Chapitres Maths en Terminale Générale

Exercices et corrigés : Dérivées et convexité en Terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Préparez-vous au bac en vous exerçant avec nos exercices sur les dérivées et la convexité au programme de Terminale. Prenez le temps de faire chaque exercice à votre rythme et vérifier vos connaissances en comparant vos résultats avec les corrigés d’exercices. Le nouveau programme de maths en Terminale est très lourd et demande beaucoup de travail aux élèves de Terminale. Prendre des cours particuliers en maths en Terminale permet de ne pas se laisser submerger par la charge de travail, et vous assure de bons résultats au bac.

1. Calcul de dérivées en terminale générale

Exercice sur les calcul de dérivée :

On précisera s’il y a lieu l’ensemble des réels où $f$ est dérivable. Puis on donnera une expression simplifiée de la dérivée.

Question 1 :

$f : x \mapsto (x ^2 - 4\, x + 1) \, \textrm{e} ^{x ^2}$

Question 2 :

$f : x \mapsto \displaystyle \left ( \frac x {x + 2} \right ) ^5$

Question 3 :

$f : x \mapsto \textrm{e} ^{1/(x-1)}$

Correction de l’exercice sur les calculs de dérivées

Question 1 :

On écrit $f(x) = u(x) \, \textrm{e} ^{v(x)}$
avec $u(x) = x ^2 - 4\, x + 1$ et $v(x) = x^2$
Puis on note $w(x) = \textrm{e}^{v(x)}$

$\bullet$ Dérivabilité
$\ast$ $v$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ , la fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ , donc $w$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ comme composée de fonctions dérivables.
$\ast$ $u$ est une fonction polynôme, donc est dérivable sur $\mathbb{R}$ ,
par produit de fonctions dérivables, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$

$\bullet$ Calcul de la dérivée
Pour tout réel $x$ ,
$f'(x) = u'(x) \, \textrm{e} ^{v(x)} + u(x) \, v'(x) \, \textrm{e} ^{v(x)}$
$f'(x) = \left ( u'(x) + u(x)\, v'(x) \right ) \textrm{e} ^{v(x)}$
$f'(x) = \left ( 2 \, x - 4 + (x ^2 - 4\, x + 1) \, 2\, x \right ) \textrm{e} ^{x^2}$
$\boxed{f'(x) = 2 \,\left ( x ^3 - 4\, x ^2 + 2\, x - 2 \right ) \, \textrm{e} ^{x^2}}$ .

Question 2 :

On note $u :x \mapsto \displaystyle \frac x {x + 2}$ , $u$ est dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{ - 2\}$ , donc $f = u ^5$ est dérivable sur $\mathbb{R}\setminus\{ - 2\}$ et $f' = 5 \, u' \, u$ .

On écrit $u(x) = \displaystyle \frac {a(x)} {b(x)}$ avec $a(x) = x$ et $b(x) = x + 2$
$u'(x) = \displaystyle \frac {a'(x) \, b(x) - a(x) \, b'(x)} {b ^5(x)}$
$u'(x) = \displaystyle \frac {x + 2 - x} {(x + 2) ^2} = \frac 2 {(x + 2)^2}$ .

Donc si $x \neq - 2,$ $\displaystyle f'(x) = 5 \times \frac 2 {(x + 2)^2} \times \left ( \frac x {x + 2} \right ) ^4$
$\boxed{\displaystyle f'(x) = \frac {10 \, x ^4 } {(x + 2)^6} }$ .

Question 3 :

$\bullet$ Domaine de dérivabilité
$f(x) = \textrm{e} ^{u(x)}$
$u$ est dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ .
La fonction exponentielle est dérivable sur $\mathbb{R}$ , donc par composition, $f$ est dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{1\}$ .

$\bullet$ Calcul de la dérivée
Si $x \neq 1$ , $f'(x) = u'(x) \, \textrm{e} ^{u(x)}$
$\boxed{f'(x) = \displaystyle \frac {- 1} {(x - 1)^2} \, \textrm{e} ^{1/(x - 1)}}$ .

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2. Exercices avec des dérivées en Terminale

Exercice sur les dérivées en terminale générale :

Déterminer les fonctions polynômes $P$ non nulles telles qu’il existe un réel $a$ tel que $P = a\, P'^2$ .

Correction de l’exercice sur les dérivées :

$\bullet$ On cherche le degré d’une solution $P$ .
On suppose que $P$ est une fonction polynôme de degré $n$ que l’on écrit sous la forme $P(x) = a_n \, x^n + Q(x)$ où $Q$ est une fonction polynôme de degré inférieur ou égal à $n - 1$ .

Pour tout réel $x$ , $P'(x) = n \, a_ n\, x^{n - 1} + Q'(x)$
alors $P'^2(x) = n^2 \, a_n ^2 \, x^{2 n - 2} + R(x)$ avec $R$ fonction polynôme de degré au plus égal à $2\, n - 3$ .
Si $P(x) = a \, P'(x) ^2$ , on doit avoir $n = 2\, n - 2$ ssi $n = 2$ .

$\bullet$ On détermine $P$ .
Dans la suite on cherche donc $P : x \mapsto \alpha \, x ^2 + \beta \, x + \gamma$ avec $\alpha \neq 0$
$P' : x \mapsto 2\, \alpha \, x + \beta$
Pour tout $x \in \mathbb{R}$ , $P(x) = a \, P'(x) ^2$
ssi pour tout réel $x$ , $\alpha \, x ^2 + \beta \, x + \gamma = a \left ( 4 \, \alpha ^2 \, x ^2 + 4\, \alpha \, \beta \, x + \beta ^2\right )$

On obtient les conditions nécessaires et suffisantes par égalité de deux fonctions polynômes
$\left \{ \begin{matrix} \alpha = 4\, a \, \alpha^2 \\ \beta = 4\, a \, \alpha \beta \\ \gamma = a \, \beta ^2 \end{matrix} \right.$

Comme $\alpha \neq 0$
$\left \{ \begin{matrix} 1 = 4\, a \, \alpha \\ \beta (1 - 4\, a \, \alpha) = 0 \\ \gamma = a \, \beta ^2 \end{matrix} \right.$
ssi $\left \{ \begin{matrix} 1 = 4\, a \, \alpha \\ \beta \times 0 = 0 \\ \gamma = a \, \beta ^2 \end{matrix} \right.$ ssi $\left \{ \begin{matrix} 1 = 4\, a \, \alpha \\ \gamma = \beta^2 / (4\, \alpha) \end{matrix} \right.$

Les solutions non nulles sont les fonctions polynômes $\qquad x \mapsto \alpha \, x^2 + \beta \, x + \displaystyle \frac {\beta^2} {4\, \alpha}$
avec $\alpha \neq 0$ et dans ce cas $a = \displaystyle \frac 1 {4\, \alpha}$ .

3. La convexité en Terminale Générale

Exercice 1 sur la convexité en terminale :

On note $\mathcal{D} = \mathbb{R} \setminus \left \{ - 1 \right \}$
et si $x \in \mathcal{D}$ , $f(x) = \displaystyle \frac {\textrm{e}^{-x}} {x + 1}$ .

Question 1 :
$f''(x) = \displaystyle \frac {x ^2 + a\, x + b } {(x + 1)^3 } \, \textrm{e}^{-x}$

$a;b =$ ?

Question 2 :

La fonction $f$
a. est convexe
b. est concave
c. change de concavité.

Question 3 :

En écrivant l’équation réduite de la tangente en $(0 , f(0))$ , trouver une inégalité faisant intervenir $f(x)$ valable sur $] - 1 , + \infty[$ .

Exercice 2 sur la convexité en terminale :

$f : x \mapsto (x +1) \, \textrm{e} ^{ - x^2}$

Question 1 :

Pour tout réel $x$ , $f''(x) = 2\, Q(x) \, \textrm{e} ^{ - x^2}$ avec $Q(x) = a(x^3 + x^2 ) - 3\, x - 1$ .

$a =$ ?

Question 2 :

On peut écrire $Q(x) = (x - 1) ( 2\, x^2 + \alpha \, x + \beta)$

avec $\alpha;\beta =$ ?

Question 3 :

Quel est le nombre de points d’inflexion du graphe de $f$ ?
On précisera leur(s) abscisse(s).

Nombre ?

Question 4 :

Préciser l’équation réduite de la tangente au point d’abscisse $1$

Correction de l’exercice 1 sur la convexité en terminale :

Question 1 :

$a;b =$ 4;5

$f$ est deux fois dérivable sur $\mathcal{D}$

$\bullet$ Dérivée première
En écrivant $f(x) = \displaystyle \frac 1 {a(x)} \times \textrm{e} ^{- x}$
$f'(x) = \displaystyle \frac {-a'(x)} {a^2 (x)} \times \textrm{e} ^{- x} - \frac 1 {a(x)} \times \textrm{e} ^{- x}$
$f'(x) = \displaystyle \left ( \frac {-1} {(x + 1)^2} - \frac 1 {x + 1} \right ) \textrm{e} ^{- x}$
$f'(x) = \displaystyle \frac { - 2 - x} {(1 + x)^2} \, \textrm{e}^{-x}$ .

$\bullet$ Dérivée seconde
On écrit $f'(x) = u(x) \, \displaystyle \frac {1} {v ^2(x)} \, \textrm{e}^{-x}$
donc
$f''(x) = u'(x) \, \displaystyle \frac {1} {v ^2(x)} \, \textrm{e}^{-x}$ $\qquad \quad\displaystyle -\, u(x) \frac {2 \, v'(x)} {v^3(x)} \, \textrm{e}^{-x} - \frac {u(x)} {v ^2(x)} \, \textrm{e}^{-x}$
$f''(x)=$ $\displaystyle \left ( \frac {- 1} {(x + 1)^2} + \frac {2(x + 2)} {(x + 1) ^3} + \frac {x + 2} {(x + 1)^2} \right ) \, \textrm{e}^{-x}$
Par réduction au même dénominateur
$f''(x) = \displaystyle \frac {N(x)} {(x + 1)^3} \, \textrm{e}^{-x}$
avec $N(x) = -(x + 1) + 2(x + 2)$ $\qquad \qquad \qquad \quad +\, (x + 2)(x + 1)$
$N(x) = x + 3 + x^2 + 3\, x + 2$
$N(x) = x^2 + 4\, x + 5$ .
$\boxed{f''(x) = \displaystyle \frac {x ^2 + 4\, x + 5 } {(x + 1)^3 } \, \textrm{e}^{-x} }$ .

Question 2 :

$f''(x) = \displaystyle \frac {x ^2 + 4\, x + 5 } {(x + 1)^3 } \, \textrm{e}^{-x}$
Le discriminant de $x ^2 + 4\, x + 5 = 0$ est $\Delta = 16 - 20 < 0$ , donc $x ^2 + 4\, x + 5 > 0$ pour tout réel.
$f''(x)$ est du signe de $(x + 1)^3$ .
$f ''(x) > 0$ si $x > - 1$ et $f''(x) < 0$ si $x < - 1$ .
$f$ change de concavité sur $\mathcal{D}$ .
Mais le graphe n’admet pas de point d’inflexion, puisque $f$ n’est pas définie en $-1$ .

Question 3 :

$f(0) = 1$ et $f'(0) = - 2$ .
La tangente a pour équation réduite $y = f'(0) \, x + f(0)$ soit $y = - 2 \, x + 1$ .
La fonction $f$ est convexe sur $]-1 , + \infty[$ . La courbe est au dessus de la tangente en $(0 , f(0))$ :
pour tout $x > - 1,$ $\displaystyle \frac {\textrm{e}^{-x}} {x + 1}\geqslant 1 - 2\, x$ .

On peut aussi écrire puisque $x + 1 > 0$ ,
si $x > - 1$ , $\textrm{e}^{-x} \geqslant (1 - 2 \, x) (x + 1)$
cette inégalité reste vraie en $- 1$ .
Si $x \geqslant - 1$ , $\boxed{\textrm{e} ^{-x} \geqslant (1 - 2\, x)\,(1 + x) }$ .

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Correction de l’exercice 2 sur la convexité en terminale :

Question 1 :

$a =$ 2

$f$ est deux fois dérivable sur $\mathbb{R}$
$\bullet$ Dérivée première
$f(x) = a(x) \, \textrm{e} ^{b(x)}$
$f(x) = a'(x) \, \textrm{e} ^{b(x)} + a(x) \, b'(x) \,\textrm{e} ^{b(x)}$
$f'(x) = (a'(x) + a(x)\, b'(x)) \, \textrm{e} ^{b(x)}$
$f'(x) = (1 - 2\, x (x + 1) ) \, \textrm{e} ^{- x^2}$
$f'(x) = (1 - 2 \, x - 2 \, x^2) \, \textrm{e} ^{- x^2}$ .

$\bullet$ Dérivée seconde
comme ci-dessus,
$f''(x) = (a'(x) + a(x)\, b'(x)) \textrm{e} ^{b(x)}$
avec $a(x) = 1 - 2 \, x - 2 \, x^2$
$f''(x)$ $= \left ( - 2 - 4\, x - 2\, x (1 - 2 \, x - 2 \, x^2) \right ) \, \textrm{e} ^{- x^2}$
$= 2 \left ( -1 - 2 \, x - x + 2\, x^2 + 2\, x^3 \right ) )\, \, \textrm{e} ^{- x^2}$
$\boxed{f''(x) = 2 \left (2 \, x^3 + 2\, x ^2 - 3 \, x - 1 \right ) \, \textrm{e} ^{- x^2} }$ .

Question 2 :

avec $\alpha;\beta =$ 4;1

$Q(1) = 0$ , on peut factoriser $x - 1$ et écrire
$Q(x) = (x - 1) ( \gamma\, x^2 + \alpha \, x + \beta)$
en comparant les termes en $x ^3$ , on obtient $\gamma = 2$ .

On développe
$Q(x) = (x - 1) ( 2\, x^2 + \alpha \, x + \beta)$
$Q(x) = 2\, x^3 + (\alpha - 2)\, x^2 + (\beta - \alpha ) x - \beta$
par unicité de l’écriture d’une fonction polynôme
$\left \{ \begin{matrix} \alpha - 2 = 2\\ \beta - \alpha = - 3 \\ - \beta = - 1 \end{matrix} \right.$ ssi $\left \{ \begin{matrix} \alpha = 4\\ \beta = 1 \end{matrix} \right.$
donc $\boxed{Q(x) = (x - 1) (2\, x^2 + 4\, x + 1) }$ .

Question 3 :

Nombre = 3

Les racines de $2\, x^2 + 4\, x + 1 = 0$ sont $\displaystyle \frac { - 2 - \sqrt{2} } 2$ et $\displaystyle \frac {\sqrt{2} - 2 } 2$ .
$Q$ et donc $f''$ s’annule en changeant de signe en
$\qquad 1$ , $\displaystyle \frac { - 2 - \sqrt{2} } 2$ et $\displaystyle \frac {\sqrt{2} - 2 } 2$
On a trois points d’inflexion.

Question 4 :

L’équation réduite de la tangente au point d’abscisse 1 est
$y = f'(1)(x - 1) + f(1)$
$f(1) = 2\, \textrm{e}^{- 1}$ , $f'(1) = - 3\, \textrm{e} ^{ - 1}$
$\boxed{y = \textrm{e} ^{ - 1} \left ( - 3\, x + 5\right )}$ .

Pour réussir en terminale et plus particulièrement en maths, il est impératif de s’entraîner régulièrement sur des exercices ou sur des annales de maths du bac. Les mathématiques demandent un travail rigoureux et régulier pour obtenir de bonnes notes. Ce travail est d’autant plus important pour les élèves qui souhaitent intégrer les meilleures prepa MP ou les meilleures écoles d’ingénieurs en post-bac. Pour ce faire, les cours en ligne de maths permettent aux élèves de terminale de pouvoir réviser divers chapitres au programme, comme :

Exercices et corrigés : Dérivées et convexité en Terminale

1. Calcul de dérivées en terminale générale

Exercice sur les calcul de dérivée :

Correction de l’exercice sur les calculs de dérivées

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