Chapitres Maths en Terminale Générale

Exercices et corrigés : la loi des grands nombres

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Bien se préparer avec des exercices et corrigés sur le chapitre de la loi des grands nombres en terminale spécialité maths est essentiel pour bien réussir l’épreuve du bac.

1. Variables aléatoires en terminale spé Maths

Exercice 1 : l’espérance et la variance de variables aléatoires

3 enfants achètent un cornet de glace à une boule à leur marchand préféré : « Fanfan » à Aix les Bains.

10 parfums sont disponibles.

Question 1 :
Quelle est la loi du nombre $X$ de parfums choisis par les 3 enfants ?

Question 2 :
Calculer l’espérance et la variance de $X$ , donner les résultats sous forme décimale, séparés par un point virgule

Deux enfants (une fille et un garçon) demandent maintenant chacun un cornet à 2 boules, les 2 boules peuvent être de même parfum et 10 parfums sont disponibles.
On note $Y$ le nombre de parfums choisis.

Question 3 :
Trouver la loi de $Y$ .

Question 4 :
Donner une valeur approchée à $10^{-3}$ près de l’espérance et la variance de $Y$ .

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Exercice 2 : Loi uniforme sur $[\![1 , n]\!]$

Question 1 :
On suppose que l’on tire au hasard un numéro entre $1$ et $n$ .

On note $X$ le nombre obtenu.

Déterminer la loi de $X$ .

On dit que $X$ suit une loi uniforme sur $[\![1 , n]\!]$ .

Calculer son espérance et sa variance.

On pourra utiliser $\qquad \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n {k^2} = \dfrac {n(n + 1)(2\, n + 1)} 6$ .

Question 2 :
On tire au hasard un deuxième numéro entre $1$ et $n$ .

On note $S$ la somme des deux numé- ros obtenus, déterminer l’espérance et la variance de $S$ .

Question 3 :
On suppose dans cette question que $n = 10$ .

Donner la loi de $S$ .

Question 4 :
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs tels que $a < b$ . On dit que $Y$ suit une loi uniforme sur $[\![a , b]\!]$ , lorsque

$Y(\Omega) =[\![a , b]\!]$ et pour tout $k \in [\![a , b]\!]$ , $\qquad \quad \mathbb{P}(X = k) = \dfrac 1 {b - a + 1}$ .

a. Si $Y$ suit une loi uniforme sur $[\![a , b]\!]$ , $X = Y - a + 1$ suit une loi uniforme sur $[\![1 , b - a+1]\!]$

b. En déduire l’espérance et la variance de $Y$ .

2. Concentration, loi des grands nombres en terminale

Exercice 3 : Inégalités de Bienaymé-Tchebychev

On tire des boules avec remise dans une urne contenant $60\%$ de boules blanches.

Question 1 :
Quelle est la loi de la variable $X$ donnant le nombre de boules blanches obtenues après 20 tirages ?

Question 2 :
a) En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner une minoration de la probabilité de tirer moins de 16 boules blanches mais plus de 8.

b) Calculer $\mathbb{P}(8 < X < 16)$ , à $10^{- 3}$ près, en utilisant la loi de $X$ et discuter la minoration obtenue dans la question précédente.

Exercice 4 Inégalités de concentration

Quand nous pourrons voyager en avion sans problème …

Dans un avion, une personne est autorisée à mettre en soute un bagage de $23$ kg ou moins, sans pénalité.

Une compagnie aérienne a compilé la masse de tous les bagages enregistrés sur une année et a constaté que la masse d’un bagage est donnée en kg par une variable aléatoire $X$ d’espé- rance 22 et d’écart-type 1,4.

Question 1 :
Sur un avion de $500$ passagers suppo- sés indépendants, on appelle $X_i$ la masse du bagage du passager $i$ et $M$ la variable aléatoire donnant la moyenne des masses des bagages des $500$ passagers.

Minorer $\mathbb{P} \left ( M \in \; ]21, 5 \, ; \, 22, 5[\right )$ .

Question 2 :
Si la masse totale de bagages est inférieure ou égale à $10,5$ tonnes, alors l’avion embarque des bagages d’un autre vol et si la masse totale de bagages est supérieure ou égale à $11,5$ tonnes, alors une partie des bagages de l’avion est envoyée sur un autre vol.

Majorer la probabilité (à $10 ^{-4}$ près) que cet avion contienne des bagages d’un autre vol ou ne contienne pas les bagages de tous ses passagers.

3. Les variables aléatoires pour se préparer à la prépa

Exercice 5 : Remplir des urnes selon les variables aléatoires

Soit $p \geqslant 3$ . On répartit $n$ boules numérotées de $1$ à $n$ dans $p \geqslant 3$ urnes numérotées de $1$ à $p$ .

Question 1 :
Si $i \in [\![1,\, p]\!]$ , on note $X_i$ la variable aléatoire égale à 1 si l’urne $i$ est vide et 0 si elle est non vide.

Quelle est la loi de $X_i \,$ ?

Question 2 :
On note $X$ le nombre d’urnes vides.

Déterminer l’espérance de $X$ .

Question 3 :
Dans le cas $p = 3$ , déterminer la loi de $X$ . Calculer sa variance.

Question 4 :
On suppose de nouveau $p \geqslant 3$ .

Si $i \in [\![1 , n]\!]$ , on note $Y_i = 1$ si l’on place la boule $i$ dans l’urne $1$ .

On note $S$ la somme des numéros dans l’urne $1$ .

a. $S = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n \, i \, Y_i \,$ .

b. Déterminer $\textrm{E}(S)$ et $\textrm{V}(S)$ .

4. Correction des exercices sur la loi des grands nombres en terminale

Correction exercice sur la loi et variance de variable aléatoire de spé maths en terminale

Question 1 :
Il est conseillé de terminer par $\mathbb{P}(X = 2)$
$X(\Omega) =\{1 ,2 , 3\}$ .

$\bullet$ Le nombre de choix possibles est égal au nombre de $3$ -listes avec répétition de l’ensemble $E$ des 10 parfums.

Donc $\textrm{Card} (\Omega) = 10 ^3$ .

$\bullet$ Pour réaliser l’événement $(X = 1)$ , il suffit de choisir le parfum plébiscité par les 3 enfants : il y a 10 choix de ce parfum, donc $\textrm{Card} (X = 1) = 10$ .

alors $\mathbb{P}(X = 1) = \dfrac {10} {1000} = \dfrac 1 {100}$ .

$\bullet$ Pour réaliser l’événement $(X = 3)$ , on doit choisir trois parfums différents.

C’est l’ensemble des $3$ – listes sans répétition des 10 parfums.

$\textrm{Card} (X = 3) = 10 \times 9 \times 8$ .

$\mathbb{P}(X = 3) = \dfrac {10 \times 72 } {1000} = \dfrac {72} {100}$ .

$\bullet$ On peut donc tout simplement écrire que

$\mathbb{P}(X = 2) = 1 - \mathbb{P}(X = 3) - \mathbb{P}(X = 1)$

$\mathbb{P}(X = 2) = 1 - \dfrac {73} {100} = \dfrac {27} {100}$ .

Si l’on veut effectuer le calcul de $\textrm{Card} (X = 2)$ ,

$\ast$ On choisit le parfum demandé 2 fois : 10 choix

$\ast$ On choisit le parfum demandé 1 fois : 9 choix

$\ast$ On choisit l’enfant demandant ce parfum : 3

alors $\textrm{Card} (X = 2) = 10 \times 9 \times 3$ et

$\mathbb{P}(X = 2) = \dfrac {27} {100}$

$\boxed{\begin{matrix} k&\vert & 0&\vert & 1&\vert &2 \\---&\vert &--&\vert& --&\vert &--\\\mathbb{P}(X = k)&\vert & \dfrac 1 {100}&\vert & \dfrac {27} {100}&\vert &\dfrac {72} {100} \end{matrix} }$

Question 2 :
$\textrm{E}(X) = \displaystyle \sum_ {k = 1} ^3 k \, \mathbb{P}(X = k)$

$\textrm{E}(X)= \dfrac 1 {100} + \dfrac {54} {100} + \dfrac {216} {100}$

$\boxed{\textrm{E}(X) = \dfrac {271} {100}}$ .

$\textrm{E} \left (X^2 \right ) = \displaystyle \sum_ {k = 1} ^3 k^2 \, \mathbb{P}(X = k)$

$\textrm{E}(X^2)= \dfrac 1 {100} + \dfrac {108} {100} + \dfrac {648} {100}$

$\textrm{E}(X^2)= \dfrac {757} {100}$ .

$\textrm{V} \left (X \right ) = \textrm{E} \left (X^2 \right ) - \left ( \textrm{E} \left (X \right ) \right ) ^2$

$\textrm{V}(X)= \dfrac {757} {100} - \dfrac {271^2} {100^2 } = \dfrac {2259} {10000}$ .

$\boxed{\textrm{V}(X) = 0,2259}$ .

Question 3 :
$Y(\Omega) = [[1,4]]$ .

$\bullet$ On détermine le nombre de choix de parfums d’un enfant :

$\ast$ 10 choix du même parfum pour les deux boules
$\ast$ choix de 2 parfums parmi 10 : nombre de parties de 2 éléments parmi 10 $\displaystyle \binom {10} 2 = \dfrac {10 \times 9} 2 = 45$ .

Chaque enfant a donc $10 +45 = 55$ choix pour ses parfums.

$\textrm{Card }(\Omega) = 55^2 = 3025$

$\bullet$ $\textrm{Card } (Y = 1) = 10$
et $\mathbb{P}(Y = 1) = \dfrac {10} {3025} = \dfrac 2 {605}$

$\bullet$ Calcul de $\textrm{Card } (Y = 4)$

$\ast$ La fille choisit ses 2 parfums parmi 10 $\displaystyle \binom {10} 2 = 45$ choix

$\ast$ Le garçon choisit ses 2 parfums parmi 8 : $\displaystyle \binom {8} 2 = 28$ choix

donc $\textrm{Card } (Y = 4) = 45 \times 28$
et $\mathbb{P}(Y = 4) = \dfrac {45 \times 28} {55 ^2} = \dfrac {252}{605}$ .

$\bullet$ Calcul de $\textrm{Card } (Y = 3)$

Un parfum est choisi deux fois, il peut être choisi par le même enfant ou par les deux enfants.

On écrit que $(Y = 3) = A \cup B$ avec :

$\ast$ $A$ : « un enfant choisit 2 fois le même parfum et l’autre enfant choisit 2 autres parfums différents et différents du premier »

… On choisit l’enfant ayant un seul parfum : 2 choix
… On choisit ce parfum : 10 choix
… Le deuxième enfant choisit 2 parfums parmi 9 : $\displaystyle \binom 9 2 = 36$ choix

$\textrm{Card } (A) = 2\times 10 \times 36 = 720$ .

$\ast$ $B$ : les deux enfants choisissent le même parfum et un deuxième parfum différent du premier et différent du deuxième parfum de l’autre »

… On choisit le parfum choisi 2 fois : 10 choix
… On choisit le 2 ème parfum de la fille : 9 choix
… On choisit le 2 ème parfum du garçon 8 choix

$\textrm{Card } (B) = 10 \times 9 \times 8 = 720$

$\textrm{Card}(Y = 3) = \textrm{Card} (A) + \textrm{Card} (B)$

$\textrm{Card}(Y = 3) = 1440$

$\mathbb{P}(Y = 3) = \dfrac {1440} {55 ^2} = \dfrac {288}{605}$

$\bullet$ La méthode la plus simple est d’écrire que

$\mathbb{P}(Y = 2) = 1 - \mathbb{P}(Y = 4) - \mathbb{P}(Y = 1)$ $\qquad \qquad \qquad - \, \mathbb{P}(Y = 3)$

$\quad = 1 - \dfrac {252} {605} - \dfrac {2} {605} - \dfrac {288} {605} = \dfrac{63} {605}$

$\bullet$ Si l’on veut faire le calcul de $\textrm{Card}(Y = 2)$ , on écrit $\qquad \qquad (Y = 2) = C \cup D \cup E$ ,

$\ast$ $C$ : « les deux enfants ont choisi les mêmes deux parfums «

il y a $\displaystyle \binom {10} 2 = 45$ choix de ces 2 parfums parmi 10

donc $\textrm{Card } (C) = 45$ .

$\ast$ $D$ : » les deux enfants ont une glace d’un seul parfum et les 2 parfums sont distincts. »

la fille a une glace à 2 boules de même parfum : 10 choix,
le garçon a une glace à 2 boules d’un même parfum différent du choix de la fille : 9 choix

donc $\textrm{Card } (D) = 10 \times 9$ .

$\ast$ $E$ : « un parfum est choisi 3 fois et un dernier une fois »

On choisit le parfum choisi 3 fois : 10 choix
on choisit le parfum choisi une fois : 9 choix
on choisit l’enfant prenant 2 parfums : 2 choix

donc $\textrm{Card } (E) = 10 \times 9 \times 2 = 180$ .

$\textrm{Card}(Y = 2) = \textrm{Card} (C) + \textrm{Card} (D)$ $\qquad \qquad \qquad \qquad +\, \textrm{Card} (E)$

$\textrm{Card}(Y = 2)= 45+90 + 180 = 315$ .

et on retrouve $\mathbb{P}(Y = 2) = \dfrac {315} {55^2} =\dfrac {63} {605}$ .

En résumé,

$\mathbb{P}(Y = 1) = \dfrac 2{605}$ $\qquad$ $\mathbb{P}(Y = 2) = \dfrac{63} {605}$ $\mathbb{P}(Y = 3) = \dfrac 3 {288}{605}$ $\qquad$ $\mathbb{P}(Y = 4) = \dfrac{252} {605}$

Question 4
$\textrm{E}(Y) = \displaystyle \sum_ {k = 1} ^4 k \, \mathbb{P}(Y = k)$ $\textrm{E}(Y) = \dfrac {1+126+864+1008} {605} = \dfrac {2000} {605}$

$\textrm{E}(Y) = \dfrac {400} {121} \approx \boxed{3,306}$ .

$\textrm{E} \left (Y^2 \right ) = \displaystyle \sum_ {k = 1} ^3 k^2 \, \mathbb{P}(Y = k)$

$\textrm{E}(Y^2 ) = \dfrac {2+252+2592+4032} {605} = \dfrac {6878} {605}$

$\textrm{V} \left (Y \right ) = \textrm{E} \left (Y^2 \right ) - \left ( \textrm{E} \left (Y \right ) \right ) ^2$

$\textrm{V}(Y) = \dfrac {32238} {73205} \approx\boxed{ 0,440}$ .

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Correction exercice 2 : Loi uniforme sur $[\![1 , n]\!]$ en terminale

Question 1 :
$\bullet$ Loi de $X$

$X(\Omega) = [[1 , n]]$

Pour tout $k \in [[1 , n]]$ , $\mathbb{P}(X = k) = \dfrac 1 n$ .

$\bullet$ Espérance

$\textrm{E}(X) = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k \, \mathbb{P}(X = k) = \sum _{k = 1} ^n \dfrac k n$

$\textrm{E}(X)= \dfrac {n(n + 1)} {2\, n}$

$\qquad \qquad \boxed{\textrm{E}(X) = \dfrac {n + 1} 2 }$ .

$\bullet$ Calcul de la variance

$\textrm{E}(X^2 ) = \displaystyle \sum _ {k = 1} ^n k^2 \, \mathbb{P}(X = k) = \sum _{k = 1} ^n \dfrac {k^2} n$

$\textrm{E}(X^2) = \dfrac {n(n + 1)(2\, n + 1) } {6\, n}$

$\textrm{E}(X^2) = \dfrac {(n + 1)(2\, n+1)} 6$ .

$\textrm{V}(X )= \textrm{E}(X^2 ) - \left ( \textrm{E}(X ) \right)^2$

$\textrm{V}(X ) = \dfrac {(n + 1)((2\, n+1)} 6 - \dfrac {(n + 1)^2} 4$

$\textrm{V}(X)= \dfrac {(n + 1) (4\, n + 2 - 3\, n - 3)} {12}$

$\qquad \quad \boxed{\textrm{V}(X) = \dfrac {(n + 1) ( n - 1 )} {12} }$

Question 2 :
On note $Y$ la variable aléatoire égale au deuxième numéro.

$S = X + Y$ .

Les variables $X$ et $Y$ ont même loi et sont indépendantes,

$\textrm{E}(S) = \textrm{E}(X) + \textrm{E}(Y) = 2 \, \textrm{E}(X)$ $\qquad \qquad \quad \boxed{\textrm{E}(X) = n + 1}$ .

$\textrm{V}(S) = \textrm{V}(X) + \textrm{V}(Y) = 2\, \textrm{V}(X)$

$\qquad \quad \boxed{\textrm{V}(S) = \dfrac {(n + 1) ( n - 1 )} {6}}$ .

Question 3 :
$S(\Omega) = [[2 , 20]]$

Soit $k \in [[2 , 20]]$ ,

$\mathbb{P}(S = k) = \displaystyle \mathbb{P} \left ( \bigcup _{i = 1} ^{k} (X = i) \cap (Y = k-i) \right )$ $\qquad = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^k \mathbb{P}\left ( (X = i) \cap (Y = k-i)\right )$ $\qquad = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^k \mathbb{P}\left ( X = i \right ) \, \mathbb{P}\left ( Y = k - i\right )$

par indépendance de $X$ et $Y$ .

avant de remplacer, il faut vérifier que $1 \leqslant k -i \leqslant 10$

ssi $i \leqslant k - 1$ et $k - 10 \leqslant i$

on rappelle que $i \geqslant 1$ , on distingue deux cas :

$\bullet$ $k \leqslant 11$ , les conditions précédentes s’écrivent $i \leqslant k - 1$

et $1 \leqslant i$

donc on obtient

$\mathbb{P}(S = k)= \displaystyle \sum _ {i = 1} ^{k - 1} \mathbb{P}\left ( X = i \right ) \, \mathbb{P}\left ( Y = k - i\right )$

$\mathbb{P}(S = k)= \displaystyle \sum _ {i = 1} ^{k - 1} \dfrac 1 {10 ^2} = \dfrac {k - 1} {100}$

$\bullet$ $12 \leqslant k \leqslant 20$ , les conditions précéden- tes s’écrivent (on rappelle que $i \leqslant 10$ )

$\qquad \qquad i \leqslant 10$ et $k - 10 \leqslant i$

donc on obtient

$\mathbb{P}(S = k)$ $\quad = \displaystyle \sum _ {i = k - 10 } ^{10} \mathbb{P}\left ( X = i \right ) \, \mathbb{P}\left ( Y = k - i\right )$ $\quad\displaystyle =\sum _ {i = k - 10} ^{10} \dfrac 1 {n ^2} = \dfrac {10 - (k - 11)} {100}$ $\mathbb{P}(S = k) = \dfrac {21 - k} {100}$ .

En résumé,
Si $2\leqslant k \leqslant 11$ , $\mathbb{P}(S = k)= \dfrac {k - 1} {100}$
Si $12 \leqslant k \leqslant 20$ , $\mathbb{P}(S = k)= \dfrac {21 - k } {100}$ .

Question 4 :
a) $Y$ prend toute valeur entière entre $a$ et $b$ ssi $X$ prend toute valeur entière entre $a - a + 1 = 1$ et $b - a +1$ .

Et si $k \in [[1 , \, b - a + 1]]$ ,

$\mathbb{P}(X = k) = \mathbb{P}(Y = k + b - 1) = \dfrac 1 {b - a + 1}$

$X = Y - a + 1$ suit une loi uniforme sur $[[1 , n]]$ avec $n = b - a + 1$ .

b) $Y = X + a - 1$ où $X$ suit une loi uniforme sur $[[1 , n]]$ avec $n = b - a + 1$ .

$\textrm{E}(Y) = \textrm{E}(X) + a - 1 = \dfrac {n + 1} 2 + a - 1$

$\boxed{\textrm{E}(Y)= \dfrac {b + a} 2 }$ .

$\textrm{V}(Y) = \textrm{V}(X) = \dfrac {(n -1) (n + 1)} {12}$

$\boxed{\textrm{V}(Y) = \dfrac {(b - a)(b - a + 2)} 2}$ .

Correction exercice 3 : Inégalités de Bienaymé-Tchebychev

Question 1 :
On effectue $20$ épreuves indépendantes et identiques de probabilité de succès égale à $0,6$ .

Le nombre $X$ de boules blanches obtenues suit une loi binomiale de paramètres $20$ et $0,6$ .

Question 2 :
a) $\textrm {E}(X ) = 20 \times 0,6 = 12$

et $\textrm{V}(X) = 12 \times 0,4 = 4 , 8$ .

$\mathbb{P} (8 < X < 16)$ $\qquad = \mathbb{P} (8 - 12 < X - 12 < 16 - 12)$

$\qquad = \mathbb{P}\left ( \vert X - \textrm{E}(X) \vert < 4 \right )$ $\qquad = 1 - \mathbb{P}\left ( \vert X - \textrm{E}(X) \vert \geqslant 4 \right )$

En utilisant l’inégalité de Tchebychev,

$\quad \mathbb{P} (8 < X < 16) \geqslant 1 - \dfrac {\textrm{V}(X)}{ 4^2}$ .

On termine l’application numérique :

$1 - \dfrac {\textrm{V}(X)}{ 4^2} = 1 - \dfrac {4,8} {16} = 1 - 0 , 3 = 0 , 7$

donc $\boxed{\mathbb{P} (8 < X < 16) \geqslant 0,7}$ .

b) $\mathbb{P}(8 < X < 16) = \displaystyle \sum _ {k = 7 } ^ {15} \mathbb{P} (X = k)$

$\qquad = \displaystyle \sum _ {k = 7} ^{15} \binom {20} k \, 0 , 6 ^k \times 0 , 4 ^{20-k}$

ma calculatrice préférée donne environ : $0.893$

En Python, on peut utiliser la fonction Binomiale(n, p, a, b) écrite dans l’exercice 6
>>> Binomiale(20, 0.6, 9, 15)
0.893

L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne en général une majoration ou minoration plus ou moins lointaine de la valeur exacte : elle ne prend pas en compte la loi de $X$ , seulement son espérance et sa variance.

Correction exercice 4 : Inégalités de concentration

Question 1 :
$M$ est la moyenne empirique d’un échantillon de taille $n = 500$ de variables aléatoires $X_i$ de même loi que $X$ .

Soit $M = \dfrac {1} n \displaystyle \sum _ {i = 1} ^n X_i$ avec $n = 500$ .

L’énoncé donne :
$\qquad \mu = \textrm{E}(X) = 22$ et $\textrm{V}(X) = 1,4^2$ .

On demande

$\mathbb{P}( M \in\; ]21, 5\, ; \, 22, 5[)$

$\qquad = \mathbb{P }( 21,5 < M < 22 , 5 )$

$\qquad = \mathbb{P} (- 0,5 < M - 22 < 0,5 )$ $\quad = 1 - \mathbb{P} \left ( \vert M - \mu \vert \geqslant 0,5 \right )$

Puis en utilisant l’inégalité de concentration,

$\mathbb{P}( M \in\; ]21, 5\, ; \, 22, 5[) \geqslant 1 - \dfrac {\textrm{V}(X)} {n \times 0,25 }$

On termine l’application numérique
$1 - \dfrac {\textrm{V}(X)} {125} = 1 - \dfrac {1,96} {125} \approx 0,984$

Question 2 :
La variable $S$ égale à la masse totale est $S = 500 \, M$ .

On cherche à majorer la probabilité notée $\pi$ :

$\pi = \mathbb{P} \left ( (S \leqslant 10\, 500 ) \cup (S \geqslant 11\,500) \right )$

$\pi = \mathbb{P} \left ( (M \leqslant 21) \cup (M \geqslant 23) \right )$ en divisant par $500$

$\pi = \mathbb{P}\left ( (M - 22 \leqslant - 1) \cup (M - 22 \geqslant 1) \right )$

Par l’identité de concentration

$\pi = \mathbb{P } \left ( \vert M - 22 \vert \geqslant 1 \right ) \leqslant \dfrac {\textrm{V}(X)} {n \, \times 1 ^2}$

On passe à l’application numérique

$\qquad \dfrac {\textrm{V}(X)} {n} = \dfrac {1,96} { 500} \approx 0,00392$

La probabilité demandée est inférieure ou égale à $0.0039$ , il y a donc peu de chances pour qu’il y ait des problèmes de bagages.

Correction exercice 5 : Remplir des urnes selon les variables aléatoires

Question 1 :
Si $j \in [[1 , n]]$ , on note $A_j$ : « la boule numéro $j$ n’est pas placée dans l’urne $i$ .

$(X_i = 1) = A_1 \cap \cdots \cap A_n\,$ .

Ce sont $n$ événements indépendants et $\mathbb{P}(A_j) = \dfrac {p - 1} p$ .

donc $\mathbb{P}(X _ i = 1) = \left ( 1 - \dfrac 1 p \right ) ^n$

et $\mathbb{P}(X _ i = 0) = 1 - \left ( 1 - \dfrac 1 p \right ) ^n$ .

Question 2 :
$X = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^p X _ i$ donc $\textrm{E}(X) = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^p \textrm{E}(X _ i)$

Les variables ont même loi :

$\textrm{E}(X) = \displaystyle p \, \textrm{E}(X _ 1) = p \, \left ( 1 - \dfrac 1 p \right ) ^n$ .

Question 3 :
On suppose dans cette question que $p = 3$ .

On modélise $\Omega$ par l’ensemble des $n$ -listes avec répétition de $[[1 , 3]]$ (l’ensemble des numéros des 3 urnes) donc $\Omega = [[1 , 3]]^n$ .

$\textrm{Card}(\Omega) = 3 ^n$ et $X(\Omega) = [[0, \, 2]]$ .

$\bullet$ $(X = 2)$ est l’événement « toutes les boules sont mises dans la même urne «

$(X = 2) = \{ (i,i,\, \cdots \,, i) \, / \, 1 \leqslant i \leqslant 3 \}$ .

$\boxed{\mathbb{P}(X = 2)= \dfrac {3} {3 ^n} = \dfrac 1 {3 ^{n - 1} }\; \; \; }$ .

$\bullet$ $(X = 1)$ est l’événement « toutes les boules sont mises dans 2 urnes. »

Pour réaliser $(X = 1)$ ,

$\ast$ on choisit les 2 numéros $i$ et $j$ des urnes non vides : il y a

$\displaystyle \binom 3 2 = 3$ choix

$\ast$ on détermine le nombre de $n$ -listes avec répétition de $\{ i , j \}$ , différentes des 2 listes dont tous les éléments sont égaux à $i$ ou à $j$ : il y en a

$2^n - 2$ .

$\mathbb{P}(X = 1) =\dfrac {3 \, \left ( 2 ^n - 2 \right ) } {3 ^n}$ $\boxed{ \mathbb{P}(X = 1)= \dfrac {2 ^n - 2} {3 ^{n - 1}}\; }$ .

Le calcul direct de $\mathbb{P}(X = 0)$ est difficile, il est donc préférable de raisonner ainsi.

$\bullet$ $\mathbb{P}(X = 0) = 1 - \mathbb{P}(X = 1) - \mathbb{P}(X = 2)$

$\mathbb{P}(X = 0) = 1 - \dfrac { 2 ^n - 2 +1 } {3 ^{n - 1} }$

$\boxed{\mathbb{P}(X = 0) = 1 - \dfrac {2 ^n - 1} {3^{n -1}}}$ .

$\textrm{E} (X) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^2 k \, \mathbb{P}(X = k)$

$\textrm{E} (X) = \displaystyle \dfrac { \ 2 ^n - 2 } {3 ^{n - 1} } + \dfrac 2 {3 ^{n - 1}}$

$\boxed{\textrm{E} (X) = \dfrac {2 ^n } {3 ^{n - 1}}\;}$

On retrouve bien la valeur obtenue en question 2 : $3 \left ( 1 - \dfrac 1 3 \right ) ^n$ .

$\textrm{E} (X^2 ) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^2 k ^2\, \mathbb{P}(X = k)$

$\textrm{E} (X^2 ) = \displaystyle \dfrac { 2 ^n - 2 } {3 ^{n - 1} } + \dfrac 4 {3 ^{n - 1}}$

$\textrm{E} (X^2 ) = \dfrac { 2 ^n + 2 } {3 ^{n - 1}}$ .

$\textrm{V}(X) = \textrm{E} (X )- \left ( \textrm{E} (X^2 )\right ) ^2$

$\boxed{\textrm{V}(X) =\dfrac { 2 ^n +2 } {3 ^{n - 1}} - \dfrac {2 ^{2n}} {3 ^{2n-2}}\; \; }$ .

Question 4 :
a)La variable $i \, Y_i$ est nulle si le jeton $i$ n’est pas dans l’urne $1$ et égale à $i$ si le jeton $i$ est dans l’urne $1$ .
donc $\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n i \, Y_i$ est la variable aléatoire égale à la somme des numéros dans l’urne $1$ .

b) On rappelle que $\displaystyle \sum _ {i = 1} ^n i ^2 = \dfrac {n(n + 1)(2\, n + 1)} 6$ .

$\bullet$ Loi de $Y_i$

$\mathbb{P}(Y_i = 1) = \dfrac 1 p$ (car il y a $p$ choix d’urne pour le jeton $i$ ).

$\bullet$ Calcul de $\textrm{E}(S)$

donc $\textrm{E}(Y_i) = \dfrac 1 p$ et $\textrm{V}(Y_i) = \dfrac 1 p \, \left ( 1 - \dfrac 1 p \right )$ par propriété des variables de Bernoulli.

Puis par linéarité de l’espérance,
$\textrm{E}(S) = \displaystyle \sum _ {i= 1} ^p \textrm{E}(i \, Y_i) = \sum _ {i = 1} ^p i \, \textrm{E}( Y_i)$ $\textrm{E}(S) = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^p \dfrac i p = \dfrac {p(p + 1)} {2 \, p} = \boxed{\dfrac {p + 1} 2 }$ .

$\bullet$ Calcul de $\textrm{V}(S)$

Les variables $Y_1\,,\, Y_2\,,\, \cdots \,,\, Y_n$ sont indépendantes car associées à des épreuves indépendantes (mettre la boule numéro $i$ dans une des $p$ urnes).

Comme les variables $i \, Y_i$ sont indépendantes :
$\textrm{V}(S) = \displaystyle \sum _ {i= 1} ^p \textrm{V}(i \, Y_i) = \sum _ {i = 1} ^p i^2 \, \textrm{V}( Y_i)$ $\textrm{V}(S) \displaystyle = \sum _ {i = 1} ^p i^2 \, \dfrac {p - 1} {p ^2} = \dfrac {p - 1} {p ^2} \sum _ {i = 1} ^n i ^2$ $\textrm{V}(S) = \dfrac {p(p + 1)(2\, p +1)(p - 1) } {6 \, p^2 }$ $\boxed{\textrm{V}(S) = \dfrac {(p ^2 - 1) (2\, p + 1)} {6\, p} }$ .