Chapitres Maths en Terminale Générale
Conditionnement et indépendance en Terminale
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Terminale
Résumé de cours Probabilités : conditionnement et indépendance
Découvrez un résumé de cours ainsi que des exercices et des corrigés d’exercices sur les probabilités. Les probabilités sont un des chapitres les plus importants au programme de maths en Terminale, si vous un etes lyonais n’hésitez pas à prendre des cours de maths à Lyon pour maitriser le conditionnement et l’indépendance. D’autant plus que les notions abordées dans ce chapitre seront utiles dans tous les domaines d’études dans le supérieur. Que ce soit dans les meilleures écoles d’ingénieurs post-bac, les meilleures écoles de commerce post-bac ou encore pour les meilleures prepa scientifiques et HEC.
1.Conditionnement et indépendance
Définition : probabilité conditionnelle
Soient des événements et . Si est de probabilité non nulle, alors la probabilité de sachant , notée , est définie par :
Définition : événements indépendants
Des événements et sont dits indépendants si et seulement si .
Théorème
Soient des événements et de probabilités non nulles. Les trois assertions suivantes sont équivalentes :
Définition : indépendance de variables aléatoires
Soient variables aléatoires et définies sur . On note les valeurs prises par et celles prises par .
et sont dites indépendantes si et seulement si, pour tout de et tout de :
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2.Combinaisons
Définition
Soit un ensemble de cardinal , soit un entier naturel
Une combinaison de éléments de est une partie de possédant éléments. On note le nombre de combinaisons de éléments de .
Si , alors .
Si , alors :
=.
Propriétés
Pour tout entier naturel : et si : .
Pour tous entiers naturels et tels que , on a : .
Formule de Pascal : pour tous entiers naturels et tels que , on a :
Formule du binôme de Newton
Pour tous complexes (et donc réels) et , et tout entier naturel non nul :
=
Exemple :
Calculer
3. Lois de probabilités discrètes
Loi de Bernoulli
Une variable aléatoire , prenant la valeur avec la probabilité et la valeur avec la probabilité , suit la loi de Bernoulli de paramètre . On notera alors :
L’espérance et la variance d’une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre sont données par :
Loi binomiale
La somme de variables aléatoires indépendantes de Bernoulli, prenant la valeur avec la probabilité et la valeur avec la probabilité , suit la loi binomiale de paramètre . On notera :
Les valeurs prises par sont les entiers de à .
Pour tout entier tel que : , .
L’espérance et la variance d’une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre sont données par :
Exercices sur les probabilités : conditionnement et indépendance
Dans une entreprise, un technicien passe chaque semaine pour s’occuper de l’entretien des machines. A chacun de ses passages hebdomadaires, il décide, pour chaque machine, si une intervention est ou non nécessaire. Pour un certain type de machine, le technicien est intervenu la première semaine de leur installation et a constaté :
que, s’il est intervenu la -ième semaine, la probabilité qu’il intervienne la -ième semaine est égale à ;
que, s’il n’est pas intervenu la -ième semaine, la probabilité qu’il intervienne la -ième semaine est égale à .
On désigne par l’événement : « le technicien intervient la -ième semaine » et par la probabilité de cet événement .
Question 1 :
Donner les nombres , et .
Question 2 :
Déterminer, en fonction de , et .
Question 3 :
En déduire que, .
Question 4 :
On pose, pour tout entier naturel non nul : .
Démontrer que la suite est géométrique. Quelle est sa limite ?
Question 5 :
En déduire la limite de quand tend vers , et l’expression de en fonction de .
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Annales sur les Probabilités : conditionnement et indépendance en Terminale
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