Chapitres Maths en Terminale Générale

Arithmétique : Exercices et corrigés en Terminale Générale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Exercice sur l’utilisation de la division euclidienne

Question 1 :

Déterminer la somme des multiples de $13$ compris entre $100$ et $500$ .

Valeur ?

Question 2 :

Quel est le reste de la division euclidienne par $4$ de la somme de deux carrés de deux entiers relatifs consécutifs ?

Valeur du reste ?

Question 3 :

Résoudre dans $\mathbb{Z}$ , $x - 1$ divise $x + 3$ .

Nombre de solutions ?

Question 4 :

Résoudre dans $\mathbb{Z}$ , $x - 3$ divise $x ^3 - 3$ .

Nombre de solutions ?

Exercice sur l’utilisation de la relation de congruence

Question 1 :

Résoudre l’équation $3\, x \equiv 5 \;\; [7]$ .

Question 2 :

En utilisant une congruence modulo 8, résoudre l’équation $2 ^m - 3 ^n = 1$ où $m$ et $n$ sont des entiers naturels.

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Exercice sur la résolution d’équation dans $\mathbb{Z}$

Le but de l’exercice est de résoudre l’équation $7 ^n - 3 \times 2^m = 1$ lorsque $m,\, n \in \mathbb{N}$ .

Question 1 :

Résoudre l’équation lorsque $m \leqslant 4$ .

Question 2 :

On suppose que $m \geqslant 5$ et que $(m,\, n)$ est solution.

a) $7^n \equiv 1 \;[32]$ .

Vrai ou Faux ?

b) $n$ est un multiple de $4$ .

Vrai ou Faux ?

c) Conclure en raisonnant modulo 5.

Exercice sur une suite arithmético-géométrique

On considère la suite définie par $u_0 = 14$ , et pour tout entier $n$ , $u_{n + 1} = 5\, u_n - 6$ .

Question 1 :

Si $k\in\mathbb{N}$ , $u_{2\, k} \equiv 2 \;\; [4]$ et $u_{2\, k+1 } \equiv 0 \;\; [4]$

Vrai ou Faux ?

Question 2 :

Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $2\, u_n = 5^{n + 2} + 3$ .

Vrai ou Faux ?

Exercice sur les nombres parfaits en Terminale

Écrire une fonction

$\qquad \qquad$ SommeDiviseurs
de paramètre $n$ qui calcule la somme des diviseurs de $n$ strictement inférieurs à $n$ .

Que donne SommeDiviseurs(2020) ?

$\sigma(2020) =$ ?

Exercice pour coder et décoder un message

Question 1 :

Démontrer que si $y \equiv 5\, x + 4\;\; [27]$ , alors $x \equiv 11 \, y + 17 \;\; [27]$

En déduire que 2 caractères distincts sont codés par 2 caractères distincts.

Question 2 :

Donner une fonction Python de paramètre un caractère qui donne la lettre obtenue par la transformation proposée.

Quelle est la lettre renvoyée par CodeLettre(‘S’) ?

Question 3 :

Donner une fonction DecodeLettre de paramètre une lettre codée et donne la valeur de la lettre initiale.

Quelle est la lettre renvoyée par DecodeLettre(‘T’) ?

Correction de l’exercice sur l’utilisation de la division euclidienne

Question 1 :

On cherche d’abord $k \in \mathbb{N}$ tel que

$\qquad \quad 100 \leqslant 13\, k \leqslant 500$ .

or $100 = 7 \times 13 + 9$

et $500 = 38 \times 13 +6$

donc $7 \times 13 + 9 \leqslant 13\, k \leqslant 38 \times 13 + 6$

ssi $8 \times 13 \leqslant 13 \, k \leqslant 38 \times 13$

ssi $8 \leqslant k \leqslant 38$ .

On calcule donc $\displaystyle S = \sum _ {k = 8} ^{38} k \, 13 = 13 \times \sum _ {k = 8} ^{38} k$

On additionne $38 - 7 = 31$ termes d’une suite arithmétique de premier terme $8$ et de dernier terme $38$ :

$\displaystyle S = 13 \times \dfrac {31} 2 \times (8+38) = 13 \times 31 \times 23$ $\boxed{ S = 2\, 269}$ .

Question 2 :

On raisonne par disjonction des cas.

$\bullet$ Dans le cas des entiers consécutifs : $2\, n$ et $2\, n + 1$ ,

$S = (2\, n)^2 + (2\, n + 1)^2 = 8 \, n ^2 + 4\, n + 1$

$S= 4 \,(2\, n^2 + n) + 1$ .

Le reste est égal à $1$ .

$\bullet$ Dans le cas des entiers consécutifs : $2\, n + 1$ et $2\, n + 2$ ,

$S = (2\, n + 1 )^2 + (2\, n + 2 )^2$

$S = 8 \, n ^2 + 4\, n + 8\, n + 1 + 4$

$S = 4 \, (2\, n ^2 + 3\, n + 1) +1$ .

Le reste est égal à $1$ .

Dans les deux cas, le reste est égal à 1.

Question 3 :

Si $x - 1$ divise $x + 3$ , alors $x - 1$ divise $(x + 3)-(x-1 ) =4$ donc $\qquad x - 1\in \{- 4 , -2, - 1 , 1 , 2 , 4\}$ .

On étudie la réciproque.

Si $x - 1\in \{- 4 , -2, - 1 , 1 , 2 , 4\}$ ,

$x - 1$ divise 4 donc $x - 1$ divise $\qquad \qquad (x - 1) + 4 = x + 3$ .

$x - 1\in \{- 4 , -2, - 1 , 1 , 2 , 4\}$

ssi $x\in \{- 3 , -1, 0, 2 , 3 , 5\}$ .

L’ensemble des solutions est $\qquad \quad \boxed{\mathcal{S} = \{-3, - 1, 0 , 2 , 3 , 5\}}$ .

Question 4 :

$x ^3 - 3 = x^2(x - 3) + 3\, x ^2 - 3$

$x^3 - 3 = x^2(x - 3) + 3(x ^2 - 9) + 27 - 3$

$x^3 - 3 = (x ^2 + 3\, x + 3) (x - 3) + 24$ .

Comme $x - 3$ divise $x^3 -3$ et $(x ^2 + 3\, x + 3) (x - 3)$ , alors $x - 3$ divise 24 donc $x -3$ est élément de

$\;\;\; \{ \pm 24, \pm12, \pm 8, \pm 6 , \pm 4, \pm3, \pm 2 , \pm 1 \}$ .

On étudie la réciproque.

Si $x - 3$ est élément de $\qquad \{ \pm 24, \pm12, \pm 8, \pm 6 , \pm 4, \pm3, \pm 2 , \pm 1 \}$ ,

$x-3$ divise 24, donc $x - 3$ divise $24 = (x^3 - 3 ) - (x ^2 + 3\, x + 3) (x - 3)$

et $x - 3$ divise $x^3 - 3$

Puis il reste à traduire $x - 3$ est élément de $\qquad \{ \pm 24, \pm12, \pm 8, \pm 6 , \pm 4, \pm3, \pm 2 , \pm 1 \}$ ,

ce qui donne l’ensemble $\mathcal{S}$ des solutions

$\mathcal{S} = \{-21,-9,-5,-3,-1,0,1,2,4,5,6,$ $\qquad \qquad \qquad 7,9,11,15,27 \}$ .

Correction d’exercice sur l’utilisation de la relation de congruence

Question 1 :

Si $x \equiv r \;\; [7]$ , $3\, x \equiv 3\, r \;\; [7]$ .

On étudie le cas où $r \in [[0 , 6]]$

$\ast$ $3\times 0 \equiv 0\;\; [7]$

$\ast$ $3\times 1 \equiv 3\;\; [7]$

$\ast$ $3\times 2 \equiv 6\;\; [7]$

$\ast$ $3\times 3 \equiv 2\;\; [7]$

$\ast$ $3\times 4 \equiv 5\;\; [7]$

$\ast$ $3\times 5 \equiv 2\;\; [7]$

donc si $r \in [[0 , 6]]$ , $3\, r \equiv 5\;\; [7]$ ssi $r = 4$

alors si $x \equiv r \;\; [7]$ , $3\, x \equiv 5 \;\; [7]$ ssi $r = 4$ .

L’ensemble des solutions est l’ensemble des entiers $\boxed{7 \, n + 4\textrm{ avec }n \in \mathbb{Z}}$ .

Question 2 :

$\bullet$ $3 ^1 \equiv 3 \;\; [8]$ , $3 ^2 \equiv 1 \;\; [8]$

donc $3 ^{2\, k} = (3 ^2) ^k \equiv 1 \;\; [8]$

et $3 ^{2\, k +1 } = (3 ^2) ^k \times 3 \equiv 1 \times 3 \;\; [8]$

$\bullet$ On suppose qu’il existe une solution avec $m \geqslant 3$ , alors $\qquad \quad 2 ^m = 2 ^3 \times 2 ^{m - 3} \equiv 0\;\; [8]$
donc

$2 ^m - 3 ^n = 1$ et $2 ^m - 3 ^n \equiv - 3 ^n \;\; [8]$

impliquent que $- 3 ^n \equiv 1\;\; [8]$

soit $3 ^n \equiv - 1\;\; [8]$ ou $3 ^n \equiv 7 \;\; [8]$

ce qui contredit le fait que $3 ^n$ est congru à 3 ou 1 modulo 8.

Il est impossible que $m \geqslant 3$ .

$\bullet$ Si $m = 0$ ,
$2 ^m - 3 ^n = 1$ ssi $1 - 3 ^n = 1$ ssi $3 ^n = 0$ , ce qui est impossible

$\bullet$ Si $m = 1$ ,
$2 ^m - 3 ^n = 1$ ssi $2 - 3 ^n = 1$ ssi $3 ^n = 1$ , ssi $n = 0$ .

$\bullet$ Si $m = 2$ ,
$2 ^m - 3 ^n = 1$ ssi $4 - 3 ^n = 1$ ssi $3 ^n = 3$ ssi $n = 1$ .

Les couples solutions sont $(1 , 0)$ et $(2 , 1)$

Correction d’exercice sur la résolution d’équation dans $\mathbb{Z}$

Question 1 :

On note $S_{n,m} = 7 ^n - 3 \times 2^m - 1$ et on raisonne par disjonction des cas.

$\ast$ Si $m = 0$ ,

$S_{n,0} = 7^n - 3 - 1 = 7^n - 4 \neq 0$ car égal à $-4$ ou au moins égal à $3$ .

$\ast$ Si $m = 1$ ,
$S_{n,1} = 7^n - 6 - 1 = 7^n - 7= 0$ ssi $n = 1$ .

$\ast$ Si $m = 2$ ,
$S_{n,2} = 7^n - 12 - 1 = 7^n - 13 \neq 0$ car égal à $-12$ ou $-6$ ou au moins égal à $36$ .

$\ast$ Si $m = 3$ ,
$S_{n,3} = 7^n - 24 - 1 = 7^n - 25 \neq 0$ car égal à $-25$ ou $-18$ ou au moins égal à $44$ .

$\ast$ Si $m = 4$ ,
$S_{n,4} = 7^n - 48 - 1 = 7^n - 49 = 0$ ssi $n = 2$ .

Il y a deux couples solutions si l’on impose $m \leqslant 4$ : $\boxed{(1,\,1) \textrm{ et }(4, \,2)}$ .

Question 2 :

a) Vrai

$2 ^5 = 32 \equiv 0 \;[32]$ ,

Si $m \geqslant 5$ , $2 ^{m} = 2 ^{m - 5} \times 2 ^5 \equiv 0\;[32]$

et comme $7 ^n - 3\times 2^m = 1$ alors $\boxed{7^n \equiv 1 \;[32]}$ .

b) Vrai

$7^0 \equiv 1 \; [32]$ , $7 ^1 \equiv 7 \;[32]$ , $7 ^2 \equiv 17 \;[32]$ , $7 ^3 \equiv 17 \times 7 \equiv 23 \;[32]$

car $17 \times 7 = 119 = 3 \times 32 + 23$ .

puis $7 ^4 \equiv 7 \times 23 \equiv 1\;[32]$

car $7\times 23 = 161 = 5 \times 32 +1$ .

Soit $k \in \mathbb{N}$ ,

$7 ^{4 \, k} \equiv (7 ^4)^n \equiv 1^n \equiv 1 \; [32]$

$7 ^{4 \, k+1 } \equiv 7 \; [32]$

$7 ^{4 \, k+2 } \equiv 7^2 \equiv 17 \; [32]$

$7 ^{4 \, k+3 } \equiv 17\times 7 \equiv 23 \; [32]$

Donc $7 ^n \equiv 1 \; [32]$ ssi il existe $k \in \mathbb{N}$ tel que $n = 4\, k$ .

c) Si $(m, n)$ est solution avec $m \geqslant 5$ , $n = 4\,k$ avec $k \in \mathbb{N}$ .

$7 ^2 = 49 \equiv 4 \;[5]$ , $7 ^4 \equiv 16 \equiv 1 \; [5]$

donc $7 ^{4 k} = (7 ^4) ^k \equiv 1 \;[5]$

donc $7 ^n - 3\times 2 ^m = 1$ implique que $1 - 3 \times 2 ^m \equiv 1 \;[5]$

soit $3 \times 2 ^m \equiv 0 \;[5]$ , donc $5$ divise $3 \, \times 2 ^m$ ce qui est impossible .

Il n’y a pas de solution avec $m \geqslant 5$ .

Le problème proposé admet donc deux solutions $(1,1)$ et $(4, 2)$ .

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Correction de l’exercice sur une suite arithmético-géométrique

Question 1 :

Vrai

Si $k\in\mathbb{N}$ , on note
$\mathcal{P}(k)$ : $u_{2\, k} \equiv 2 \;\; [4]$ et $u_{2\, k+1 } \equiv 0 \;\; [4]$

$\ast$ Initialisation.
$u_0 = 14 = 4\times 3 + 2$ et $u_1 = 16 \times 4$ , donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

$\ast$ Hérédité.

On suppose que $\mathcal{P}(k)$ est vraie pour un entier $k$ donné.

On rappelle que $u_{n + 2} \equiv u_n \;\; [4]$ ,

alors $u_{2\, k + 2} \equiv u_{2\,k} \;\; [4]$

donc $u_{2\, k + 2} \equiv 2 \;\; [4]$

et $u_{2\, k + 3} \equiv u_{2\,k+1} \;\; [4]$

donc $u_{2\, k + 3} \equiv 0 \;\; [4]$ .

On a prouvé $\mathcal{P}(k + 1)$ .

$\ast$ Conclusion.

Par récurrence, la propriété est vraie pour tout entier $k$ .

On gagne un peu de temps en incluant les deux équivalences dans la même hypothèse de récurrence.

Question 2 :

Vrai

Si $n\in\mathbb{N}$ , on note
$\qquad \quad \mathcal{P}(n)$ : $2\, u_{n} = \times 5 ^{n + 2 } +3$

$\ast$ Initialisation.
$2\, u_0 = 28 = 25 + 3 = 5^2 + 3$ donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

$\ast$ Hérédité.

On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour un entier $n$ donné.

$2\, u_{n + 1} = 10\, u_n - 12 = 5\, (2\, u_n) - 12$

$2\, u_{n + 1} = 5 \times 5 ^{n + 2 } + 15 - 12$

$2\, u_{n + 1} = 5 ^{n + 3 } + 3$ .

On a prouvé $\mathcal{P}(n + 1)$ .

$\ast$ Conclusion.

Par récurrence, la propriété est vraie pour tout entier $n$ .

Correction de l’exercice sur les nombres parfaits en Terminale

$\sigma(2020) = 2264$

def SommeDiviseurs(n):
$\qquad \vert$ S = 1
$\qquad \vert$ for k in range(2 , n):
$\qquad \qquad \vert$ if n % k $== 0$ :
$\qquad \qquad \qquad \vert$ S = S + k
$\qquad \vert$ return(S)

SommeDiviseurs(2020)
$\boxed{2\,264}$ .

Correction de l’exercice pour coder et décoder un message

Question 1 :

$\bullet$ On suppose que $y \equiv 5\, x + 4\;\; [27]$ alors $11\, y\equiv 55\, x + 44\;\; [27]$

et $11\, y + 17 \equiv 55 \, x + 71\;\; [27]$

or $71 = 3 \times 27$ , donc $51 \equiv 0 \;\;[27]$

et $55 = 2 \times 27 + 1$ , donc $55\equiv 1 \;\; [27]$ .

On a prouvé que $x \equiv 11 \, y + 17 \;\; [27]$ .

$\bullet$ Si $y$ (resp $y'$ ) est le numéro du code de la lettre numéro $x$ (resp. $x'$ ), alors $y = y'$ avec $y \equiv 5\, x + 4\;\; [27]$ et $y' \equiv 5\, x' + 4\;\; [27]$

donc $x \equiv 11 \, y + 17 \;\; [27]$

$\qquad$ et $x' \equiv 11 \, y' + 17 \;\; [27]$

donc $x \equiv x' \;\; [27]$ et comme $0 \leqslant x, \,x' \leqslant 26$ , alors $x = x'$ .

Question 2 :

def CodeLettre (L) :
$\qquad \vert$ x = numero(L)
$\qquad \vert$ y = (5*x + 4) % 27
$\qquad \vert$ return (alphabet[y] )

On pourrait bien sûr écrire seulement
def CodeLettre (L) :
$\qquad \vert$ y = (5* numero(L) + 4) % 27
$\qquad \vert$ return ( alphabet[y])

CodeLettre(‘S’)
réponse ‘N’

Question 3 :

def DecodeLettre(L):
$\qquad \vert$ y = numero (L)
$\qquad \vert$ x = (11*y + 10) % 27
$\qquad \vert$ return (alphabet[x])

On pourrait se limiter aussi à
def DecodeLettre(L):
$\qquad \vert$ x = (11* numero(L) + 10) % 27
$\qquad \vert$ return (alphabet[x])

DecodeLettre(« T »)
réponse ‘D’.

N’hésitez pas à vous servir des autres cours en ligne de maths au programme de l’option maths expertes pour vous préparer à l’examen du bac. Vous pourrez y retrouver des définitions, des propriétés, des exemples, des conseils, des méthodes….

Retrouvez ici les chapitres à connaître en spé maths expertes :

Arithmétique : Exercices et corrigés en Terminale Générale

Exercice sur l’utilisation de la division euclidienne

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