Chapitres Maths en Terminale Générale
Cours sur les dérivées et la convexité en Terminale Générale
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Terminale
Cours en ligne sur le chapitre des dérivées et des fonctions convexes au programme de maths en Terminale. Ce chapitre est à maîtriser obligatoirement pour réussir en terminale et avoir de bons résultats au bac.
Pour se préparer au bac du mieux possible, il est fortement recommandé aux élève de terminale quel que soit leur niveau, de suivre des cours particuliers en maths.
1. Retour sur les cours de première
1.1. Définitions de fonctions sur les dérivées et la convexité
Soit une fonction réelle définie sur un intervalle contenant .
est dérivable en ssi la fonction définie pour et par
admet une limite finie en .
= le nombre dérivé de la fonction en
est le taux d’accroissement de la fonction en .
S’il existe un réel tel que ,
est dite dérivable à droite en et son nombre dérivé à droite en est noté .
S’il existe un réel tel que ,
est dite dérivable à gauche en et son nombre dérivé à gauche en est noté .
Si n’est pas une borne de , est dérivable en ssi est dérivable à droite et à gauche en et si .
Si , est dérivable à droite en ssi est dérivable en .
Si , est dérivable à gauche en ssi est dérivable en .
À savoir : la fonction n’est pas dérivable en , mais elle est dérivable à droite et à gauche en avec : et .
1.2. Interprétation des fonctions dérivées en Terminale Générale
Si est dérivable en , le graphe de admet une tangente en d’équation
La tangente est la position limite des sécantes lorsque tend vers , en notant le point de coordonnées .
Si est continue sur et si , le graphe de admet une tangente verticale (à droite) en .
On raisonne de même pour une tangente verticale à gauche d’un point.
1.3. La fonction dérivée et son utilisation
D: si est dérivable en tout point de , la fonction dérivée de est la fonction .
Dérivée et variation
Soit une fonction définie et dérivable sur l’intervalle à valeurs réelles.
est constante sur ssi pour tout .
est croissante sur ssi pour tout .
est décroissante sur ssi pour tout .
Dérivée et extremum
Soit une fonction admettant un extremum en , où n’est pas une borne de .
Si est dérivable en , .
La réciproque est fausse comme dans l’exemple , la dérivée s’annule en et n’admet pas d’extremum en .
Programme de Terminale : Si est dérivable en , est continue en .
1.4. La fonction dérivée et son utilisation
Si et sont dérivables sur ,
est dérivable sur et
Si , est dérivable sur et
est dérivable sur et .
Si et sont dérivables sur et si ne s’annule pas sur ,
est dérivable sur et
est dérivable sur et .
est dérivable sur et si .
Soit dérivable sur . Soient deux réels avec .
On note .
On définit .
est dérivable sur et
si .
PROF DE MATHS PARTICULIER
Des cours de qualité et enseignants aguerris
Préparer des concours ou s'exercer
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
2. Dérivées d’une fonction composée en Terminale Générale
2.1. Théorème de composition en terminale
Si est une fonction dérivable sur l’intervalle à valeurs dans , si la fonction est dérivable sur l’intervalle à valeurs dans et si pour tout , la fonction est définie sur et dérivable sur et pour tout .
ce que l’on écrit sous la forme .
2.2. Les dérivées à connaître en terminale
On suppose que est dérivable sur à valeurs dans
pour tout
.
si ne s’annule pas,
pour tout , .
on note , .
On suppose que est à valeurs strictement positives sur .
On note , .
On note et
.
3. La convexité en Terminale Générale
3.1. Dérivée seconde
Soit une fonction dérivable, si est dérivable sur , on dit que admet une dérivée seconde sur et on note .
3.2. Fonction convexe et fonction concave
Soit une fonction définie sur l’intervalle . On note son graphe.
est convexe lorsque pour tout avec , la courbe est située sous la corde où et .
est concave lorsque pour tout avec , la courbe est située au dessus de la corde où et .
Soit une fonction deux fois dérivable sur l’intervalle à valeurs réelles.
Il y a équivalence entre
est convexe sur
est croissante sur
est à valeurs positives ou nulles
pour tout , le graphe de est situé au dessus de la tangente en à la courbe .
Soit une fonction deux fois dérivable sur l’intervalle à valeurs réelles.
Il y a équivalence entre
est concave sur
est décroissante sur
est à valeurs négatives ou nulles
pour tout , le graphe de est situé en dessous de la tangente en à la courbe .
Démonstration à connaître
Si la fonction est positive ou nulle,
pour tout , le graphe de est situé en dessous de la tangente en à la courbe .
3.3. Point d’inflexion au programme de terminale
Soit une fonction dérivable sur à valeurs dans et son graphe.
Soit et est un point d’inflexion de lorsque la courbe traverse sa tangente en .
Ce qui est équivalent à change de concavité en .
Lorsque est deux fois dérivable,
est un point d’inflexion ssi s’annule en changeant de signe en .
3.4. Application à la démonstration d’inégalité
En utilisant un raisonnement de convexité, on va montrer que
pour tout réel ,
si sont réels, .
La fonction est convexe sur car elle est deux fois dérivable et
.
La tangente en a pour équation .
La courbe est au dessus de sa tangente en : pour tout réel ,
On conserve la même fonction.
On considère les points et
Le milieu de ce segment a pour coordonnées , il est situé au dessus du point d’abscisse de
donc .
En utilisant un raisonnement de convexité, on va montrer que pour tout , .
La fonction est deux fois dérivable sur
en posant et en utilisant avec
est concave.
La tangente en a pour équation .
La courbe est située sous cette tangente donc .
PROF DE MATHS PARTICULIER
Des cours de qualité et enseignants aguerris
Préparer des concours ou s'exercer
Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5
N’hésitez pas à compléter ce cours en ligne avec des exercices d’annales de maths au bac afin de vous préparer au mieux à l’examen du bac. Vous avez également la possibilité de participer à des stages de révisions pendant les vacances scolaires. Avec son fort coefficient au bac, les maths sont à travailler très rigoureusement.
N’hésitez pas à prendre de l’avance sur le programme de Maths en commençant les révisions des chapitres suivants du programme grâce aux cours en ligne de maths gratuits, notamment :