Chapitres Maths en Terminale Générale
Cours en ligne sur la continuité au programme de Terminale
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Terminale
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1. Définitions de la continuité d’une fonction en Terminale
Soit
une fonction définie sur un intervalle
à valeurs dans
si
,
est continue en
ssi
si
ou
,
est continue en
ssi
si
ou
,
est continue en
ssi
Soit
une fonction définie sur l’intervalle
(ou sur une réunion
d’intervalles),
est continue sur
(resp.
) ssi elle est continue en tout
(resp. en tout point
.
La notion de limite en fonctions en terminale est à bien maîtriser pour comprendre la continuité.
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2. Opérations sur les fonctions continues
Les fonctions introduites dans la suite sont définies sur l’intervalle à valeurs dans
et
.
Le produit par un réel d’une fonction continue, la somme, le produit de fonctions continues en
(resp. sur
) est une fonction continue en
(resp. sur
).
Si
est continue en
(resp. sur
), la fonction
est continue en
(resp. sur
).
Si
ne s’annule pas sur
, si
et
sont continues en
(resp sur
),
est continue en
(resp sur
).
Conséquences :
toute fonction polynôme est continue sur
tout quotient de fonctions polynômes est une fonction continue sur son domaine de définition.
La fonction exponentielle est continue sur
Composition.
Soit définie sur
à valeurs dans
,
définie sur
à valeurs dans
et
. On suppose que pour tout
.
si
est continue en
et si
est continue en
,
est continue en
.
si
est continue sur
et si
est continue sur
,
est continue sur
Si
est définie sur l’intervalle
et dérivable en
,
est continue en
.
3. Continuité et suites convergentes
T1 : Image d’une suite convergente par une application continue.
Si est définie sur
à valeurs dans
et
, pour toute suite
de
qui converge vers
, la suite
converge vers
.
Penser à vérifier que .
T2 : Théorème du point fixe
Soient et la suite
de points de
définie par
et pour tout
.
Si la suite converge vers un réel
et si
,
vérifie
.
On dit que est un point fixe de
sur
4. Théorème des valeurs intermédiaires
4.1. Théorème et conséquences
Théorème des valeurs intermédiaires
Soit une fonction continue sur l’intervalle
à valeurs dans
, si
et
sont deux éléments de
tels que
, pour tout
, il existe
strictement compris entre
et
tel que
ce que l’on peut résumer par : prend entre
et
toute valeur entre
et
Conséquence 1 :
Soit une fonction continue sur l’intervalle
à valeurs dans
, si
et
sont deux éléments de
tels que
et
, il existe
tel que
.
Conséquence 2
Soit une fonction continue et strictement monotone sur l’intervalle
.
Soient deux points de
.
Pour tout strictement compris entre
et
, il existe un et un seul
tel que
.
Conséquence 3
Soit une fonction continue sur l’intervalle
et ne s’annulant pas sur
, alors
a un signe constant sur
4.2. Méthodes de recherche d’une valeur approchée d’une équation 
On suppose que la fonction est continue sur
et ne s’annule qu’en un point
.
4.2.1. Méthode de balayage :
(avec calculatrice ou tableur, mais aussi programmable en Python en terminale).
On détermine un entier
tel que
en calculant les valeurs successives de
en des points entiers de l’intervalle considéré.
En calculant les valeurs de
, on détermine
tel que
on réitère si nécessaire en calculant les valeurs de
en
pour encadrer
entre
etc …
4.2.2. Méthode de dichotomie
Soit une fonction continue sur
() à valeurs dans
telle que
.
La méthode de dichotomie permet de construire deux suites et
qui convergent vers
tel que
et vérifient
avec
.
On pose
et
.
et
étant définis tels que
et
on introduit
si
, on pose
et
si
, on pose
et
.
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5. Fonction racine
-ième où
et 
Pour tout , il existe un unique
tel que
Dans la suite, on note .
D : On peut donc définir une fonction appelée fonction racine -ième
telle que
et
ssi
et
.
Pour tout .
On remarque que si , on obtient la fonction racine carrée.
Lorsque est impair, on peut démontrer que l’on peut définir la fonction racine
-ième sur
.
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