Chapitres Maths en Terminale Générale

Cours en ligne sur la continuité au programme de Terminale

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
Rating: 4.8 (1000 reviews)

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Révisez votre cours de maths avec ce cours en ligne en Terminale sur la continuité au programme de terminale. Si vous êtes en difficulté ou si vous souhaitez aller plus loin, notamment pour ceux qui souhaitent intégrer une prepa, il est également possible de prendre des cours de maths à Paris et de suivre des stages intensifs en terminale.

1. Définitions de la continuité d’une fonction en Terminale

$\bullet$ Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$
$\ast$ si $a \in I$ , $f$ est continue en $a$ ssi $\displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = f(a)$
$\ast$ si $I = [b , a]$ ou $]b , a]$ , $f$ est continue en $a$ ssi $\displaystyle \lim_{x \to a^{-}} f(x) = f(a)$
$\ast$ si $I = [a , b]$ ou $[a, b[$ , $f$ est continue en $a$ ssi $\displaystyle \lim_{x \to a^{+}} f(x) = f(a)$

$\bullet$ Soit $f$ une fonction définie sur l’intervalle $I$ (ou sur une réunion $\mathcal{D}$ d’intervalles), $f$ est continue sur $I$ (resp. $\mathcal{D }$ ) ssi elle est continue en tout $a \in I$ (resp. en tout point $a \in \mathcal{D})$ .

La notion de limite en fonctions en terminale est à bien maîtriser pour comprendre la continuité.

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2. Opérations sur les fonctions continues

Les fonctions introduites dans la suite sont définies sur l’intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ et $a \in I$ .

$\bullet$ Le produit par un réel d’une fonction continue, la somme, le produit de fonctions continues en $a$ (resp. sur $I$ ) est une fonction continue en $a$ (resp. sur $I$ ).

$\bullet$ Si $f$ est continue en $a$ (resp. sur $I$ ), la fonction $\vert f \vert : I \mapsto \vert f(x) \vert$ est continue en $a$ (resp. sur $I$ ).

$\bullet$ Si $g$ ne s’annule pas sur $I$ , si $f$ et $g$ sont continues en $a \in I$ (resp sur $I$ ), $\displaystyle \frac f g$ est continue en $a$ (resp sur $I$ ).

$\bullet$ Conséquences :
$\ast$ toute fonction polynôme est continue sur $\mathbb{R}$
$\ast$ tout quotient de fonctions polynômes est une fonction continue sur son domaine de définition.
$\ast$ La fonction exponentielle est continue sur $\mathbb{R}$

$\bullet$ Composition.
Soit $f$ définie sur $I$ à valeurs dans $\mathbb {R}$ , $g$ définie sur $J$ à valeurs dans $\mathbb {R}$ et $a \in I$ . On suppose que pour tout $x \in I,$ $f(x) \in J$ .
$\ast$ si $f$ est continue en $a$ et si $g$ est continue en $b = f(a)$ , $g \circ f$ est continue en $a$ .
$\ast$ si $f$ est continue sur $I$ et si $g$ est continue sur $J$ , $g \circ f$ est continue sur $I$

$\bullet$ Si $f$ est définie sur l’intervalle $I$ et dérivable en $a$ , $f$ est continue en $a$ .

3. Continuité et suites convergentes

$\bullet$ T1 : Image d’une suite convergente par une application continue.
Si $f$ est définie sur $I$ à valeurs dans $\mathbb {R}$ et $a \in I$ , pour toute suite $(u_n)_n$ de $I$ qui converge vers $a$ , la suite $(f(u_n))_n$ converge vers $f(a)$ .
Penser à vérifier que $a \in I$ .

$\bullet$ T2 : Théorème du point fixe
Soient $f : I \to I$ et la suite $(u_n)_n$ de points de $I$ définie par $u_0 \in I$ et pour tout $n \in \mathbb{N}, \, u_{n+1} = f(u_n)$ .
Si la suite $(u_n)_n$ converge vers un réel $L$ et si $L \in I$ , $L$ vérifie $L = f( L )$ .
On dit que $L$ est un point fixe de $f$ sur $I$

4. Théorème des valeurs intermédiaires

4.1. Théorème et conséquences

$\bullet$ Théorème des valeurs intermédiaires
Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ , si $a$ et $b$ sont deux éléments de $I$ tels que $f(a) < f(b)$ , pour tout $k \in\; ]f(a) , \, f(b)[$ , il existe $c$ strictement compris entre $a$ et $b$ tel que $f(c) = k$
ce que l’on peut résumer par : $f$ prend entre $a$ et $b$ toute valeur entre $f(a)$ et $f(b)$

$\bullet$ Conséquence 1 :
Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $I$ à valeurs dans $\mathbb{R}$ , si $a$ et $b$ sont deux éléments de $I$ tels que $a < b$ et $f(a). f(b) < 0$ , il existe $c \in \; ]a , \, b[$ tel que $f(c) = 0$ .

$\bullet$ Conséquence 2
Soit $f$ une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle $I$ .
Soient $a < b$ deux points de $I$ .
Pour tout $k$ strictement compris entre $f(a)$ et $f(b)$ , il existe un et un seul $c \in \; ]a , b[$ tel que $k = f(c)$ .

$\bullet$ Conséquence 3
Soit $f$ une fonction continue sur l’intervalle $I$ et ne s’annulant pas sur $I$ , alors $f$ a un signe constant sur $I$

4.2. Méthodes de recherche d’une valeur approchée d’une équation $f(x) = 0$

On suppose que la fonction $f$ est continue sur $[a , b]$ et ne s’annule qu’en un point $c \in\; ]a , b[$ .

4.2.1. Méthode de balayage :

(avec calculatrice ou tableur, mais aussi programmable en Python en terminale).
$\ast$ On détermine un entier $n$ tel que $n \leqslant c < n + 1$ en calculant les valeurs successives de $f$ en des points entiers de l’intervalle considéré.
$\ast$ En calculant les valeurs de $\displaystyle f \left ( n + \frac k {10} \right )$ , on détermine $p \in [\![0 , 9]\!]$ tel que $\displaystyle n + \frac p {10} \leqslant c < n + \frac {p+1} {10}$

$\ast$ on réitère si nécessaire en calculant les valeurs de $f$ en $\displaystyle n + \frac p {10} + \frac {k} {100}$ pour encadrer $c$ entre $\displaystyle n + \frac {p}{10} + \frac{q} {100} \leqslant c < n + \frac {p}{10} + \frac {q +1} {100}$
etc …

4.2.2. Méthode de dichotomie

Soit $f$ une fonction continue sur $[a , b]$
( $a < b$ ) à valeurs dans $\mathbb{R}$ telle que $f(a) \, f(b) < 0$ .
La méthode de dichotomie permet de construire deux suites $(a_n)_n$ et $(b_n)_n$ qui convergent vers $c$ tel que $f(c) = 0$ et vérifient $a_n \leqslant c \leqslant b_n$ avec $\qquad \qquad b_n - a_n =\displaystyle \frac {b - a} {2 ^n}$ .

$\bullet$ On pose $a_0 = a$ et $b_0 = b$ .
$\bullet$ $a_n$ et $b_n$ étant définis tels que $f(a_n) \, f(b_n) \leq 0$ et $b_n - a_n = \displaystyle \frac {b - a} {2 ^n}$
on introduit $c_n = \displaystyle \frac {a_n + b_n } 2$
$\ast$ si $f(a_n) \, f(c_n) \leq 0$ , on pose $\qquad a_ {n + 1} = a_n$ et $b_{n + 1} = c_n$

$\ast$ si $f(a_n) \, f(c_n) > 0$ , on pose $\qquad a_ {n + 1} = c_n$ et $b_{n + 1} = b_n\,$ .

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5. Fonction racine $n$ -ième où $n \in \mathbb{N}$ et $n \geqslant 2$

Pour tout $x \in \mathbb{R}^+$ , il existe un unique $t \geqslant 0$ tel que $x = t ^n$
Dans la suite, on note $t = \sqrt[\,n]{x}$ .
D : On peut donc définir une fonction appelée fonction racine $n$ -ième
$\mathbb{R} ^+ \to \mathbb{R} ^+, x \mapsto \sqrt[\,n\,]{x}$ telle que
$t = \sqrt[\,n\, ]{x}$ et $x \geqslant 0$ ssi $x = t ^n$ et $t \geqslant 0$ .

Pour tout $x \geqslant 0, \, \left (\sqrt[\,n]{x} \right ) ^n = x$ .

On remarque que si $n = 2$ , on obtient la fonction racine carrée.
Lorsque $n$ est impair, on peut démontrer que l’on peut définir la fonction racine $n$ -ième sur $\mathbb{R}^+$ .

Entraînez-vous efficacement pour le bac en consultant et en vous exerçant sur les annales de maths au bac général. Pour combler toutes vos lacunes en maths avant les épreuves et obtenir d’excellents résultats au bac vous pouvez également faire le choix d’être accompagné en cours particuliers à domicile avec un professeur particulier pour approfondir par exemple les notions de cours en ligne de maths suivants :

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1. Définitions de la continuité d’une fonction en Terminale

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3. Continuité et suites convergentes

4. Théorème des valeurs intermédiaires

4.1. Théorème et conséquences

4.2. Méthodes de recherche d’une valeur approchée d’une équation $f(x) = 0$

4.2.1. Méthode de balayage :

4.2.2. Méthode de dichotomie

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