Chapitres Maths en Terminale Générale

Exercices sur le Dénombrement en Terminale Générale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Il est important de bien connaître le chapitre sur le dénombrement en Terminale. Il constitue une partie importante du programme de Maths de Terminale, indispensable si l’on veut plus tard intégrer les meilleures prépa MP. Si vous rencontrez des difficultés , des cours particuliers de Maths avec un professeur particulier sauront vous aider à surmonter les lacunes et à atteindre un haut niveau de connaissances.

Exercice sur le dénombrement et les tirages en Terminale Générale

Une urne contient cinq boules noires numérotées de 1 à 5, quatre boules rouges numérotées de 1 à 4 et deux boules blanches numérotées 1 et 2.

On tire successivement et sans remise trois boules dans l’urne.

Question 1

Quel est le nombre de tirages possibles ?

Question 2

Quel est le nombre de tirages comportant trois boules rouges ?

Question 3

Quel est le nombre de tirages comportant au moins une boule noire ?

Question 4

Quel est le nombre de tirages comportant trois boules de trois couleurs différentes ?

Question 5

Quel est le nombre de tirages comportant des boules de 2 couleurs ?

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Exercice sur les Codes et le Dénombrement en Terminale

Dans la suite, $n \in \mathbb{N}$ et $n \geqslant 3$ .

Question 1

Quel est le nombre d’entiers de $n$ chiffres contenant un seul 0 et un seul $1$ ?

a) $n\, (n - 1) \, 8 ^{n - 2}$

b) $(n - 1) ^2 \, 8 ^{n - 2}$

Question 2

Quel est le nombre d’entiers de $n$ chiffres formés par 2 entiers non nuls ?
Préciser cette valeur pour $n = 5$

Question 3

Quel est le nombre d’entiers de $n$ chiffres formés par 2 entiers dont l’un est nul ?
Préciser la valeur pour $n = 5$

Exercice sur le Binôme de Newton en Terminale

Question 1

Démontrer la formule du binôme de Newton :
Si $a$ et $b$ sont des réels et $n \in \mathbb{N}^*$
$\qquad (a+ b) ^n = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k\, a ^k \, b ^{n - k}$ .

Question 2

Utiliser le binôme de Newton pour démontrer que si $\textrm{Card}(E) = n$ , $\textrm{Card}(\mathcal{P}(E) ) = 2 ^n$ .

Question 3

Soit $E$ un ensemble de $n$ éléments. Le nombre de parties de $E$ ayant un nombre pair d’éléments est égal à $2 ^{n - 1}$ .

Vrai ou faux ?

Corrigé de l’exercice sur les tirages

Correction question 1

On effectue 3 tirages successifs et sans remise dans un ensemble de 11 boules.
On détermine donc le nombre de 3 listes sans répétition des 11 boules.
Il y en a $11\times 10 \times 9 = \boxed{990}$ .

Correction question 2

On cherche le nombre de 3 listes sans répétition des 4 boules rouges.
il y en a $4\times 3 \times 2 = \boxed{24}$ .

Correction question 3

On note $N$ : « on a obtenu au moins une boule noire ».
$\overline {N}$ est l’ensemble des tirages ne donnant pas de boule noire, c’est donc le nombre de 3-listes sans répétition de $11 - 5 = 6$ boules non noires.
$\textrm{Card } (\overline {N}) = 6\times 5 \times 4 = 120$
donc $\textrm{Card} (N) = 990 - \textrm{Card } (\overline {N}) = 990 - 120$ $\textrm{Card } (N) =\boxed{ 870}$ .

Correction question 4

$\ast$ On choisit l’ordre des couleurs : il y faut faire une permutation des 3 couleurs, il y a donc $3! = 6$ permutations des couleurs

$\ast$ L’ordre de sortie des couleurs étant déterminé, il y a $5$ façons de choisir une boule noire, $4$ façons de choisir une rouge et $2$ d’obtenir une blanche.
Donc il y a $5 \times 4 \times 2 = 40$ tirages tricolores pour un ordre de couleurs donné.

Il y a $6 \times 40 = \boxed{240}$ tirages tricolores.

Correction question 5

$\ast$ On détermine le nombre de tirages unicolores :
On a vu que le nombre de tirages rouges est égal à 24.
De même, le nombre de tirages noirs est égal à $5 \times 4 \times 3 = 60$
Il est impossible d’avoir un tirage de 3 boules blanches.
Le nombre de tirages unicolores est $u = 24 + 60$ .

$\ast$ Le nombre total de tirages est $N = 990$ . (question 1)

$\ast$ Le nombre de tirages tricolores $t$ est $t = 240$ . (question 3)

$\ast$ Donc le nombre $b$ de tirages bicolores est $b = N - t - u = 990 - 240 - 84 =\boxed{ 666}$ .

Corrigé de l’exercice sur les Codes et le Dénombrement

Correction question 1

Réponse b) $(n - 1) ^2 \, 8 ^{n - 2}$

$\ast$ Le premier chiffre de ce nombre ne doit pas être un 0. Il y a donc $n - 1$ positions possibles pour le 0.
$\ast$ On place le $1$ dans l’une des $n - 1$ positions libres.
$\ast$ Pour remplir les $n - 2$ emplacements libres, il reste à définir une $n - 2$ – liste des 8 chiffres de $[[2 ,\, 9]]$ , il y a $8 ^{n - 2}$ façons de terminer la définition de l’entier.

Il y a donc $\boxed{(n - 1) ^2 \, 8 ^{n - 2} }$ entiers répondant à la question.

Correction question 2

On choisit les deux entiers de $[[1 ,\, 9]]$ , il y a $\displaystyle \binom 9 2 = \dfrac {9 \times 8} 2 = 36$ choix possibles.
On note $a$ et $b$ ces deux chiffres.

Former un entier de $n$ chiffres ne contenant que ces deux entiers revient à prendre un élément de $\{a,\, b\}^n$ différent des $n$ -uplets $(a,a,\,\cdots , a)$ et $(b , b,\cdots, b)$ .
Il y a donc $2 ^n - 2$ entiers formés de $a$ et $b$ avec au moins un $a$ et au moins un $b$ .

Donc $\boxed{36 \times (2 ^n - 2)}$ entiers répondent à la question.

Pour $n = 5$ : $36\, (32 - 2) = 1080$ .

Correction question 3

On choisit l’entier $a$ non nul qui apparait dans ces entiers (9 choix).
On le place en position $1$ .

Pour terminer la définition de l’entier, on introduit un élément de $\{0,\, a\}^{n - 1}$ différent de la liste $(a , \, \cdots \, , a )$ : il y en a $2 ^{n - 1} - 1$ .

Donc $\boxed{9 \times \left ( 2 ^{n - 1} - 1 \right ) }$ entiers répondent à la question.

Pour $n = 5$ , on obtient $\qquad 9 \times (2 ^4 - 1) = 9 \times 15 = 135$ .

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Corrigé de l’exercice sur le Binôme de Newton

Correction question 1

Si $n \in \mathbb{N}^*$ , on note
$\quad \mathcal{P}(n)$ : $(a + b) ^n = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k\, a ^k \,b ^{n - k}$ .

Initialisation : Pour $n = 1$ , $\displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k \, a ^k \, b^{n - k} =$ $\qquad \displaystyle \binom 1 0 \, a ^0 \, b ^{1 - 0} + \binom 1 1 \, a ^1 \, b^{1 - 1}$
$a + b = (a + b) ^1$
On a donc prouvé $\mathcal{P}(1)$ .

Hérédité : On suppose que $\mathcal {P}(n)$ est vraie.

On multiplie l’égalité de $\mathcal {P}(n)$ par $a + b$

$(a+ b) ^{n + 1} = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k a ^{k + 1} \, b ^{n - k}$ $\qquad \qquad \displaystyle +\, \sum _ {k = 0} ^n \binom n k a^{k} \, b ^{n - k + 1 }$

on pose $i = k + 1$ dans la première somme :

$(a + b) ^{n + 1} = \displaystyle \sum _ {i = 1} ^{n + 1} \binom n {i - 1} a ^{i} \,b ^{n - i + 1 }$ $\displaystyle \qquad \qquad + \, \sum _ {k = 0} ^n \binom n k a^{k } \, b ^{n - k + 1 }$

On additionne donc deux expressions :

$\qquad \qquad \displaystyle \sum _ {i = 1} ^{n + 1} x_ i + \sum _ {i = 0} ^{n} y_ i$

en notant $x_ i = \displaystyle \binom n {i - 1} a ^{i} \, b^{n - i + 1 }$ et $\displaystyle y_ i = \binom n {i} a ^{i} \, b ^{n - i + 1 }$ .

$\ast$ on a un seul indice $i = 0$ avec

$y _ 0 = \displaystyle \binom n {0} \, a ^{0} \, b ^{n - 0 + 1 }$ $y_0 \displaystyle = \binom {n + 1} {0}\, a ^{0} \, b ^{n - 0 + 1 }$

car $\displaystyle \binom {n} 0 = \binom {n + 1} 0 = 1$ .

$\ast$ on a un seul indice $i = n + 1$ , avec

$x_{n + 1} =\displaystyle \binom n {n} \, a ^{n + 1 } \, b ^{0}$ $a_{n + 1} \displaystyle = \binom {n + 1} {n +1}\, a ^{n + 1 } \, b ^{0}$

car $\displaystyle \binom {n} n = \binom {n + 1} {n + 1} = 1$ .

$\ast$ Lorsque $1 \leqslant i \leqslant n$

$\displaystyle x_ i + y _ i = \left ( \binom n {i - 1} + \binom n {i} \right ) a ^{i} \, b ^{n - i + 1 }$

On peut ensuite utiliser la formule du triangle de Pascal :

et $x _ i + y _ i = \displaystyle \binom {n + 1} i \, a^i \, b ^{n + 1 - i}$

ce qui permet d’écrire
$\displaystyle (a + b) ^{n + 1} = \sum _ {i = 0} ^{n + 1} \binom {n + 1} i \, a^i \, b^{n + 1 - i}$

On a prouvé $\mathcal{P}(n + 1)$ .

Conclusion : la propriété est vraie par récurrence.

Correction question 2

Soit $E$ un ensemble fini à $n$ éléments.

On écrit $\mathcal{P}(E) = \displaystyle \bigcup_{k = 0} ^n \mathcal {P} _ k(E)$
en notant $\mathcal {P} _ k(E)$ l’ensemble des parties de $E$ à $k$ éléments.

On a écrit $\mathcal{P}(E)$ comme réunion d’ensembles 2 à 2 disjoints,

donc $\textrm{Card } \mathcal{P}(E) = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n \textrm{Card }\mathcal{P}_k(E)$

$\textrm{Card }\mathcal{P}(E) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} k$

$\textrm{Card } \mathcal{P}(E) = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom {n} k \, 1 ^k \, 1^ {n - k}$ $\textrm{Card } \mathcal{P}(E)= (1 + 1) ^n = 2^n$ par le binôme de Newton.

Correction question 3

C’est vrai.

$\bullet$ On note $\mathcal{A}$ l’ensemble des parties de $E$ de cardinal pair et $\mathcal{B} _{2 k}$ l’ensemble des parties de $E$ de cardinal $2 \, k$ .

On introduit $N$ tel que $n = 2\, N$ si $n$ est pair et $n = 2\, N + 1$ si $n$ est impair.

Alors $0 \leqslant 2 \, k \leqslant n$ ssi $0 \leqslant k \leqslant N$ .

$\mathcal{A} = \displaystyle \bigcup _ {k = 0} ^N \mathcal{B} _{2 \, k}$

Les ensembles $\mathcal{B} _{2 \, k}$ sont 2 à 2 disjoints,

$\Rightarrow \textrm{Card } \mathcal{A} = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^N \textrm{Card } \mathcal{B} _{2 \, k}$

$\displaystyle \Rightarrow \textrm{Card } \mathcal{A} = \sum _ {k = 0} ^N \binom {n} {2 k}$ .

$\bullet$ On note $\displaystyle N' = N - 1$ si $n = 2 N$ et $N' = N$ si $n = 2 N + 1$

Alors $0 \leqslant 2\, k + 1 \leqslant n$ ssi $0 \leqslant k \leqslant N'$ .

Si $x \in \mathbb{R}$ , $(1 + x) ^n = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n \binom n k \, x ^k$

$(1 + x)^n =$ $\; \; \displaystyle \sum _ {k = 0} ^N \binom n {2 \, k} \, x ^{2 \, k} +\sum _ {k = 0} ^{N'} \binom n {2 \, k +1 } \, x ^{2 \, k+ 1 }$

Si $a = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^N \binom n {2 \, k}$ et $b = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^{N'} \binom n {2 \, k + 1}$ ,

en utilisant $x = 1$ puis $x = - 1$

$\quad \quad \quad 2 ^n = a + b$ et $0 = a - b$

soit $a = b = 2 ^{n - 1}$ .

Il y a donc $\boxed{2 ^{n - 1}}$ parties de cardinal pair dans un ensemble à $n$ éléments.

Le fort coefficient au bac des maths fait qu’il est important de bien suivre les cours et d’appliquer ses connaissances sur des exercices. Vous pouvez d’ailleurs le voir sur notre simulateur du bac. Pour se préparer le plus tôt possible au bac, entraînez-vous sur différents cours en ligne de maths au programme de terminale, par exemple sur les chapitres :

En plus des cours particuliers, des cours en ligne et des exercices, il existe un autre support très utile : les annales du bac de maths, pour s’entraîner en conditions réelles.

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