Chapitres Maths en Terminale Générale

Cours d’arithmétique en Terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

A. Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ en Terminale

1. Diviseurs et multiples en Terminale Générale

$\bullet$ Soient $a$ et $b \in \mathbb{Z}$ .

il y a équivalence entre :

$\ast$ $a$ divise $b$ ou $a$ est un diviseur de $b$

$\ast$ $b$ est un multiple de $a$

$\ast$ il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $b = a \, k$ .

N’hesitez pas à consulter notre plateforme de cours particuliers de maths en ligne en cas de lacunes sur le chapitre de l’arithmétique.

2. Ensembles des diviseurs de $a$ en Terminale

$\ast$ Il n’y a pas de notation consacrée pour les diviseurs de $a$ .

$\mathcal{D}(a)$ représentera l’ensemble des diviseurs de $a$ .

$\ast$ $\mathcal{D}(0) = \mathbb{Z}$ .

$\ast$ Si $n \in \mathbb{Z}$ et $\vert n \vert \geqslant 2$ ,

$\qquad \quad \{ \pm 1 , \, \pm n \} \subset \mathcal{D}(n)$ .

$\ast$ $\mathcal{D}(-a) = \mathcal{D}(a)$ .

$\ast$ Si $n \in \mathbb{N}$ , $\mathcal{D}(n)$ est un ensemble fini inclus dans $[\![-n \,,\, n]\!]$ .

$\ast$ Si $n$ divise $1$ , $n = \pm 1$ .

$\ast$ Si $a$ divise $b$ , $\mathcal{D}(a) \subset \mathcal{D}(b)$ .

3. Ensembles des multiples de $a$ en terminale

$\ast$ Seul $0$ est un multiple de $0$ .

$\ast$ L’ensemble des multiples de $1$ est $\mathbb {Z}$

$\ast$ L’ensemble des multiples de $a$ est $\qquad \quad a \, \mathbb{Z} = \{ a\, k \, / \, k \in \mathbb{Z} \}$ .

C’est un ensemble infini.

$\ast$ $a$ et $-a$ ont mêmes multiples.

$\ast$ Si $a$ divise $b$ , tout multiple de $b$ est un multiple de $a$ , ce qui s’écrit aussi

$\qquad \quad$ si $a\, \vert\, b$ , $b \, \mathbb{Z} \, \subset a \, \mathbb{Z}$ .

4. Propriétés de la relation divise en Terminale

$\bullet$ Pour tous $a$ , $b$ et $c$ dans $\mathbb{Z}$ ,

$\ast$ $a$ divise $a$ .

$\ast$ si $a$ divise $b$ et $b$ divise $a$ , $b = \pm a$ .

$\ast$ si $a$ divise $b$ et $b$ divise $c$ , $a$ divise $c$ .

$\bullet$ Soient $a,b,c , d \in \mathbb{Z}$ .

$\ast$ Si $d \, \vert \, a$ et $d \, \vert \, b$ ,

pour tout $(u ,\, v) \in \mathbb{Z}^2, \, d \, \vert \, u\, a + v \, b$ . (on dit que $u \, a + v \, b$ est une combinaison linéaire (à coefficients dans $\mathbb{Z}$ ) de $a$ et $b$ .)

$\ast$ Si $a \, \vert \,b$ et $c \, \vert \, d$ , $a \, c \, \vert \, b \, d$ .

$\ast$ Si $a \, \vert\, b$ , pour tout $k \in \mathbb{N}$ , $a ^k \, \vert \, b ^k$ .

5. Diviseurs et multiples communs

Si $a_1\, ,\cdots ,\, a_n$ sont des éléments de $\mathbb{Z}$ , on appelle

$\ast$ diviseur commun de $a_1\, ,\cdots ,\, a_n$ tout $d \in \mathbb{Z}$ tel que pour tout $k \in [\![1 , \, n]\! ]$ $d \, \vert \, a_k \,$ .

$\ast$ multiple commun de $a_1\, ,\cdots ,\, a_n$ tout $m\in \mathbb{Z}$ tel que pour tout $k \in [\![1 , \, n]\! ]$ $\, a_k \, \vert\, m$ .

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S'EXERCER ET APPRENDRE

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B. Division euclidienne en Terminale Générale

$\bullet$ Théorème de division euclidienne

Si $a \in \mathbb{Z}$ et $b \in \mathbb{N}^*$ , il existe un unique couple $(q ,\, r) \in \mathbb{Z}\times \mathbb{N}$ tel que $\quad a = b \, q + r$ où $0 \leqslant r \leqslant b - 1$

$q$ est le quotient et $r$ le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ .

$\bullet$ Algorithme d’Euclide lorsque $a \in \mathbb{N}$ et $a \geqslant b$

Entrer $n \geqslant 0$ et $b > 0$

$q \leftarrow 0$ , $r \leftarrow a$

Tant que $r \geqslant b$ faire

$\qquad \qquad$ $r \leftarrow r - b$

$\qquad \qquad$ $q \leftarrow q +1$

Sortir $q$ et $r$ .

C. Relation de congruence en Terminale

1. Définition de la relation de congruence en Terminale

Si $n \in \mathbb{N}^*$ , pour $(x , y) \in \mathbb{Z}^2$ , on écrit

$\quad x \equiv y\;\;[n]$

ssi $n \, \vert \, x - y$

ssi il existe $p \in \mathbb{Z} , \ x- y = n \, p$

et on lit $x$ est congu à $y$ modulo $n$ .

2. Propriétés de la relation de congruence en Terminale

$\bullet$ Propriétés de symétrie et de transitivité

$\ast$ Pour tout $x\in \mathbb{Z}, \, x \equiv x \;\;[n]$ .

$\ast$ Pour tout $(x , y) \in \mathbb{Z}^2$ , $x \equiv y\;\;[n]$ ssi $y \equiv x\;\;[n]$ .

$\ast$ Pour tout $(x , y, z) \in \mathbb{Z}^3$ , $x \equiv y\;\;[n]$ et $y \equiv z\;\;[n]$ , alors $x \equiv z\;\;[n]$ .

$\bullet$ Utilisation de la division euclidienne

$\ast$ Soit $a \in \mathbb{Z}$ , $a \equiv 0\;\;[n]$ ssi $a$ est un multiple de $n$ .

$\ast$ Si $r$ est le reste de la division de $a \in \mathbb{Z}$ par $n$ , $a \equiv r\;\;[n]$ .

$\ast$ Si $a \in \mathbb{Z}$ , $b \equiv a\;\;[n]$ ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $b = a + k\,n$ où $k \in \mathbb{Z}$ .

$\ast$ Si $x \in \mathbb{Z}$ et $n \in \mathbb{N}^*$ , il existe un unique $r \in [\![0 , \, n - 1]\!]$ tel que $x \equiv r \;\; [n]$ .

Alors

… $r$ est le reste de la division euclidien- ne de $a$ par $n$

… on peut écrire $a = n \, k + r$ et $k$ est le quotient de la division euclidienne de $a$ par $n$

… Il y a égalité des ensembles :

$\{ y \in \mathbb{Z} \, / \, y \equiv a \;\; [n]\} = \{a + k \, n \, / \, k \in \mathbb{Z}\}$

$\bullet$ Compatibilité avec l’addition et la multiplication :

lorsque $x \equiv y \;\; [n]$ et $z \equiv u \;\; [n]$ ,

$\ast$ $x + z\equiv y + u \;\; [n]$

on dit que la congruence est compatible avec l’addition.

$\ast$ $x\, z \equiv y \, u \;\; [n]$

on dit que la congruence est compatible avec la multiplication.

$\ast$ si $k \in \mathbb{N}$ , $x ^k \equiv y ^k \;\;[n]$

$\ast$ si $m \in \mathbb{N}^*$ , $m \, x \equiv m\, y \;\; [m \, n]$ .

D. Tests de divisibilité en Terminale Générale

Dans la suite $N \in \mathbb{N}^*$ , on note $N = \overline {a_n\, a_{n - 1} \, \cdots \, \, a_2\,a_1\, a_0}$ son écriture décimale c’est -à-dire

$N = a_n \times 10 ^n + a_{n - 1} \times 10^{n - 1} + \cdots$ $\qquad \qquad \qquad \qquad +\, a_1 \times 10 + a_0$

$\bullet$ $N$ est divisible

$\ast$ par $2$ ssi $N$ est pair

$\ast$ par 5 ssi $a_0 \in \{0 , 5\}$

$\ast$ par $10$ ssi $a _ 0 = 0$

$\ast$ par $100$ ssi $a_0 = a_1 = 0$

$\ast$ par $25$ ssi $N$ se termine par $00, 25$ , $50$ ou $75$ .

$\bullet$ $N$ est divisible par $4$ ssi $\overline{a_1\, a_0}$ est divisible par $4$ .

$\bullet$ $N$ est divisible

$\ast$ par 3 ssi la somme de ses chiffres est divisible par $3$

$\ast$ par 9 ssi la somme de ses chiffres est divisible par $9$ .

E. Méthodes en arithmétiques en Terminale

1. Premières méthodes pour démontrer qu’un entier $N$ est divisible par un entier $n$ .

$\bullet$ Utilisation d’une factorisation de $N$

$n^2 + n = n(n + 1)$ , c’est le produit de deux entiers consécutifs, l’un est pair et l’autre est impair. Le produit est pair, donc divisible par 2.

$\bullet$ Utilisation d’une récurrence

$\bullet$ Utilisation des congruences

2. Pour déterminer le reste de la division par un entier

$\bullet$ Savoir passer de la division de $a \in \mathbb{N} ^*$ par $b$ à la division de $- a$ par $b$ :

$\ast$ Si $a$ est divisible par $b$ , on écrit $a = b\, q$ alors $- a = b \, (-q)$ .

Dans les deux divisions, le reste est nul.

$\ast$ Si $a$ n’est pas divisible par $n$ , on écrit $a= b \, q + r$ avec $r \in [\![1 , b - 1]\!]$ , alors $-a = b (-q) - r = b (- q - 1) + b - r$ et $b - r \in [\![1 , b - 1]\!]$ est le reste de la division de $-a$ par $b$ ..

$\bullet$ Si $a \in \mathbb{N}$ et $a \geqslant b$

$\ast$ poser la division euclidienne comme à l’école primaire.

$\ast$ s’aider de la calculatrice, calculer une valeur approchée de $\dfrac a b$ qui s’affiche sous la forme $q, d$ .

alors $q$ , partie entière de $\dfrac a b$ , est le quotient de la division de $a$ par $b$

et le reste est égal à $a - b \, q$ .

$\bullet$ Utiliser l’algorithme d’Euclide lorsque $a \in \mathbb{N}$ et $a \geqslant b$

Entrer $n \geqslant 0$ et $b > 0$

$q \leftarrow 0$ , $r \leftarrow a$

Tant que $r \geqslant b$ faire

$\qquad \qquad$ $r \leftarrow r - b$

$\qquad \qquad$ $q \leftarrow q +1$

Sortir $q$ et $r$ .

$\bullet$ Pour obtenir le reste de la division de $a$ par $b$ , utiliser les congruences en cherchant l’entier $r \in [\![0 , b - 1]\!]$ tel que $a \equiv r \;\; [b]$ .

Pour cela il suffit si $a \in \mathbb{N}$ vérifie $a \geqslant b$ , d’utiliser $a \equiv a - b \;\; [b]$ jusqu’à obtenir $a \equiv r \;\; [b]$ avec $0 \leqslant r < b$ .

On peut aussi utiliser les propriétés de la relation de congruence.

$\bullet$ Pour obtenir le reste de la division de $a ^n$ par $b$ lorsque $(a ,\, n) \in \mathbb{N}^2$ ,

Introduire la suite des équivalences $a^k \equiv r_k\;\; [b]$ avec $r_k \in [\![0 , \, b - 1]\!]$ en s’arrêtant suivant le cas au plus petit entier $k$ tel que

$\ast$ $r_k = 0$ , alors $b$ divise $a ^k$ et donc $b$ divise $a^n$ lorsque $n \geqslant k$

$\ast$ $r_k = 1$

Introduire la division euclidienne de $n$ par $k$ : $n = p\, k + t$ avec $t \in [\![0 , k - 1]\!]$ ,

alors $a ^n = (a ^k) ^p \times a ^t \equiv 1 ^ p \times a ^t \equiv r _ t\;\; [b]$

$\ast$ $r_k$ est l’un des restes déjà obtenus, établir une périodicité des restes.

3. Résolution d’une équation du type $P(x) \equiv 0 \;\; [n]$

lorsque $n$ est faible et lorsque $P(x)$ est une fonction polynôme en $x$ de degré au moins égal à 2.

On peut s’aider d’un tableau :

on écrit les différentes valeurs de $x$ dans $[\![0 , n - 1]\!]$ (ici) dans la première colonne pour des questions d’afficha- ge ; sur une copie, vous aurez intérêt à mettre les valeurs de $x$ dans la première ligne comme dans le tableau ci-dessous.

$\ast$ Pour résoudre $a \, x \equiv b \;\; [n]$
en parallèle, placer les valeurs de $[\![0,\, n - 1]\!]$ auxquelles sont congrus $a\, x$ , il suffit de chercher les valeurs de $x$ menant à un équivalent à $b$

$\ast$ Pour résoudre $a \, x^2 + b \, x \equiv c \;\; [n]$
il suffit d’ajouter une colonne donnant les équivalents de $b \, x$ , puis de $a\, x^2$ et enfin de $a \, x^2 + b \, x$ et de trouver les valeurs de $x$ donnant un équivalent à $c$ .

Raisonner de même pour les polynômes en $x$ de degré supérieur.

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F. Utilisation de Python en Terminale Générale

1. La syntaxe à connaître en Python en Terminale

$\bullet$ a\%b donne le reste de la division euclidienne de $a \in \mathbb{Z}$ par $b \in \mathbb{N}^*$ .

$\bullet$ a//b donne le quotient entier de $a$ par $b$ .

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A. Divisibilité dans $\mathbb{Z}$ en Terminale

1. Diviseurs et multiples en Terminale Générale

2. Ensembles des diviseurs de $a$ en Terminale

3. Ensembles des multiples de $a$ en terminale

4. Propriétés de la relation divise en Terminale

5. Diviseurs et multiples communs

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2. Pour déterminer le reste de la division par un entier

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