient au cercle de diamètre $[AB]$ .

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2. Produit scalaire dans l’espace

Définition :

$\bullet$ Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ des vecteurs non nuls, et $A$ un point de l’espace. On note $B$ et $C$ les points de l’espace tels que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}$ . Les points $A$ , $B$ et $C$ étant coplanaires, on définit le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ comme étant le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ dans tout plan passant par $A$ , $B$ et $C$ .

$\bullet$ Si $\overrightarrow{u}$ ou $\overrightarrow{v}$ est le vecteur nul, alors le produit scalaire $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ est nul.

Règle fondamentale :

Toutes les propriétés du produit scalaire établies en géométrie plane sont valables dans l’espace, pour des points et des vecteurs coplanaires.

Expression du produit scalaire dans un repère orthonormal

Si l’espace est rapporté à un repère orthonormal $(O,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ , alors le produit scalaire des vecteurs $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \\ \end{pmatrix}$ et $\overrightarrow{v} \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ \end{pmatrix}$ vérifie:

$\boxed{\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy' + zz'}$

3. Représentation paramétrique d’une droite de l’espace

Soient $A(x_{0};y_{0};z_{0})$ et $\overrightarrow{u} \begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}$ un vecteur non nul. La droite $D$ passant par $A$ et de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ est l’ensemble des points $M(x;y;z)$ tels que:

$\boxed{\overrightarrow{AM} = k\overrightarrow{u}\text{, }k \in \mathbb{R}}$

$\Updownarrow$

$\left \{ \begin{array}{c @{=} c c} x-x_{0} \text{ }&\text{ } ka \\ y-y_{0} \text{ }&\text{ } kb & \text{ (avec $k \in \mathbb{R}$)}\\ z-z_{0} \text{ }&\text{ } kc \\ \end{array} \right.$

$\Updownarrow$

$\boxed{\left \{ \begin{array}{c @{=} c c} x \text{ }&\text{ } x_{0}+ka \\ y \text{ }&\text{ } y_{0}+kb & \text{ (avec $k \in \mathbb{R}$)}\\ z \text{ }&\text{ } z_{0}+kc \\ \end{array} \right.}$

Ce système est appelé une représentation paramétrique de la droite $D$ .

4. Equation cartésienne d’un plan

On se place dans un repère orthonormal $(0,\overrightarrow{i};\overrightarrow{j};\overrightarrow{k})$ .

$\bullet$ Soient $A$ un point de l’espace et $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}$ un vecteur non nul. Le plan passant par $A$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ est l’ensemble des points $M$ tels que les vecteurs $\overrightarrow{AM}$ et $\overrightarrow{n}$ soient orthogonaux, c’est-à-dire l’ensemble des points $M$ tels que:

$\boxed{\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0}$

Les plans admettant $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}$ pour vecteur normal ont une équation cartésienne du type:

$\boxed{ax+by+cz+d=0\text{, avec }d \in \mathbb{R}}$

$\bullet$ Toute équation du type $ax+by+cz+d=0$ , où $a$ , $b$ , $c$ et $d$ sont des réels non simultanément nuls, est une équation de plan, et $\overrightarrow{n}\begin{pmatrix} a \\ b \\ c \\ \end{pmatrix}$ est un vecteur normal à ce plan.

$\bullet$ Soient $A(x_{0};y_{0};z_{0})$ et $P$ le plan d’équation $ax+by+cz+d=0$ . La distance du point $A$ au plan $P$ , notée $d(A,P)$ , vérifie:

$\boxed{d(A,P) = \frac{|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|}{\sqrt{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

4. Intersection de deux plans, d’une droite et d’un plan, de trois plans

Intersection de deux plans

Soient $P$ et $P'$ deux plans de vecteurs normaux respectifs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n'}$ .

$\bullet$ Si les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n'}$ sont colinéaires, alors les plans $P$ et $P'$ sont parallèles:

soit $P$ et $P'$ sont strictement parallèles: $P \cap P' = \emptyset$

soit $P$ et $P'$ sont confondus: $P \cap P' = P = P'$

$\bullet$ Si les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{n'}$ ne sont pas colinéaires, alors les plans $P$ et $P'$ sont sécants et leur intersection est une droite:

$P \cap P' = D$

Intersection d’une droite et d’un plan

Soient $P$ un plan de vecteur normal $\overrightarrow{n}$ et $D$ une droite de vecteur directeur $\overrightarrow{u}$ .

$\bullet$ Si les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$ sont orthogonaux, alors la droite $D$ est parallèle au plan $P$ :

soit $D$ est strictement parallèle à $P$ : $D \cap P = \emptyset$

soit $D$ est incluse dans $P$ : $D \cap P = D$

$\bullet$ Si les vecteurs $\overrightarrow{n}$ et $\overrightarrow{u}$ ne sont pas orthogonaux, alors la droite $D$ et le plan $P$ sont sécants. Leur intersection est un singleton, c’est-à-dire un ensemble formé d’un seul point :

$D \cap P = \{A\}$

Intersection de trois plans

L’intersection de trois plans est:
soit un singleton
soit une droite
soit un plan
soit l’ensemble vide

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Exercices sur la géométrie dans l’espace en terminale :

Exercice 1 : Représentation paramétrique

On considère les points $A(2;-3;0)$ , $B(-1;2;4)$ , et $C(-3;3;0)$ .

Question 1 :

Donner une représentation paramétrique de la droite $(AB)$ .

Question 2 :

Donner une représentation paramétrique de la demi-droite $[BC)$ .

Question 3 :

Donner la représentation paramétrique du segment $[AC]$

Exercice 2 : Equation cartésienne du plan en terminale

Déterminer une équation cartésienne du plan $P$ défini par la condition suivante :

Question 1 :

Le projeté orthogonal de l’origine $O$ sur $P$ est le point $A(1;-5;7)$ .

Question 2 :

$P$ passe par les points $A(2;-3;1)$ , $B(1;0;2)$ et $C(4;-2;3)$

Question 3 :

$P$ est le plan médiateur du segment $[AB]$ , avec $A(0;2;1)$ et $B(4;-1;3)$ (le plan médiateur d’un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu).

Question 4 :

$P$ est parallèle au plan $Q$ d’équation $2x+y-3z+7=0$ , et passe par le point $A(3;-2;5)$

Annales sur la géométrie dans l’espace en terminale

Entraînez-vous aussi sur les annales de maths au bac tout au long de l’année, c’est la clé de la réussite pour avoir de très bons résultats au bac. De plus, si vous visez la mention bien, voire la mention très bien au bac, utilisez aussi notre simulateur du bac afin d’avoir une idée des notes à obtenir pour décrocher cette mention. Plus vous vous entraînerez à travailler régulièrement dès le lycée, plus vous aurez de chance de réussir au sein des meilleures prépa scientifiques ou des meilleures prépa HEC.

Avant de vous tester en conditions réelles sur les annales du bac, vérifiez vos connaissances et travaillez vos points faibles sur les différents chapitres grâce aux cours en ligne de maths de terminale. Voici quelques chapitres à bien réviser :

Géométrie dans l’espace en terminale

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1. Rappels sur le produit scalaire dans le plan

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2. Produit scalaire dans l’espace

3. Représentation paramétrique d’une droite de l’espace

4. Equation cartésienne d’un plan

4. Intersection de deux plans, d’une droite et d’un plan, de trois plans

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Exercices sur la géométrie dans l’espace en terminale :

Exercice 1 : Représentation paramétrique

Exercice 2 : Equation cartésienne du plan en terminale

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