Chapitres Maths en Terminale Générale

Géométrie dans l’espace en terminale : cours, formules et méthodes

Par Seda Biber, le 22/10/2026

En terminale, la géométrie dans l’espace consiste à décrire des droites et des plans avec des vecteurs et des coordonnées. Une droite se décrit par une représentation paramétrique, construite à partir d’un point et d’un vecteur directeur. Un plan se décrit par une équation cartésienne $ax+by+cz+d=0$ , où le vecteur $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ est un vecteur normal au plan. Le produit scalaire $xx'+yy'+zz'$ sert à démontrer des orthogonalités et à calculer des distances. Ce chapitre fait partie de la spécialité maths et prolonge le produit scalaire vu en maths de première. Si un point reste flou, nos cours particuliers de maths en terminale permettent de le reprendre avec un professeur.

Résumé de cours Cours en ligne de maths en terminale

Quelles sont les formules de géométrie dans l’espace à connaître ?

Le tableau ci-dessous rassemble les formules du chapitre, dans un repère orthonormé $(O\,;\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ , avec $\vec{u}(x\,;y\,;z)$ et $\vec{v}(x'\,;y'\,;z')$ .

Notion	Formule	À quoi elle sert
Produit scalaire	$\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'$	Démontrer une orthogonalité, calculer un angle
Norme d’un vecteur	$\\|\vec{u}\\|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$	Calculer une longueur
Distance entre deux points	$AB=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$	Calculer la longueur d’un segment
Orthogonalité	$\vec{u}\perp\vec{v} \iff \vec{u}\cdot\vec{v}=0$	Montrer que deux droites ou deux vecteurs sont orthogonaux
Représentation paramétrique d’une droite	$x=x_A+ta$ , $y=y_A+tb$ , $z=z_A+tc$ , $t\in\mathbb{R}$	Décrire la droite passant par $A$ et dirigée par $\vec{u}(a\,;b\,;c)$
Équation cartésienne d’un plan	$ax+by+cz+d=0$	Décrire le plan de vecteur normal $\vec{n}(a\,;b\,;c)$
Vecteur normal à un plan	$\vec{n}\cdot\vec{u}=0$ et $\vec{n}\cdot\vec{v}=0$	Avec $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs non colinéaires du plan
Distance d’un point à un plan	$d(M,\mathcal{P})=MH$	Avec $H$ le projeté orthogonal de $M$ sur le plan

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Que contient le chapitre de géométrie dans l’espace en terminale ?

Le programme de spécialité maths de terminale générale, publié au Bulletin officiel spécial n° 8 du 25 juillet 2019, découpe la géométrie dans l’espace en trois parties :

Vecteurs, droites et plans de l’espace : combinaisons linéaires de vecteurs, vecteur directeur d’une droite, plan défini par un point et deux vecteurs non colinéaires, bases et repères, positions relatives de droites et de plans.
Orthogonalité et distances : produit scalaire dans l’espace, bases et repères orthonormés, vecteur normal à un plan, projeté orthogonal d’un point sur une droite ou sur un plan.
Représentations paramétriques et équations cartésiennes : représentation paramétrique d’une droite, équation cartésienne d’un plan, résolution de problèmes d’intersection par des systèmes d’équations.

Ce programme s’applique aux élèves de terminale en 2026-2027. Un nouveau programme de spécialité maths de terminale a été publié au Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026 : il entre en application à la rentrée 2027. Ce chapitre est l’un des chapitres de notre cours de maths en terminale.

Comment décrire une droite ou un plan avec des vecteurs ?

Une droite est déterminée par un point $A$ et un vecteur directeur $\vec{u}$ non nul : un point $M$ appartient à la droite si et seulement si $\overrightarrow{AM}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires, c’est-à-dire s’il existe un réel $t$ tel que $\overrightarrow{AM}=t\vec{u}$ .

Un plan est déterminé par un point $A$ et deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ non colinéaires : un point $M$ appartient au plan si et seulement s’il existe deux réels $s$ et $t$ tels que $\overrightarrow{AM}=s\vec{u}+t\vec{v}$ . On dit alors que $\overrightarrow{AM}$ , $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont coplanaires.

Trois vecteurs non coplanaires forment une base de l’espace. Avec un point origine $O$ , ils forment un repère : tout point $M$ a alors trois coordonnées $(x\,;y\,;z)$ .

Les positions relatives à connaître sont les suivantes :

Objets	Cas possibles	Comment les distinguer
Deux droites	Parallèles (strictement ou confondues), sécantes en un point, non coplanaires	Vecteurs directeurs colinéaires ou non, puis résolution d’un système
Une droite et un plan	Droite incluse dans le plan, strictement parallèle au plan, sécante en un point	Valeur de $\vec{n}\cdot\vec{u}$ : nulle ou non nulle
Deux plans	Parallèles (strictement ou confondus), sécants selon une droite	Vecteurs normaux colinéaires ou non

Deux droites non coplanaires n’ont aucun point commun et ne sont pas parallèles : c’est le cas qui n’existe pas dans le plan et qui surprend souvent en début de chapitre.

Comment calculer un produit scalaire dans l’espace ?

Le produit scalaire de deux vecteurs de l’espace se définit comme en première : on se place dans un plan qui contient les deux vecteurs, et toutes les propriétés vues dans le plan restent vraies (symétrie, bilinéarité, $\vec{u}\cdot\vec{u}=\|\vec{u}\|^2$ ). Dans un repère orthonormé, on calcule :

$\vec{u}\cdot\vec{v}=xx'+yy'+zz'$

Exemple : avec $\vec{u}(1\,;2\,;-2)$ et $\vec{v}(4\,;-1\,;1)$ , on obtient $\vec{u}\cdot\vec{v}=1\times4+2\times(-1)+(-2)\times1=4-2-2=0$ . Les vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ sont donc orthogonaux. La norme de $\vec{u}$ vaut $\|\vec{u}\|=\sqrt{1+4+4}=3$ .

Pour calculer un angle, on utilise $\vec{u}\cdot\vec{v}=\|\vec{u}\|\times\|\vec{v}\|\times\cos\theta$ , où $\theta$ est l’angle entre les deux vecteurs.

Qu’est-ce qu’un vecteur normal à un plan ?

Un vecteur normal à un plan $\mathcal{P}$ est un vecteur non nul orthogonal à tous les vecteurs du plan. Il est orthogonal à toutes les droites du plan.

Propriété : pour montrer qu’un vecteur $\vec{n}$ est normal à un plan, il suffit de vérifier qu’il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.

Méthode pour trouver un vecteur normal au plan $(ABC)$ :

Calculer les coordonnées de $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{AC}$ , et vérifier qu’ils ne sont pas colinéaires.
Chercher $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ tel que $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AB}=0$ et $\vec{n}\cdot\overrightarrow{AC}=0$ .
Le système a une infinité de solutions : fixer une valeur (par exemple $b$ ou $c$ ) pour obtenir un vecteur simple.

Exemple : soit $A(1\,;0\,;2)$ , $B(2\,;1\,;0)$ et $C(0\,;1\,;1)$ . On a $\overrightarrow{AB}(1\,;1\,;-2)$ et $\overrightarrow{AC}(-1\,;1\,;-1)$ , qui ne sont pas colinéaires. On cherche $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ tel que :

$\left\{\begin{array}{l} a+b-2c=0 \\ -a+b-c=0 \end{array}\right.$

En additionnant les deux lignes, on obtient $2b-3c=0$ . Avec $c=2$ , on trouve $b=3$ , puis $a=b-c=1$ . Le vecteur $\vec{n}(1\,;3\,;2)$ est normal au plan $(ABC)$ . On vérifie : $1+3-4=0$ et $-1+3-2=0$ .

Il ne faut pas confondre vecteur directeur et vecteur normal : un vecteur directeur d’une droite est parallèle à la droite, alors qu’un vecteur normal à un plan lui est perpendiculaire.

Comment trouver une représentation paramétrique d’une droite ?

La droite $d$ qui passe par $A(x_A\,;y_A\,;z_A)$ et de vecteur directeur $\vec{u}(a\,;b\,;c)$ admet pour représentation paramétrique :

$\left\{\begin{array}{l} x=x_A+ta \\ y=y_A+tb \\ z=z_A+tc \end{array}\right. \quad t\in\mathbb{R}$

Exemple : la droite passant par $A(1\,;0\,;2)$ et dirigée par $\vec{u}(2\,;-1\,;3)$ a pour représentation paramétrique $x=1+2t$ , $y=-t$ , $z=2+3t$ .

Le point $P(5\,;-2\,;8)$ appartient-il à $d$ ? La première équation donne $5=1+2t$ , donc $t=2$ . Avec $t=2$ : $y=-2$ et $z=8$ . Les trois coordonnées correspondent : $P\in d$ .
Le point $Q(3\,;-1\,;4)$ appartient-il à $d$ ? La première équation donne $t=1$ , puis $y=-1$ , mais $z=5\neq4$ . Donc $Q\notin d$ .

Une même droite a une infinité de représentations paramétriques : on peut changer de point ou multiplier le vecteur directeur par un réel non nul. Pour un segment $[AB]$ , on restreint le paramètre à $t\in[0\,;1]$ avec $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ . Pour une demi-droite $[AB)$ , on prend $t\geq0$ .

Comment déterminer une équation cartésienne d’un plan ?

Théorème : le plan qui passe par $A$ et de vecteur normal $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ est l’ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}\cdot\vec{n}=0$ . Il a une équation cartésienne de la forme $ax+by+cz+d=0$ . Réciproquement, si $a$ , $b$ et $c$ ne sont pas tous nuls, l’ensemble des points vérifiant $ax+by+cz+d=0$ est un plan de vecteur normal $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ .

Méthode :

Trouver un vecteur normal $\vec{n}(a\,;b\,;c)$ au plan.
Écrire l’équation sous la forme $ax+by+cz+d=0$ .
Calculer $d$ en remplaçant $x$ , $y$ et $z$ par les coordonnées d’un point du plan.

Exemple : pour le plan $(ABC)$ de l’exemple précédent, $\vec{n}(1\,;3\,;2)$ donne une équation de la forme $x+3y+2z+d=0$ . Comme $A(1\,;0\,;2)$ appartient au plan : $1+0+4+d=0$ , donc $d=-5$ . Le plan $(ABC)$ a pour équation :

$x+3y+2z-5=0$

On vérifie avec $B$ : $2+3+0-5=0$ , et avec $C$ : $0+3+2-5=0$ .

Le plan médiateur d’un segment $[AB]$ est un cas classique : c’est le plan qui passe par le milieu de $[AB]$ et de vecteur normal $\overrightarrow{AB}$ . Il contient tous les points équidistants de $A$ et de $B$ .

Comment étudier l’intersection d’une droite et d’un plan ?

On compare d’abord le vecteur directeur $\vec{u}$ de la droite et le vecteur normal $\vec{n}$ du plan :

Si $\vec{n}\cdot\vec{u}\neq0$ , la droite coupe le plan en un seul point. On remplace $x$ , $y$ et $z$ de la représentation paramétrique dans l’équation du plan, on trouve $t$ , puis les coordonnées du point.
Si $\vec{n}\cdot\vec{u}=0$ , la droite est parallèle au plan. Si un point de la droite appartient au plan, elle est incluse dans le plan. Sinon, elle est strictement parallèle au plan.

Exemple : on reprend le plan $\mathcal{P}$ d’équation $x+3y+2z-5=0$ et la droite $\Delta$ définie par $x=1+t$ , $y=1$ , $z=1$ . Son vecteur directeur est $\vec{u}(1\,;0\,;0)$ et $\vec{n}\cdot\vec{u}=1\neq0$ : la droite coupe le plan. On remplace : $(1+t)+3\times1+2\times1-5=0$ , soit $1+t=0$ , donc $t=-1$ . Le point d’intersection est $I(0\,;1\,;1)$ .

Pour deux plans, on compare leurs vecteurs normaux. Les plans d’équations $x+3y+2z-5=0$ et $2x+6y+4z+1=0$ ont des vecteurs normaux colinéaires, $(1\,;3\,;2)$ et $(2\,;6\,;4)$ : ils sont parallèles. Le point $A(1\,;0\,;2)$ appartient au premier plan mais pas au second ( $2+0+8+1=11\neq0$ ) : les plans sont strictement parallèles. Si les vecteurs normaux ne sont pas colinéaires, les deux plans sont sécants selon une droite. Ces systèmes d’équations linéaires se retrouvent dans le chapitre sur les matrices en maths expertes.

Comment calculer la distance d’un point à un plan ?

Le projeté orthogonal d’un point $M$ sur un plan $\mathcal{P}$ est le point $H$ du plan tel que $\overrightarrow{MH}$ est normal au plan. C’est le point du plan le plus proche de $M$ : cette propriété est une démonstration exigible du programme. La distance du point $M$ au plan est donc la longueur $MH$ .

Méthode :

Écrire une représentation paramétrique de la droite passant par $M$ et dirigée par le vecteur normal $\vec{n}$ .
Calculer le point d’intersection $H$ de cette droite avec le plan.
Calculer la distance $MH$ .

Exemple : on cherche la distance du point $M(2\,;3\,;4)$ au plan $\mathcal{P}$ d’équation $x+3y+2z-5=0$ . La droite passant par $M$ et dirigée par $\vec{n}(1\,;3\,;2)$ a pour représentation $x=2+t$ , $y=3+3t$ , $z=4+2t$ . On remplace dans l’équation du plan :

$(2+t)+3(3+3t)+2(4+2t)-5=0 \iff 14+14t=0 \iff t=-1$

Le projeté orthogonal est $H(1\,;0\,;2)$ . On calcule $MH=\sqrt{(1-2)^2+(0-3)^2+(2-4)^2}=\sqrt{1+9+4}=\sqrt{14}\approx3{,}74$ .

Il existe aussi une formule directe, $d(M,\mathcal{P})=\dfrac{|ax_M+by_M+cz_M+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$ . Elle ne figure pas au programme de terminale : au bac, il faut savoir passer par le projeté orthogonal. Elle permet en revanche de vérifier un résultat : ici, $\dfrac{|2+9+8-5|}{\sqrt{14}}=\dfrac{14}{\sqrt{14}}=\sqrt{14}$ .

💡 Astuce : vérifiez chaque résultat en remplaçant les coordonnées. Un vecteur normal doit donner un produit scalaire nul avec deux vecteurs du plan, une équation de plan doit être vérifiée par les trois points qui le définissent, et un point d’intersection doit vérifier à la fois l’équation du plan et la représentation de la droite. Ces vérifications prennent quelques secondes et permettent de repérer une erreur de signe avant de poursuivre.

Comment se faire aider en géométrie dans l’espace ?

Si le chapitre bloque, un professeur peut reprendre les méthodes avec vous :

Cours particuliers : nos cours particuliers de maths en terminale ont lieu à domicile ou à distance avec nos cours de maths en ligne.
Stages intensifs : pendant les vacances, nos stages de terminale permettent de revoir les chapitres de l’année en petit groupe.
Entraînement : à l’approche de l’épreuve, travaillez sur des sujets complets avec les annales du bac.

Les autres matières sont réunies dans nos cours en ligne de terminale. Vous êtes étudiant ou enseignant et vous maîtrisez ce programme ? Vous pouvez donner des cours particuliers avec Groupe Réussite.

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FAQ : questions fréquentes sur la géométrie dans l’espace en terminale

Quelles sont les formules de géométrie dans l'espace à connaître en terminale ?

Dans un repère orthonormé, il faut connaître le produit scalaire xx' + yy' + zz', la norme d'un vecteur (racine carrée de x² + y² + z²), la distance entre deux points, la représentation paramétrique d'une droite (x = xA + ta, y = yA + tb, z = zA + tc) et l'équation cartésienne d'un plan ax + by + cz + d = 0, dont le vecteur n(a ; b ; c) est normal au plan.

Comment trouver un vecteur normal à un plan avec trois points ?

Avec trois points A, B et C non alignés, on calcule les vecteurs AB et AC. On cherche ensuite un vecteur n(a ; b ; c) dont le produit scalaire avec AB et avec AC est nul. On obtient un système de deux équations à trois inconnues : on fixe une valeur, par exemple c, pour trouver a et b.

Quelle est la différence entre un vecteur directeur et un vecteur normal ?

Un vecteur directeur d'une droite indique sa direction : il est parallèle à la droite. Un vecteur normal à un plan est orthogonal à tous les vecteurs de ce plan : il est perpendiculaire au plan. Dans l'équation ax + by + cz + d = 0, les coefficients a, b et c donnent un vecteur normal au plan.

Comment montrer qu'un point appartient à un plan ?

Il suffit de remplacer x, y et z par les coordonnées du point dans l'équation cartésienne du plan. Si l'égalité est vraie, le point appartient au plan. Par exemple, le point A(1 ; 0 ; 2) appartient au plan d'équation x + 3y + 2z - 5 = 0, car 1 + 0 + 4 - 5 = 0.

Comment montrer que deux droites de l'espace sont non coplanaires ?

On vérifie d'abord que leurs vecteurs directeurs ne sont pas colinéaires : les droites ne sont donc pas parallèles. On cherche ensuite un point commun en égalant les deux représentations paramétriques, avec deux paramètres différents. Si le système n'a pas de solution, les droites n'ont aucun point commun : elles sont non coplanaires.

La formule de la distance d'un point à un plan est-elle au programme ?

Non. Le programme de spécialité de terminale demande de calculer la distance d'un point M à un plan en déterminant le projeté orthogonal H de M sur ce plan, puis la longueur MH. La formule directe peut servir à vérifier un résultat, mais une copie de bac doit présenter la méthode du projeté orthogonal.

Sources

Ministère de l’Éducation nationale, Programme de spécialité de mathématiques de terminale générale, annexe de l’arrêté du 19 juillet 2019, Bulletin officiel spécial n° 8 du 25 juillet 2019.
Ministère de l’Éducation nationale, Programme de l’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale de la voie générale, arrêté du 26 février 2026, Bulletin officiel n° 14 du 2 avril 2026, applicable à la rentrée 2027.
Éduscol, Ressource d’accompagnement sur le produit scalaire, spécialité mathématiques de première, octobre 2020.