Chapitres Maths en Terminale Générale

Exercices la chaîne de Markov en terminale et corrigés gratuits

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Exercice 1 – Sujet de bac

Dans une société d’assurance, les clients peuvent choisir de payer leur cotisation chaque mois (paiement mensuel) ou en une fois (paiement annuel).

On constate que $30\%$ de ceux qui paient en une fois choisissent le paiement mensuel l’année suivante, alors que $85\%$ de ceux qui paient chaque mois conservent ce mode de paiement l’année suivante.

En 2014, $60\%$ des clients paient en une fois et $40\%$ paient mensuellement.

Dans toute la suite de l’exercice, $n$ désigne un nombre entier naturel.

On note :
$\ast$ $a_n$ la probabilité qu’un client choisi au hasard paie en une fois pour l’année $2014+n$ ;
$\ast$ $b_n$ la probabilité qu’un client choisi au hasard paie mensuellement pour l’année $2014+n$ .
On a $a_0 = 0,6$ et $b_0 = 0,4$ et on note $p_n$ l’état probabiliste pour l’année $2014+n$ . Ainsi $p_0 = (0,6\quad 0,4)$ .

On note :
$\bullet$ $A$ l’état « le client paie en une fois » ;
$\bullet$ $B$ l’état « le client paie mensuellement ».

Question 1 :

Représenter un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$ .

Question 2 :

Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l’ordre alphabétique.

Question 3 :

Déterminer la probabilité qu’un client paie en une fois durant l’année 2018 (arrondir le résultat au millième).

Question 4 :

Déterminer la distribution invariante et en donner une interprétation.

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Exercice 2 sur la chaîne de Markov en Terminale

Un lapin se déplace dans un terrier composé de trois galeries, notées A, B et C, dans chacune desquelles il est confronté à un stimulus particulier.

À chaque fois qu’il est soumis à un stimulus, le lapin reste dans la galerie où il se trouve ou change de galerie. Cela constitue une étape.

S’il est dans la galerie $A$ ou $C$ , il y reste avec la probabilité $1/3$ ou il passe dans la galerie $B$ avec la probabilité $2/3$

S’il est dans la galerie $B$ , il y reste avec la probabilité $1/2$ sinon il passe dans la galerie $A$ ou la galerie $C$ avec la probabilité $1/4$ .

Question 1 :

Représenter le graphe de probabilité associé à cette situation.
On notera $A$ , $B$ et $C$ les trois états correspondant aux trois galeries.

Question 2 :

Écrire la matrice de transition associée.

Question 3 :

Écrire en justifiant le raisonnement la relation liant $R_n = (a_n \quad \quad b_n \quad c_n)$ , $M$ et $R_{n + 1}\,$ .

Question 4 :

Déterminer la distribution stationnaire.
On donnera les trois valeurs sans parenthèses, sous la forme $u/v$ en les séparant par une virgule.

Question 5 :

On définit la suite $(u_n)$ par
$\quad$ si $n \in \mathbb{N}$ , $u_n = a_n -c_n\,$ .

a) La suite $(u_n)$ est géométrique de raison :

b) Pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $u_n = \dfrac 1 {3 ^n}$ .

Exercice 3 de Terminale Générale sur la chaîne de Markov

Le PageRank ou PR est l’algorithme d’analyse des liens concourant au système de classement des pages Web utilisé par le moteur de recherche Google.

Il mesure quantitativement la popularité d’une page web. Le PageRank n’est qu’un indicateur parmi d’autres dans l’algorithme qui permet de classer les pages du Web dans les résultats de recherche de Google.

Ce système a été inventé par Larry Page, cofondateur de Google.

On en examine une illustration sur un nombre faible de pages

On considère 4 pages notées $A,\, B, \, C$ et $D$ .

Les flèches indiquent les hyperliens menant d’une page à une autre.

On choisit une page au hasard , pour chaque page sur laquelle on arrive, on choisit une page au hasard etc …

Question 1 :

Écrire une fonction Python nommée choix et de paramètre PagePrec qui choisit la page suivante au hasard sur les pages disponibles.
En chargeant le module random l’appel à
$\qquad$ random.choice(L)
choisit au hasard un des éléments de la liste $L$ .

Question 2 :

Écrire une deuxième fonction Python de paramètres $k$ et $n$ qui, partant de la page $k$ effectue $n$ clics et renvoie le numéro de la page d’arrivée.

Question 3 :

Écrire une fonction Python TestPages , de paramètre le nombre de clics, qui choisit au hasard la première page et qui renvoie la liste du nombre de visites pour chaque page.
random.randint(a , b) donne un entier choisi au hasard entre l’entier $a$ et l’entier $b$ .

Question 4 :

Définir une fonction Maximum de paramètre une liste $L$ et qui renvoie la liste [indice,valeur], où valeur est la valeur maximale de la liste $L$ et indice , le premier indice pour lequel on rencontre ce maximum.
La vérifier avec $L = [4,3,2,1,7,6,7,3]$

Question 5 :

Écrire une fonction qui permette de tester la meilleure page pour un nombre de clics élevé :
Pour les 4 pages initiales possibles, on effectue nbClics et déterminer la page la plus visitée et le nombre de visites.
On pourra la tester pour 1000 clics.

Correction exercice 1 du sujet de bac sur la chaîne de Markov

Question 1 :

L’énoncé donne :
L’assurance payée annuellement l’est encore l’année suivante avec la probabilité $0,3$ et payée mensuellement avec la probabilité $0,7$ .
L’assurance payée mensuellement l’est encore l’année suivante avec la probabilité $0,85$ et payée annuellement avec la probabilité $0,15$ .
ce qui donne le graphe probabiliste pour les deux états $A$ et $B$ :

Question 2 :

Si $A_n$ (resp. $B_n$ ) est l’événement le client paye en une seule fois (resp. mensuellement) pour l’année $2014 + n$ )
l’énoncé donne pour tout entier $n$ ,

$\mathbb{P}(A_{n + 1} \mid A_n) = 0,3$ , $\mathbb{P}(B_{n + 1} \mid A_n) = 0,7$
$\mathbb{P}(A_{n + 1} \mid B_n) = 0,15$
et $\mathbb{P}(B_{n + 1} \mid B_n) = 0,85$

$\boxed{M = \begin{pmatrix} 0,3&0,7\\0,15&0,85\end{pmatrix}}$ .

Question 3 :

On rappelle la démonstration :
Par la formule des probabilités totales,
$\mathbb{P}(A_{n + 1} )= \mathbb{P}(A_{n + 1} \mid A_n) \, \mathbb{P}(A_{n} )$ $\qquad \qquad +\, \mathbb{P}(A_{n + 1} \mid B_n) \, \mathbb{P}(B_{n} )$
soit $a_{n + 1} = 0,3 \, a_n + 0,15 \, b_n$
et $\mathbb{P}(B_{n + 1} )= \mathbb{P}(B_{n + 1} \mid A_n) \, \mathbb{P}(A_{n} )$ $\qquad \qquad \quad + \, \mathbb{P}(B_{n + 1} \mid B_n)\, \mathbb{P}(B_{n} )$
soit $b_{n + 1} = 0,7 \, a_n + 0,85 \, b_n$

ce qui se traduit par $p_{n + 1} = p_n \, M$ .
donc $p_4 = p_0 \, M ^4$ avec $p_0 = (0,6\quad 0,4)$ et $M^4 = \begin{pmatrix} 0,3943375&0,6056625\\0,30283125&0,69716875\end{pmatrix}$

et en arrondissant les résultats au millième, $\boxed{p_4 \approx ( 0,358 \quad 0,642) }$ .

La probabilité qu’un client paie en une fois durant l’année 2018 est égale à $\boxed{0,358}$ .

Question 4 :

On détermine $a$ et $b$ tels que $(a \quad b) = (a \quad b)\, M = (a \quad b) \begin{pmatrix} 0,3&0,7\\0,15&0,85\end{pmatrix}$
soit $(a \quad b) = (0,7\ a + 0,15 b \quad 0,3 \, a + 0,85 \, b )$
ssi $\left \{\begin{matrix} a &=&0,7\ a + 0,15 b\\b&=& 0,3 \, a + 0,85 \, b \end{matrix}\right.$
ssi $\left \{\begin{matrix} 0,3\, a &=& 0,15 \,b\\0 , 15\, b&=& 0,3 \, a \end{matrix}\right.$
ssi $30\, a = 15\, b$ ssi $b = 2 \, a$
Comme on veut que $a + b = 1$ , on doit avoir $a + 2 \, a = 1$ ssi $a = \dfrac 1 3$

La distribution invariante est donnée par $\qquad \qquad \qquad \boxed{\left (\dfrac {1} {3} \quad \dfrac {2} {3} \right )}$ .

On peut donc estimer que pour $n$ grand, la probabilité de payer annuellement sera proche de $\dfrac 1 {3}$ et celle de payer mensuellement sera proche de $\dfrac {2} {3}$ .

Correction exercice 2 de la chaîne de Markov

Question 1 :

L’énoncé donne
S’il est dans $A$ (resp. $C$ ), il y reste avec la probabilité $1/3$ et il passe dans $B$ avec la probabilité $B$ .
S’il est dans $B$ , il y reste avec la probabilité $1/2$ et il passe dans $A$ (resp. $C$ ) avec la probabilité $1/4$
Ce qui donne le graphe de probabilité à trois états $A$ , $B$ et $C$ :

Question 2 :

On traduit les données de l’énoncé par :
$\mathbb{P}(B_{n + 1} \, \mid \, A_n ) = \mathbb{P}(B_{n + 1} \, \mid \, C_n ) =\dfrac 2 3$
$\mathbb{P}(A_{n + 1} \, \mid \, A_n ) = \mathbb{P}(C_{n + 1} \, \mid \, C_n ) = \dfrac 1 3$
alors $\mathbb{P}(C_{n + 1} \, \mid \, A_n ) = \mathbb{P}(A_{n + 1} \, \mid \, C_n ) = 0$
$\mathbb{P}(A_{n + 1} \, \mid \, B_n ) = \mathbb{P}(C_{n + 1} \, \mid \, B_n ) =\dfrac 1 4$
$\mathbb{P}(B_{n + 1} \, \mid \, B_n ) = \dfrac 1 2$

$M = \begin{pmatrix} 1/3&2/3&0\\1/4&1/2&1/4\\0&2/3&1/3\end{pmatrix}$

Question 3 :

On fixe $n \in \mathbb{N}$ .
La famille $(A_n\, ,\, B_n\, ,\,C_n)$ est un système complet d’événements.
Par la formule des probabilités totales,

$\mathbb{P}(A_{n + 1} )= \mathbb{P}(A_{n + 1} \mid A_n) \, \mathbb{P}(A_{n} )$ $\qquad \qquad + \, \mathbb{P}(A_{n + 1} \mid B_n) \mathbb{P}(B_{n} )$ $\qquad \qquad + \, \mathbb{P}(A_{n + 1} \mid C_n) \, \mathbb{P}(C_{n} )$
soit $a_{n + 1} = \dfrac 1 3 \, a_n + \dfrac 1 4 \, b_n$
de même $c_{n + 1} = \dfrac 1 4 \, b_n + \dfrac 1 3 \, c_n\,$ .

$\mathbb{P}(B_{n + 1} )= \mathbb{P}(B_{n + 1} \mid A_n) \, \mathbb{P}(A_{n} )$ $\qquad \qquad + \,\mathbb{P}(B_{n + 1} \mid B_n) \mathbb{P}(B_{n} )$ $\qquad \qquad +\, \mathbb{P}(B_{n + 1} \mid C_n) \mathbb{P}(C_{n} )$
donc $b_{n + 1} = \dfrac 2 3 \, a_n+\dfrac 1 2\, b_n + \dfrac 2 3 \, c_n$

soit pour tout $n\in \mathbb{N}$ , $\boxed{R_{n + 1} = R_n \, M}$ .

Question 4 :

On cherche $\pi = (x \quad y \quad x)$ tel que $\qquad \qquad \qquad \pi= \pi \, M$
$x, \,y$ et $z$ étant positifs ou nuls et de somme égale à 1.
Comme tous les éléments de $M$ sont strictement positifs, on sait que $\pi$ existe et est unique.

$M = \begin{pmatrix} 1/3&2/3&0\\1/4&1/2&1/4\\0&2/3&1/3\end{pmatrix}$

$\pi= \pi \, M$ ssi $\pi = \left (\dfrac {x} 3 + \dfrac y 4 \quad \dfrac {2x} 3 + \dfrac y 2 + \dfrac {2z} 3 \quad \dfrac y 4 + \dfrac 7 3 \right )$

ssi $\left \{ \begin{matrix} x &=& x/3 + y/4 \\ y& =& 2x/3+y/2+2z/3\\z &=& y/4+z/3\end{matrix} \right.$

ssi $\left \{ \begin{matrix} 2/3 x &=& y/4 \\ y/2 &=& 2x/3+2z/3\\ 2z/3 &=& y / 4 \end{matrix} \right.$

ssi $\left \{ \begin{matrix} x& =& 3 y/8 \\ y& =& 4x/3+4z/3\\ x &=& 3 y / 8 \\z &=& 3\, y / 8\end{matrix} \right.$

ssi $x = \dfrac {3\, y} 8 = z$ car alors $\dfrac {4 x} 3 + \dfrac {4 z } 3 = \dfrac {y} 2 + \dfrac {y} 2 = 1$

On a obtenu $\left ( \dfrac {3\, y} 8 \quad y \quad \dfrac {3\, y} 8 \right )$ .
La somme des éléments est égale à $\dfrac {3\, y} 4 + y = \dfrac {7\, y} 4 = 1$ ssi $y = \dfrac 4 7$

donc $\boxed{\pi = \left (\dfrac 3 {14} \quad \dfrac 4 7 \quad \dfrac 3 {14}\right )}$ .

Question 5 :

a) $u_{n + 1} = a_{n + 1} -c_{n + 1}$
$\quad = \left ( \dfrac 1 3 \, a_n + \dfrac 1 4 \, b_n \right ) - \left ( \dfrac 1 3 \, c_n + \dfrac 1 4 \, b_n \right )$
donc $u_{n + 1} = \dfrac 1 3 \, \left (a_n - c_n) \right ) = \dfrac 1 3 \, u_n\,$ .
$(u_n)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac 1 3$ .

b) Par propriété des suites géométriques, pour tout $n \in \mathbb{N}$ ,
$u_n = \left ( \dfrac 1 3 \right ) ^n \, u_0 = \dfrac 1 {3^n} (a_0 - c_0)$ .
sachant que $a_0 = 1$ et $b_0 = c_0 = 0$ , alors $u_n = \dfrac 1 {3^n}$ soit $a_n - c_n \dfrac 1 {3^n}\,$ .

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Correction exercice 3 de terminale sur la chaîne de Markov

Question 1 :

On numérote les pages de $0$ à $3$ .
Si l’on est sur la page $0$ , on choisit une page parmi $\{1,2,3\}$ .
Si l’on est sur la page $2$ , on choisit une page parmi $\{ 0 , 3\}$ .
Si l’on est sur la page $1$ (resp 3), on passe sur la page 0 (resp. 1).

def choix(PagePrec):
$\qquad \vert$ if PagePrec == 0:
$\qquad \quad \vert$ R = random.choice ([1, 2, 3])
$\qquad \vert$ elif PagePrec == 1:
$\qquad \quad \vert$ R = 0
$\qquad \vert$ elif PagePrec == 2:
$\qquad \qquad \vert$ R = random.choice([0, 3])
$\qquad \vert$ else :
$\qquad \qquad \vert$ R = 1
$\qquad \vert$ return R

Question 2 :

def Partant(k,n):
$\qquad \vert$ page = k
$\qquad \vert$ for i in range(n):
$\qquad \qquad \vert$ page = choix(page)
$\qquad \vert$ return page

Question 3 :

On définit une liste $L$ formée de $4$ zéros.
Quand on arrive sur une page, il suffit d’augmenter L[page ] d’une unité pour marquer qu’elle a été visitée une fois de plus.

def TestPages (nbClics):
$\quad \vert$ L = [0 for k in range(4)] $\quad \vert$ Page = random.randint(0,3)
$\quad \vert$ L[Page] = 1
$\quad \vert$ for essai in range(nbClics):
$\quad \quad \vert$ Page = choix(Page)
$\quad \quad \vert$ L[Page]= L[Page]+ 1
$\quad \vert$ return (L)

$>>>$ TestPages(1000)
[377, 303, 136, 185]

Question 4 :

def Maximum(L):
$\qquad \vert$ n = len(L)
$\qquad \vert$ maxi = L[0] $\qquad \vert$ indice = 0
$\qquad \vert$ for i in range(1, n):
$\qquad \qquad \vert$ if L[i]> maxi :
$\qquad \qquad \vert$ indice = i
$\qquad \qquad \vert$ maxi = L[i] $\qquad \vert$ return [indice,maxi]

explication : on détermine le nombre d’éléments de la liste.
On initialise maxi par L[0] et indice par 0.
Puis on décrit la liste, en modifiant les variables maxi et indice lorsque l’on obtient une valeur $L[i]$ strictement supérieure au maxi provisoire.

$>>>$ Maximum([4,3,2,1,7,6,7,3])
[4, 7]

Question 5 :

def TestMeilleurePage (nbClics):
$\qquad \vert$ L = [0 for k in range(4)] $\qquad \vert$ for k in range (4):
$\qquad \qquad \vert$ Lk = [0 for i in range(4)] $\qquad \qquad \vert$ Page = k
$\qquad \qquad \vert$ Lk[k] = 1
$\qquad \vert$ for essai in range(nbClics):
$\qquad \qquad \quad \vert$ Page = choix(Page)
$\qquad \qquad \quad \vert$ Lk[Page]= Lk[Page] + 1
$\qquad \qquad \vert$ L[k] = Maximum(Lk)
$\qquad \vert$ return (L)

$>>>$ TestMeilleurePage(1000)
[[0, 378], [0, 378], [0, 373], [0, 368]]

La page la plus visitée est la page $0$ donc nommée $A$ , indépendamment de la page de départ.

Pour vous préparer à l’examen du bac, retrouvez des définitions, des exemples, conseils et méthodes sur les autres chapitres du programme de l’option maths expertes.

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