Chapitres Maths en Terminale Générale

Complexes en Terminale générale : exercices corrigés

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Ces exercices en ligne aide à saisir les bases des complexes au programme de Maths de Terminale. En plus de cela, travailler sur des annales de bac de Maths peut vous aider à vous mettre en conditions réelles. Si malgré cela vous souffrez encore de grosses difficultés, des cours particuliers de maths sauront vous remettre rapidement à niveau.

Résolutions d’équations sur les nombres complexes en Terminale

Première équation :

Résoudre dans $\mathbb{C}$ : $z^6 - 8\, z ^3 + 1 = 0$ .

Deuxième équation

Trouver $z \in \mathbb{C}$ tel que $z ^2 = 80 + 18\,\textrm{i}$ .

Troisième équation

Résoudre dans $\mathbb{C}$ l’équation
$\qquad z^6 + (7 - \textrm{i})\, z ^3- 8 - 8\, \textrm{i} = 0$ .

Extrait d’annales de bac sur les complexes : Antilles 2003

Le plan est rapporté au repère orthonormal $\left (O, \, \overrightarrow{u} , \, \overrightarrow {v} \right )$
(unité graphique : 2 cm).
On considère les points $A$ et $B$ d’affixes respectives $A(3+2\, \textrm{i} )$ et $B(-1+4\, \textrm{i})$ .
Extérieurement au triangle $OAB$ , on construit les deux carrés $OA_1A_2A$ et $OBB_1B_2\,$ .

Pour tous ces points, on notera l’affixe par la minuscule correspondante.

Question 1

a. Déterminer $\left ( \overrightarrow{AO} \, , \, \overrightarrow{AA_2} \right )$ et en utilisant $\displaystyle \frac {a_2 - a} { - a}$ , déterminer
l’affixe $a_2$ de $A_2\,$ . En déduire l’affixe $z _ I$ du centre $I$ du carré $OA_1A_2A$ .

b. En raisonnant de même déterminer l’affixe $b_1$ de $B_1$ . En déduire l’affixe $z_J$ du centre $J$ du carré $OBB_1B_2\,$ .

Question 2

Calculer l’affixe $z_K$ du milieu $K$ du segment $[AB]$ . À l’aide des affixes des différents points, calculer les valeurs des longueurs $KI$ et $KJ$ , ainsi qu’une mesure de l’angle $\left (\overrightarrow{KI }\, , \,\overrightarrow{KJ} \right )$ .
Que peut-on en déduire?

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Les suites de Mandelbrot en Terminale

On appelle suite de Mandelbrot toute suite complexe $(z_n)_n$ définie par $z_0 =$ 0 et pour tout $n \in \mathbb{N}, \, z_{n + 1} = z_n ^2 + c$ où $c \in \mathbb{C}$ .

On démontre qu’il n’y a que deux cas :

$\ast$ la suite $(\vert z_n \vert )_n$ est bornée.

$\ast$ la suite $(\vert z_n \vert )_n$ n’est pas bornée, ce qui est équivalent à $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \vert z_n \vert = + \infty$ .

On appelle ensemble de Mandelbrot l’ensemble des complexes $c$ tels que la suite de Mandelbrot associée soit bornée.

La représentation dans le plan complexe des points de $\mathcal{M}$ est donnée par l’image illustrant ce chapitre.
C’est un ensemble fractal très célèbre.

Question 1

$0$ , $-1$ , $-\textrm{i}$ sont des points de $\mathcal{M}$ , $2 \notin \mathcal{M}$ .

Vrai ou Faux ?

Question 2

La représentation dans le plan complexe de $\mathcal{M}$ est symétrique par rapport à l’axe des réels.

Vrai ou Faux ?

Question 3

Si $z$ et $z'$ sont complexes, $\qquad \quad \vert z + z'\vert \geqslant \vert z\vert - \vert z' \vert$ .

Vrai ou Faux ?

Correction des équations sur les nombres complexes en Terminale

Correction de la Première équation

L’équation $t ^2 - 9 \, t + 8 = 0$ admet $1$ pour racine évidente, le produit des racines est $8$ donc l’autre racine est $8$ .

Il reste à résoudre $z ^3 = 1$ puis $z^3 = 8$ .

$\ast$ $z ^3 = 1$ ssi $z$ est racine cubique de $1$ ssi $z\in \{1, \, \textrm{j} \,,\, \textrm{j} ^2\}$ .

$\ast$ $z ^3 = 8$ ssi $\left ( \dfrac z 2 \right )^3 = 1$ ssi $\dfrac z 2$ est racine cubique de $1$ ssi $\dfrac z 2 \in \{1, \, \textrm{j} \,,\, \textrm{j} ^2\}$

L’ensemble des solutions est :

$\qquad \{1, \, \textrm{j} \,,\, \textrm{j} ^2\,,\, 2\, ,\, 2\, \textrm{j} \,,\, 2 \, \textrm{j} ^2 \}$

donc $\left \{ 1 \,,\, \dfrac { - 1 + \textrm{i} \, \sqrt{3} } 2 \,,\, \dfrac { - 1 - \textrm{i} \, \sqrt{3} } 2 \,, \right.$ $\qquad \quad \qquad \left. \, - 1 + \textrm{i} \, \sqrt{3}\,,\, - 1 - \textrm{i} \, \sqrt{3} \right \}$ .

Correction de la Deuxième équation

$\vert 80 + 18\, \textrm{i} \vert ^2 = 80^2 + 18 ^2 =6724 = 82^2$ .

On cherche $z$ vérifiant $z ^2 = 80 + 18\, \textrm{i}$ sous la forme $z = x + \textrm {i} \, y$ avec $(x , \,y) \in \mathbb{R }^2$ solution du système :

$\left \{ \begin{matrix} x^2 - y^2 &=&80 \\ 2 \, x \, y &=&18\\ x^2 + y ^2 &=& \sqrt{80^2 + 18 ^2} = 82 \end{matrix} \right.$

ssi $\left \{ \begin{matrix} 2\, x^2 &=&162 \\ x \, y &=&9\\ 2\, y ^2 &=& 2 \end{matrix} \right.$

ssi $x^2 = 9^2$ , $y ^2 = 1$ et $x \, y > 0$ .

alors $9+ \, \textrm{i}$ vérifie $( 9 + \textrm{i})^2 = 80 + 18\,\textrm{i}$ .

Correction de la Troisième équation

$\bullet$ On pose $Z = z^3$ et on résout l’équation du second degré $\qquad Z ^ 2 + (7 - \textrm{i}) \,Z- 8 - 8\, \textrm{i} = 0$
dont le discriminant est :

$\Delta = (7 - \textrm{i} ) ^2 + 32 + 32\, \textrm{i}$

$\Delta = 49 - 14\, \textrm{i} - 1 + 32 + 32\, \textrm{i}$

$\Delta = 80 + 18\,\textrm{i} = (9+\textrm{i}) ^2$ .

Les racines de cette équation du second degré sont $Z_1 = \dfrac {- 7 + \textrm{i} + 9 + \textrm{i}} {2} = 1 + \textrm{i}$ et $Z_2 = \dfrac {-7 + \textrm{i} - 9 - \textrm{i}} {2} = - 8$ .

$\bullet$ On résout $z^3 =( - 2)^3$ ssi $\left ( - \dfrac z 2 \right ) ^3 = 1$ ssi $\dfrac{-z} 2 \in \{1, \, \textrm{j} \,,\, \textrm{j} ^2\}$

avec $j = \dfrac {- 1+ \textrm{i}\, \sqrt{3}} 2$ et $\textrm{j} ^2 = \overline {\textrm{j} }$ .

$\bullet$ On résout $z ^3 = 1 + \textrm{i}$

$u =1 + \textrm{i} = \sqrt{2} \left ( \dfrac {1} { \sqrt{2}}+ \textrm{i} \dfrac {1} {\sqrt{2}} \right )$

$u = \sqrt{2}\; \textrm{e} ^{ \textrm{i} \, \pi / 4 } = \sqrt{2}\; \textrm{e} ^{ 9\, \textrm{i} \, \pi / 4 }$

$u = a^3$ avec $a = 2 ^{1/6} \; \textrm{e} ^{ 3\, \textrm{i} \, \pi / 4 }$ .

On doit donc résoudre $\left ( \dfrac z a \right ) ^3 = 1$

ssi $\dfrac z a \in \{1, \, \textrm{j} \,,\, \textrm{j} ^2\}$

ssi $z \in \{a, \, \textrm{j} \, a \,,\, \textrm{j} ^2\, a \}$ .

On rappelle que

$a = 2 ^{1/6} \; \textrm{e} ^{ 3\, \textrm{i} \, \pi / 4 } = 2 ^{1/6} \, \dfrac {-1 + \textrm{i}}{\sqrt {2} }$

$a = \dfrac {-1 + \textrm{i}} {2 ^{1/3} }$ .

Les 6 racines de l’équation sont

$- 2, \, - 2\, \textrm{e} ^{ 2\; \textrm{i} \, \pi / 3}\,,\, - 2\; \textrm{e} ^{ 4\, \textrm{i} \, \pi / 3}$

$2 ^{1/6}\, \textrm{e} ^{3\, \textrm{i} \, \pi / 4 }, \, 2 ^{1/6} \, \textrm{e} ^{11\, \textrm{i} \, \pi / 12 }$ $\qquad \qquad \qquad \,,\, 2 ^{1/6} \, \textrm{e} ^{ 19\, \textrm{i} \, \pi / 12}$

soit aussi

$- 2 , 1 - \textrm{i} \, \sqrt{3} \,,\, 1 + \textrm{i} \;\sqrt{3}$

et $\dfrac { - 1 + \textrm{i} } {2 ^{1/3 } }$ , $\dfrac {(1 - \sqrt{3}) - \textrm{i} (1 + \sqrt{3} ) } {2^{4/3}}$ et $\dfrac { (1 + \sqrt{3} ) + \textrm{i} \, (\sqrt{3} - 1 ) } {2 ^{4/3} }$ .

Correction de l’extrait d’annales de bac sur les complexes

Correction de la question 1

a. $\left ( \overrightarrow{AO} \, , \, \overrightarrow{AA_2} \right ) = \displaystyle \frac {\pi} 2 \;\; (2 \, \pi)$

ce qui se traduit par

$\left ( \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{AA_2} \right ) - \left ( \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{AO} \right ) = \dfrac {\pi} 2 \;\; (2 \, \pi)$

Soit $\arg ( a_2 - a) - \arg (-a) = \displaystyle \frac {\pi} 2 \;\; (2 \, \pi)$ .

Si l’on note $Z = \displaystyle \frac {a_2 - a} { - a}$ , on a démontré que $\displaystyle \arg(Z) = \displaystyle \frac {\pi} 2 \;\; (2 \, \pi)$ .

Puis $\left \vert Z \right \vert = \displaystyle \frac {\vert a_2 - a \vert } {\vert - a \vert }$ soit $\displaystyle \vert Z \vert = \frac {A A_2} {AO} = 1$ .

$Z$ est un complexe de module 1 et d’argument $\dfrac {\pi} 2$ , donc $Z = \textrm{i}$

ce qui donne $a_2 - a= \textrm{i} (-a)$

$\qquad \qquad \boxed{a _2 = a\, (1 - \textrm{i})}$ .

$I$ est le milieu du segment $[O\, A_2]$ , donc $\boxed{z_I = \displaystyle \frac {a_2} 2 = \frac {a\, (1 - \textrm{i})} 2 }.$

b. $\left ( \overrightarrow{OB} \, , \, \overrightarrow{OB_2} \right ) = \dfrac {\pi} 2 \;\; (2 \, \pi)$

ce qui se traduit par

$\left ( \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{OB_2} \right ) - \left ( \overrightarrow{u} \, , \, \overrightarrow{OB} \right ) = \dfrac {\pi} 2 \;\; (2 \, \pi)$ .

Soit $\arg ( b_2 ) - \arg (b) = \displaystyle \frac {\pi} 2 \;\; (2 \, \pi)$ .

Si l’on note $Z' = \displaystyle \frac {b_2 } {b}$ , on a démontré que $\displaystyle \arg(Z') = \frac {\pi} 2 \;\; (2 \, \pi)$ .

Puis $\left \vert Z' \right \vert = \displaystyle \frac {\vert b_2 \vert } {\vert b \vert }$ , $\displaystyle \vert Z' \vert = \frac {O B_2} {OB} = 1$ .

$Z'$ est un complexe de module 1 et d’argument $\dfrac {\pi} 2$ , donc $Z' = \textrm{i}$ ,

ce qui donne $\boxed{b_2 = \textrm{i} \, b}$ .

$J$ est le milieu du segment $[B\, B_2]$ , donc $\boxed{z_J = \displaystyle \frac {b_2 + b } 2 = \frac { (1 + \textrm{i}) \, b } 2 }$ .

Correction de la question 2

$z_K = \displaystyle \frac {a + b} 2$ .

On détermine les affixes $Z$ et $Z'$ de $\overrightarrow {K I}$ et $\overrightarrow {K J}$ :

$Z = z_I - z_K = \displaystyle \frac 1 2 \, \left ( a(1 - \textrm{i}) - a - b \right )$

$Z = - \displaystyle \frac { \textrm {i} \, a + b } 2$ .

$Z' = z_J - z_K =\dfrac { (1 + \textrm{i}) \, b } 2 - \dfrac { a + b } 2$

$Z' = \dfrac {\textrm{i} \, b - a} 2 = \dfrac {\textrm{i} \, \left( b + \textrm{i} \, a\right ) } 2$

donc $Z' = - \textrm{i} \, Z$ .

Ce qui donne $\vert Z' \vert = \vert - \textrm{i} \vert \times \vert Z\vert$

soit $\boxed{K J = K I}$ .

et $\arg (Z') = - \displaystyle \frac {\pi} 2 + \arg(Z) \; \; (2 \, \pi)$

soit $\left ( \overrightarrow {u}\,,\, \overrightarrow {K J} \right ) = \displaystyle - \frac {\pi} 2 + \left ( \overrightarrow {u}\, ,\, \overrightarrow {K I} \right )\;\;(2\, \pi)$

soit aussi $\displaystyle \left ( \overrightarrow {KI}\, , \, \overrightarrow {K J} \right ) = \displaystyle - \frac {\pi} 2\;\; (2\,\pi)$ .

Donc $\boxed{(K I) \perp (KJ)}$ .

Le triangle $J K I$ est rectangle isocèle en $K$ .

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Correction des suites de Mandelbot

Correction de la question 1

Vrai :

$\bullet$ Si $c =$ 0 , la suite $(z_n)_n$ est une suite constante égale à 0.

donc $\boxed{0 \in\mathcal{M}}$ .

$\bullet$ Si $c = - 1$ ,

pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $z_{n + 1} = z_n^2 - 1$ .

$z_1 = - 1$ , $z_2 = (-1)^2 - 1 = 0$

alors $z_{2n} = 0$ et $z_{2 n + 1} = - 1$ .

La suite $(\vert z_n \vert )_n$ est bornée. $\boxed{- 1\in\mathcal{M}}.$

$\bullet$ Si $c = - \textrm{i}$ ,

pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $z_{n + 1} = z_n^2 - \textrm{i}$ .

$z_1 = - \textrm{i}$ , $z_2 = (-\textrm{i})^2 - \textrm{i} = - 1 - \textrm{i}$

$z_2 = (-1 - \textrm{i})^2 - \textrm{i} = 2\, \textrm{i} - \textrm{i} = \textrm{i}$

$z_4 = (\textrm{i})^2 - \textrm{i} = - 1 - \textrm{i} = z_2$

d’où si $n \in \mathbb{N}^*$ , $z_{2n } = z_{2}$ et $z_{2n + 1} = z_3\,$ .

La suite $(\vert z_n \vert )_n$ est bornée. $\boxed{ - \textrm{i} \in \mathcal {M}}.$

$\bullet$ Si $c = 2$ ,

pour tout $n \in \mathbb{N}$ , $z_{n + 1} = z_n^2 + 2$ .

On note si $n \in \mathbb{N}^*,\, \mathcal{P}(n) \,:\, z_n \geqslant 2 ^n$ .

Initialisation

$z_1 = 2 \geqslant 2 ^1$ donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité

On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie.

Alors $z_{n + 1} = z_n^2 + 2$ est un réel tel que

$z_{n + 1} \geqslant 2 ^{n + 1} + 2 \geqslant 2 ^{n + 1}$

donc $\mathcal{P}(n + 1)$ est vraie.

Conclusion
La propriété est vraie par récurrence.

Alors la suite $(\vert z_n \vert )_n$ n’est pas bornée, donc $\boxed{2 \notin \mathcal{M}}$ .

Correction de la question 2

Vrai :

Soit $c \in \mathbb{C}$ , on note $(z_n)_n$ la suite de Mandelbrot définie par le complexe $c$ et $(z'_n)_n$ celle définie à partir du complexe $\overline {c}$ .

Si $n \in \mathbb{N}^*$ , on note $\mathcal{P}(n) \,:\, z'_n = \overline {z_n}\,$ .

Initialisation
$z'_1 = \overline{c} = \overline {z_1}$ donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité

On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie.

Alors $z'_{n + 1} = {z'_n} ^2 + \overline{c} = \overline{z_n} ^2 + \overline{c}$

$z'_{n + 1} = \overline {z_n ^2 + c} = \overline{z_{n + 1}}$ .

Donc $\mathcal{P}(n + 1)$ est vraie.

Conclusion

La propriété est vraie par récurrence.

Alors pour tout $n \in \mathbb{N},\, \vert z_n \vert = \vert z'_n \vert$ .

La suite $(\vert z_n \vert )_n$ est bornée ssi $(\vert z'_n \vert )_n$ est bornée.

Donc $c \in \mathcal{M}$ ssi $\overline{c}\in \mathcal{M}$ .

La représentation de $\mathcal{M}$ est symétrique par rapport à l’axe des réels.

Correction de la question 3

Vrai

$\vert z \vert = \vert (z + z') - z' \vert$

donne par inégalité triangulaire :

$\vert z \vert \leqslant \vert z + z' \vert + \vert - z' \vert$

soit $\vert z \vert \leqslant \vert z + z' \vert + \vert z' \vert$

donc $\vert z \vert - \vert z' \vert \leqslant \vert z + z' \vert$ .

La spécialité maths a un coefficient au Bac très élevé, comme vous pouvez le voir sur notre simulateur du bac. Il est donc essentiel de la travailler au maximum, de même que votre deuxième spécialité. C’est indispensable si vous voulez être entièrement satisfait au moment des résultats du Bac. Tous les chapitres suivants devront être parfaitement assimilés pour réussir l’épreuve maths lors du bac :

Complexes en Terminale générale : exercices corrigés

Résolutions d’équations sur les nombres complexes en Terminale

Première équation :

Deuxième équation

Troisième équation

Extrait d’annales de bac sur les complexes : Antilles 2003

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Les suites de Mandelbrot en Terminale

Correction des équations sur les nombres complexes en Terminale

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