Chapitres Maths en Terminale Générale

Cours sur l’intégration en terminale

Résumé de cours sur les intégrales au programme de Terminale

Révisez votre cours sur les intégrales au programme de maths en terminale avec ce cours en ligne et les exercices corrigés. Pour obtenir de bons résultats au bac, il ne faut faire aucune impasse sur le programme de terminale et notamment celui des mathématiques. Les maths ont un gros poids dans les coefficients du bac, il faut donc être certain tout au long de l’année, d’avoir bien assimilé chacune des notions du programme. Si ce n’est pas le cas, il est vivement conseillé de prendre un prof de maths à domicile.

1. Intégrale d’une fonction continue et positive ou nulle sur $[a , b ]$ .

Soit $f$ une fonction continue et positive sur un intervalle $[a,\, b]$ .
Soit $\mathcal{C}_f$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O, \overrightarrow{i}\,,\, \overrightarrow{j})$ .
On appelle
$\bullet$ Unité d’aire (u.a.) : l’aire du rectangle construit à partir des points $O,\, I(1 , 0)$ et $J(0, 1)$ .

$\bullet$ Domaine sous la courbe : domaine délimité par la courbe $\mathcal{C}_f\,$ , l’axe des abscisses et les droites d’équation $x = a$ et $x = b$ . Ce qui se traduit par :
$\{(x , y) \; /\, a \leqslant x \leqslant b \,,\, 0 \leqslant y \leqslant f(x) \}$ .

$\bullet$ Intégrale de $f$ sur $[a,\, b]$ : la mesure de l’aire en u.a. du domaine situé sous la courbe $\mathcal{C}_f$ .
On note : $\int_a ^b \, f(x) \, \textrm{d} \, x$ la mesure de cette aire.

Intégration : Intégrale d’une fonction continue sur $[a ,\, b]$

Définition : $\bullet$ Théorème 1 : toute fonction continue sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ admet une primitive sur $I$ .

Si $I = [a ,\, b]$

On admet que pour toute fonction $f$ continue sur $[a \, b]$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ , il existe $m \in \mathbb{R}$ tel que
$\quad$ pour tout $x \in [a , \, b], \,f(x) \geqslant m$ .

On note $g(x) = f(x) - m$ ; $g$ est continue sur $[a , \,b]$ à valeurs positives ou nulles.
$g$ admet donc une primitive $G$ sur $[a , \,b ]$ .

On pose $F : x \mapsto G(x) + m\, x$
$F$ est dérivable sur $[a , b )$ et si $x \in [a , \, b]$ , $F'(x) = G'(x) + m = g(x) + m = f(x)$
donc $F$ est une primitive de $f$ sur $[a,\, b]$ .

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Intégration : méthodes d’approximation

On cherche à trouver une valeur approchée de $I = \int_a ^b f(t) \, \textrm{d} \, t$ .
On introduit $n \in \mathbb{N}^*$ et les points $a_k = a + \dfrac {k\,(b - a)} n$ pour $k \in [\![0 , n ]\!]$ .
On note $A_k$ le point du graphe de $f$ d’abscisse $a_k\,$ .

Méthode des trapèzes

Méthode :
On remplace $f$ sur $[a _k , a_{k + 1}]$ par le trapèze rectangle de base $[a _k \,,\, a_{k + 1}=$ et de côté opposé $[A_k \, \, A_{k + 1}]$ .
Il a pour aire $\dfrac {b - a} 2 \, \left ( f(a_k) + f(a_{k + 1}) \right)$
(Hauteur multipliée par la demi-somme de la grande base et de la petite base)

On approche donc $I$ par $T_n = \displaystyle \dfrac {b - a} {2\, n} \, \sum _ {k = 0} ^{n - 1} \left (f(a_k) + f(a_{k + 1}) \right)$
ce qui s’écrit aussi $T_n = \dfrac {b - a} {n} \left ( \dfrac {f(a) + f(b)} 2 \right.$ $\qquad \qquad \left. + \, \displaystyle \sum _ {k = 1} ^{n - 1} f \left ( a + \dfrac {k (b - a)} n \right ) \right )$

👍 1. On peut remarquer que $\qquad Tn = \dfrac 1 2 \left ( RG_n + RD_n \right )$ .
👍 2. Si $f$ est convexe, $I \leqslant T_n$
(sur chaque intervalle $[a_k , a_{k + 1}]$ , le graphe de $f$ est situé sous le segment $[A_k \, A_{k + 1}]$ .)
👍 3. Si $f$ est concave, $I \geqslant T_n$ (sur chaque intervalle $[a_k , a_{k + 1}]$ , le graphe de $f$ est situé au dessus du segment $[A_k \, A_{k + 1}]$ . )

Majoration de l’erreur

Hypothèses : On suppose que $f$ est une fonction deux fois dérivable sur $[a , b]$ et qu’il existe $M > 0$ tel que pour tout $x \in [a , b]$ , $\vert f''(x) \vert \leqslant M$ .
On admet que
$\qquad \vert T_n - I \vert \leqslant \dfrac {(b - a)^3 \, M} {12\, n^2}$ .

Méthode des trapèzes en Python :

def Trapeze(f, a, b, n):
$\qquad \vert$ pas = (b $-$ a)/n
$\qquad \vert$ T = (f(a) + f(b))/2
$\qquad \vert$ x = a
$\qquad \vert$ for k in range(n $-$ 1):
$\qquad \qquad \vert$ x = x + pas
$\qquad \qquad \vert$ T = T + f(x)
$\qquad \vert$ return (T*pas)

exemple : pour une valeur approchée de $\ln(2) = \displaystyle \int_1 ^2 \dfrac 1 t \, \textrm{d} \, t$

def f (x):
$\qquad \vert$ return 1/x

$>>>$ Trapeze(f, 1, 2, 100)
0.6931534304818241

Comme $f$ est concave, c’est une valeur approchée par excès.

Retrouvez le reste du chapitre sur l’Intégration sur notre application mobile Prepapp à télécharger sur Google play store ou Apple Store. Vous pourrez aussi vous entraînez sur les chapitre de maths suivant sur notre site.

Commencez votre préparation au bac en vous entraînant et en vérifiant vos connaissances sur les annales de maths au bac. Pour avoir un bon niveau en maths, il est fondamental et nécessaire de s’entraîner régulièrement sur des exercices. C’est grâce à cela que vous pourrez développer une bonne méthode de travail. Utilisez aussi dès le début d’année, les cours en ligne de mathématiques en terminale pour réviser efficacement tous vos cours à la maison, par exemple :

Pour ceux qui en ressentent le besoin, ou ceux qui veulent se rassurer, il est possible de faire appel à un professeur particulier. Cet accompagnement et ce coaching scolaire vous permettront de reprendre confiance en vous et vous assureront de très bons résultats au bac.

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Intégration : Intégrale d’une fonction continue sur $[a ,\, b]$

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