Chapitres Maths en Terminale Générale

Exercices sur les matrices en Terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Exercice avec des matrices carrées d’ordre 2 en Terminale

Déterminer les réels $x$ et $y$ tels que $\begin{pmatrix} 1&-2\\-2&4\end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} x&y\\3&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} - 5&-6\\10&12\end{pmatrix}$

Exercice autour d’une matrice $A$ d’ordre 2

On note $L = \begin{pmatrix} 1&-2\end{pmatrix}$ et $C = \begin{pmatrix} 3\\- 1 \end{pmatrix}$ .

Question 1 :

Déterminer lorsqu’elles sont définies les matrices $L \, A$ , $C \, A$ , $A \, C$ , $A \, L$ et donner les réponses en fonction de $C$ ou $L$ .

Question 2 :

La matrice $A - 5 \, I_2$ est inversible ou non inversible ?

Question 3 :

Déterminer l’ensemble des réels $x , y$ tels que $A \,X = O$ lorsque $X = \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix}$
( $O$ est la matrice colonne à deux lignes nulles).

On en déduit que $A$ est une matrice inversible ou non inversible ?

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Exercices de matrices d’ordre 3 en Terminale

Exercice 1 sur les matrices d’ordre 3 :

Soit $A = \begin{pmatrix} 1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

Question 1 :

Calculer $A ^n$ si $n \in \mathbb{N }^*$ .

Question 2 :

La formule obtenue dans la question 1 est valable pour $n = - 1$

Vrai ou Faux ?

Exercice 2 sur les matrices d’ordre 3 en Terminale Générale

Question 1 :

Avec une calculatrice, calculer l’inverse de $A = \begin{pmatrix} 1&-1&1\\1&1&-1\\-1&1&1\end{pmatrix}$

Question 2 :

Résoudre matriciellement le système $\qquad \quad \left \{ \begin{matrix} x - y + z = 3\\x + y - z = - 1\\ - x + y + z = 5\end{matrix} \right.$

Exercice sur les calculs matriciels en terminale maths expertes

On considère les matrices

$A = \begin{pmatrix} 2&1\\-1& 0\\1&2 \end{pmatrix}$ , $B = \begin{pmatrix}2&1&-3\\2&1&2 \end{pmatrix}$

$C = \begin{pmatrix} 5\\1\\4 \end{pmatrix}$ , $D =\begin{pmatrix} 2& - 1& 1\\0 &1& 0\\1 &3 &2\\0& 0 &1 \end{pmatrix}$

Lorsque c’est possible, calculez les matrices $A\, B$ , $B\, A$ , $A \,B\, A$ , $B \, C$ , $D\, A$ , $A\, B\, C$ , $B\, C\, D$ .

Exercice sur les matrices avec de la trigonométrie en terminale

Si $n \in \mathbb{N}$ et $t \in \mathbb{R}$ , $\left ( R(t) \right ) ^n = R(n \, t)$ .

Vrai ou Faux ?

Exercice pour déterminer une suite en maths expertes

On considère la suite $(u_n)$ définie par : $u_0 = 1, u_1 = 6$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+2} = 6\, u_{n+1} -8\, u_n$ .

On considère de plus les matrices $B = \begin{pmatrix} 2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix}$ , $C = \begin{pmatrix} -1&0,5\\-4&2\end{pmatrix}$ .

Question 1 :

Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ , on a : $\qquad \quad A^n = 2^n\, B +4^n\, C$ .

Question 2 :

Pour tout entier naturel $n$ , on a : $Un = A^n\, U_0\,$ .

Vrai ou Faux ?

Correction de l’exercice sur des matrices carrées d’ordre 2

$\begin{pmatrix} 1&-2\\-2&4\end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} x&y\\3&4\end{pmatrix}$ $\qquad \qquad = \begin{pmatrix} x - 6&y-8\\-2\, x + 12& - 2\, y + 16 \end{pmatrix}$

$\qquad \qquad = \begin{pmatrix} - 5&-6\\10&12\end{pmatrix}$

On obtient le système $\qquad\left \{ \begin{matrix} x - 6 &= &- 5 \\ - 2\, x + 12 &=& 10\\ y - 8&=&-6\\-2\, y + 16 &=&12\end{matrix} \right.$

ssi $\left \{ \begin{matrix} x &= &1 \\ - 2\, x &=& - 2\\ y &=&2\\-2\, y &=&-4\end{matrix} \right.$

ssi $\boxed{x = 1}$ et $\boxed{y = 2}$ .

Correction de l’exercice autour d’une matrice $A$ d’ordre 2

Question1 :

$\bullet$ $L$ est de type $(2 , 1)$ , $C$ de type $(2 , 1)$ et $A$ carrée d’ordre $2$ .
On peut définir $L\, A$ et $A \, C$ mais on ne peut pas définir $C \, A$ et $A \, L$ .

$\bullet$ $L\, A = \begin{pmatrix} 1&-2\end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 3 & - 6 \\ - 1 & 2 \end{pmatrix}$

$L \, A = \begin{pmatrix} 1\times 3 + 2 \times 1 &-1 \times 6 - 2 \times 2 \end{pmatrix}$

$L \, A = \begin{pmatrix} 5&-10\end{pmatrix}$

$\boxed{ L \, A = 5 \, L}$ .

$\bullet$ $A \, C = \begin{pmatrix} 3 & - 6 \\ - 1 & 2 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 3\\- 1 \end{pmatrix}$

$A \, C = \begin{pmatrix} 3 \times 3 + 6 \times 1 \\- 1 \times 3 - 2 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 15\\- 5 \end{pmatrix}$

$\boxed{A \, C =5 \, C }$ .

Question 2 :

On note $I$ la matrice identité d’ordre 2.
La matrice $O$ qui intervient dans la suite est la matrice colonne nulle à deux lignes.

On a vu que $A \, C = 5 \, C$ , donc $A \, C - 5 \, C = O$ soit $A \, C - 5 \, I \, C = O$
ou encore $(A - 5 \, I) \, C = O$

Si la matrice $B = A - 5\, I$ était inversible, en multipliant à gauche la relation $B \, C = O$ , par la matrice $B ^{ - 1}$ , on aurait $B ^{ - 1} \,( B \, C )= B ^{- 1} \times O$ soit $\left ( B ^{ - 1} \, B \right ) \, C = O$ soit $I \, C = O$ donc $C = O$ , ce qui est impossible.

La matrice $A - 5 \, I$ n’est pas inversible.

Question 3 :

$\bullet$ $A \, X = O$ ssi $\begin{pmatrix} 3 & - 6 \\ - 1 & 2 \end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} x \\y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix}$

ssi $\begin{pmatrix} 3\, x - 6\, y \\- x + 2\, y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\0 \end{pmatrix}$

ssi $\left \{ \begin{matrix} 3\, x - 6 \, y = 0\\ - x + 2 \, y = 0\end{matrix} \right.$

Les deux équations étant identiques à un facteur multiplicatif près ssi $\boxed{x = 2 \, y}$ .

$\bullet$ En utilisant $X_0 = \begin {pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}$ , $A \, X_0 = O$ .

Si $A$ était inversible, en multipliant à gauche par $A ^{ - 1}$ : $A^{ - 1} \, A \, X_ 0= O$ donc $X _ 0 = O$ ce qui est absurde.

$A$ n’est pas inversible.

Correction des exercices sur les matrices d’ordre 3

Correction de l’exercice 1 sur les matrices d’ordre 3 :

Question 1 :

On calcule les premières valeurs de $A ^n$ ce qui conduit à poser une conjecture que l’on démontre par récurrence.

Si $n \in \mathbb{N}^ *$ , $\mathcal{P}(n)$ : $A^n = \begin{pmatrix} 1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ .

$\ast$ Initialisation $\mathcal{P}(1)$ est évidente.

$\ast$ Hérédité
On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie

$A ^{n + 1} = A ^n \, A$

$A ^{n + 1} = \begin{pmatrix} 1&0&n\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} 1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

donc $A ^{n + 1} = \begin{pmatrix} 1&0&n + 1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

On a prouvé que $\mathcal{P}(n + 1)$ est vraie.

$\ast$ Conclusion
La propriété est vraie par récurrence pour tout $n \in \mathbb{N}^*$

Question 2 :

Vrai,

On introduit $B$ la matrice obtenue en remplaçant $n$ par $- 1$ :

$\qquad \qquad B = \begin{pmatrix} 1&0&- 1\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$ .

Un calcul simple donne $A \, B = I_3 = B \, A$

Donc $A$ est inversible et $A ^{ - 1} = B$ .

La propriété est donc encore vraie pour $n = - 1$ .

Correction de l’exercice 2 sur les matrices d’ordre 3 en Terminale Générale :

Question 1 :

$A ^{- 1} = \dfrac 1 2 \begin{pmatrix} 1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}$ .

Question 2 :

On écrit le système sous la forme
$A \, X = Y$ où $X = \begin{pmatrix} x \\y \\z \end{pmatrix}$ et $Y = \begin{pmatrix} 3\\ - 1\\ 5 \end{pmatrix}$

Comme $A$ est inversible d’ordre 3, on peut multiplier la matrice $A \, X$ de type $(3 , 1)$ à gauche par la matrice $A ^{ - 1}$ :

On obtient $A ^{ - 1} \, A \, X = A ^{ - 1} \, Y$ soit $I_3\, X = A ^{ - 1}\, Y$ donc $X = A ^{ - 1}\, Y$ .

Dans le cours, on a vu que la réciproque est vraie.

$X = \dfrac 1 2 \begin{pmatrix} 1&1&0\\0&1&1\\1&0&1\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} 3\\ - 1\\ 5 \end{pmatrix}$

$X = \begin{pmatrix} 2/2\\ 4/2\\ 8/2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\\2\\4\end{pmatrix}$

Les solutions sont $x = 1$ , $y = 2$ et $z = 4$ .

Correction de l’exercice sur les calculs matriciels en maths expertes

Il faut bien sûr avant tout calcul vérifier que le produit est défini.
Je donne uniquement les résultats dans la suite :

$A\, B =\begin{pmatrix} 6&3&-4\\-2&-1&3\\6&3&1\end{pmatrix}$

$B\, A =\begin{pmatrix}0&-4\\5&6 \end{pmatrix}$

$A \,B\, A = \begin{pmatrix} 5&- 2\\0&4\\ 10&8 \end{pmatrix}$

$B\, C= \begin{pmatrix} -1\\19 \end{pmatrix}$

$D \, A = \begin{pmatrix}6&4\\ - 1&0\\1&5\\1&2 \end{pmatrix}$

$D\, C = \begin{pmatrix}13\\ 1\\ 16\\ 4 \end{pmatrix}$

$A\, B\, C= \begin{pmatrix} 17\\ 1\\ 37\end{pmatrix}$

Le produit $B \,C$ n’a pas de sens car $B$ est de type $(2,3)$ et $C$ de type $(4,3)$ , donc $B\, C \, D$ n’a pas de sens.

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Correction de l’exercice sur les matrices avec de la trigonométrie

Vrai,

Si $n \in \mathbb{N}$ , on note $\mathcal{P}(n)$ : $\left ( R(t) \right ) ^n = R(n \, t)$

$\ast$ Initialisation
$\left ( R(t) \right ) ^0 = I_2$ et $R(0 \times t) = R(0) = \begin{pmatrix} \cos 0 & - \sin 0 \\ \sin 0 & \cos 0 \end{pmatrix} = I_2$
donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

$\ast$ Hérédité
On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie.

$\qquad \left ( R(t) \right ) ^{n + 1} = \left ( R(t) \right ) ^n \times R(t)$ .

Par $\mathcal{P}(n)$ , $\left ( R(t) \right ) ^{n + 1} = R(n \, t) \times R(t)$

$\left ( R(t) \right ) ^{n + 1} = R(n \, t + t) = R \left ( (n + 1) \, t \right )$ .

On a donc obtenu $\mathcal{P}(n + 1)$ .

$\ast$ Conclusion

Par récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n$ .

Correction de l’exercice pour déterminer une suite avec des matrices

Question 1 :

Si $n \in\mathbb{N}$ , on note

$\qquad \mathcal{P}(n)$ , $A^n = 2^n\, B +4^n\, C$ .

$\ast$ Initialisation.
Si $n = 1$ ,

$2^n\, B +4^n\, C = 2\, B +4 \, C$ $=2\, \begin{pmatrix} 2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix} + 4\, \begin{pmatrix} -1&0,5\\-4&2\end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 4&-1\\8&-2\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -4&2\\-16&8\end{pmatrix}$

$= \begin{pmatrix} 0&1\\-8&6\end{pmatrix} = A$ .

On a prouvé que $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

$\ast$ Hérédité.
On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie.

On écrit $A ^{n + 1} = A^n \times A$

$= \left ( 2^n \, B + 4 ^n \, C \right ) \, \left ( 2 \, B + 4 \, C \right )$

$A ^{n + 1} = 2 ^{n + 1} \, B ^2 + 2 ^n \times 4 \, B \, C$ $\qquad \qquad +\, 4 ^n \times 2 \, C \, B+ 4 ^{n + 1} C ^2$ .

On fait quelques calculs intermédiaires :

$B ^{2} = \begin{pmatrix} 2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} 2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix}$ $B ^2 = \begin{pmatrix} 2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix} = B$

$C ^2 = \begin{pmatrix} -1&0,5\\-4&2\end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} -1&0,5\\-4&2\end{pmatrix}$ $C ^2 = \begin{pmatrix} -1&0,5\\-4&2\end{pmatrix} = C$

$B \, C = \begin{pmatrix} 2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix}\, \begin{pmatrix} -1&0,5\\-4&2\end{pmatrix}$ $B \, C = \begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix} = O_2$

$C \, B = \begin{pmatrix} -1&0,5\\-4&2\end{pmatrix} \, \begin{pmatrix} 2&-0,5\\4&-1\end{pmatrix}$ $C\, B = \begin{pmatrix} 0&0\\0&0\end{pmatrix} = O_2$

donc $A ^{n + 1} = 2 ^{n + 1} \, B + 4 ^{n + 1} C$ .

On a prouvé que $\mathcal{P}(n + 1)$ est vraie.

$\ast$ Conclusion : la propriété est vraie par récurrence sur $n$ .

On remarque que la propriété est aussi vraie au rang 0 car si $n = 0$ ,
$2^n\, B +4^n\, C = B + C = \begin{pmatrix} 1&0\\0&1\end{pmatrix}$

$2 ^0 \, B + 4 ^0 \, C = I_2 = A ^0$ ,
donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Question 2 :

Vrai,

Si $n \in \mathbb{N}$ , on note $\mathcal{P}(n) :$ $Un = A^n\, U_0\,$ .

$\ast$ Initialisation.
Si $n = 0$ , $A ^0 = I_2$

$A^0 \, U_0 = I_2 \, U_0 = U_0\,$ , donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

$\ast$ Hérédité.
On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie.

$U_{n + 1} = A \, U_n = A \, \left ( A^n\, U_0 \right ) = \left ( A \, A ^n \right ) \, U_0$

$U_{n + 1} = A ^{n + 1} \, U_0\,$ .

On a prouvé que $\mathcal{P}(n + 1)$ est vraie.

$\ast$ Conclusion : la propriété est vraie par récurrence sur $n$ .

Lire son cours de maths n’est pas suffisant pour être certain d’avoir assimilé le cours dans son intégralité. C’est pourquoi les entrainements sur des exercices de cours ou même sur des annales de bac sont recommandés. C’est en appliquant vos connaissances sur des cas concrets que vous pourrez vous rendre compte de vos acquis et de vos difficultés. Après avoir réalisé la série d’exercices ci-dessus, vérifiez vos acquis sur d’autres cours :

Exercices sur les matrices en Terminale

Exercice avec des matrices carrées d’ordre 2 en Terminale

Exercice autour d’une matrice $A$ d’ordre 2

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Correction des exercices sur les matrices d’ordre 3

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