Chapitres Maths en Terminale Générale

Nombres premiers et Fermat en Terminale

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
Rating: 4.9 (1049 reviews)

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Retrouvez le cours sur les nombres premiers et fermat pour la spécialité mathématiques expertes. Ce cours en ligne de terminale en mathématiques vous permettra de revoir et de réviser les notions importantes pour comprendre, améliorer votre moyenne et réussir vos épreuves du bac. Si vous avez l’ambition de développer vos compétences en mathématiques, nous proposons des cours de maths particuliers spécialement conçus pour les élèves en dernière année de lycée.

1. Ensemble de nombres premiers

Définition ensemble de nombres premiers :

$\bullet$ $p \in \mathbb{N} \setminus \{0 , \, 1 \}$ est premier lorsque les seuls diviseurs positifs de $p$ sont $1$ et $p$ .
On note $\mathbb{P}$ l’ensemble des nombres premiers.

$\bullet$ Si $n \geqslant 2$ , $n$ n’est pas premier ssi $n$ admet un diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$ .

$\bullet$ exemple : 2021 (resp 2027) est-il un nombre premier ?

$\bullet$ Soit $n \in \mathbb{N}$ et $n \geqslant 2$ , si $n$ n’est pas premier, il admet un diviseur autre que $1$ et $n$ .
On note $p$ le plus petit de ces diviseurs.
Alors $p$ est premier, car si $p$ n’est pas premier, il admet un diviseur strict $p'$ , qui est un diviseur de $n$ vérifiant $1 < p' < p$ ce qui contredit la définition de $p$ .
On écrit $n = p\, q$ , alors $p \leqslant q$ , donc $p ^2\leqslant p\, q$ soit $p ^2 \leqslant n$ , donc $p \leqslant \sqrt{n}$ .
$n$ admet un diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$ .

$\bullet$ 2021 est-il premier ?
$\sqrt{2021} \approx 44,96$ .
Il faut donc examiner les nombres premiers $\;\; 2,3,5,7,11,13,19,23,31,37,41,43$
(le nombre premier suivant est 47)
2021 n’est pas divisible par aucun des entiers $2,3,5,7,11,13,19,23,31,37,41$
mais $2021 = 43 \times 47$ donc $2021$ n’est pas premier.

PROF DE MATHS PARTICULIER

Des cours de qualité et enseignants aguerris

Préparer des concours ou s'exercer

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

2. Ensemble de nombres premiers : Crible d’Eratosthène

Soit $N \in \mathbb{N}$ , $N \geqslant 2$ .
Pour obtenir la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à $N ^2$ ,
$\ast$ on écrit la liste $L$ des entiers entre $2$ et $N^2$ .
$\ast$ pour tout $k \in [\![2 ,\, N]\!]$ , on supprime successivement dans la liste $L$ les multiples de $k$ .

La liste obtenue après le dernier passage est la liste des nombres premiers entre $2$ et $N ^2$ .

3. Fermat : petit théorème de Fermat

Petit théorème de Fermat
Soit $p$ un nombre premier.
Si $p$ ne divise pas $a$ , $a ^{p - 1} \equiv 1 \; \; [p]$ .

Corollaire
Soit $p$ un nombre premier.
Pour tout $a \in \mathbb{Z}$ , $a ^p \equiv a \; \; [p]$ .

4. Méthodes utilisant les nombres premiers

$\bullet$ M1. Pour démontrer que $n \in \mathbb{N}^*$ n’est pas premier,
$\ast$ M1.1. trouver $d$ diviseur de $n$ tel que $1 < d < n$
$\ast$ M1.2. trouver un entier $p$ premier avec $p \leqslant \sqrt{n}$ tel que $p$ divise $n$
👍 Pour démontrer qu’un nombre $n$ est premier, on peut raisonner par l’absur- de, supposer qu’il n’est pas premier et obtenir une contradiction.

$\bullet$ M2. Pour trouver tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$ , utiliser le crible d’Eratosthène.

$\bullet$ M3. Utiliser la décomposition en facteurs premiers de $a$ , pour déterminer tous ses diviseurs :
Si $a= p_1 ^{\alpha_1} \times p_2 ^{\alpha_2} \times \cdots \times p_k ^{\alpha_k}$ .
$d \in \mathbb{N}^*$ est un diviseur de $a$ ssi $d = p_1 ^{\gamma_1} \times p_2 ^{\gamma_2} \times \cdots \times p_k ^{\gamma_k}$
où pour tout $j \in [\![1 , k]\!]$ , $\gamma_j \in [\![0,\, \alpha _j]\!]$ .

Vous pouvez retrouvez le reste du cours sur l’application gratuite Prepapp à télécharger sur Google Play Store ou Apple Store. Vous trouverez également le reste des cours en ligne de terminale en mathématiques et des exercices pour vous entraîner efficacement. Par ailleurs, vous pouvez prendre des cours particuliers de maths si vous vous sentez en difficulté dans la matière.

AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS

C'est gagner en autonomie

Enfin, vous pouvez déjà retrouvez le quelques cours en ligne de mathématiques sur notre site :