Chapitres Maths en Terminale Générale

Exercices et corrigés : Les nombres complexes en Terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Se préparer au bac avec les exercices et les corrigés d’exercices sur le chapitre des nombres complexes au programme de maths en Terminale en option maths expertes. L’apprentissage des mathématiques ne sera efficace que s’il y a entraînement sur des exercices ou sur des annales de maths du bac. Ceci est d’autant plus vrai pour les cours de maths en option maths expertes. Le niveau y est très élevé et les exigences des professeurs le sont aussi. Pour être sûr de pouvoir suivre le rythme des cours, les élèves de terminale ont la possibilité de prendre des cours particuliers de maths et/ou de suivre des stages intensifs de révisions pendant les vacances scolaires.

1. Calcul sur les nombres complexes en Terminale, Maths Expertes

Exercices sur la forme cartésienne des nombres complexes

Calculer la forme cartésienne des complexes suivants :

Question 1 :
$(2 - 3\,\textrm{i })^2$

$a;b =$ ?

Question 2 :
$(3 + 2\, \textrm{i} )^3$

$a;b =$ ?

Question 3 :
$(2 - \textrm{i}) ^5$

$a;b=$ ?

Question 4 :
$\displaystyle \frac {\textrm{i} - 5} {3 + 5\, \textrm{ i} }$

$a;b=$ ?

Question 5 :
$\displaystyle \frac {3 + 4\, \textrm{i}}{5 - 7\, \textrm{i}}$

$a;b=$ ?

Exercice de calcul dans le plan complexe

Soit $Z = \displaystyle \frac {1 + z} z$ .
Déterminer l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $Z$ soit réel,
puis l’ensemble des points $M$ d’affixe $z$ tels que $Z$ soit imaginaire pur.

Exercices de calcul sur les modules

Question 1 :
Résoudre $z + \overline {z} = \vert z \vert$ .

Question 2 :
Ensemble des complexes $z$ tels que $z$ , $z^2$ et $1 - z$ aient même module.

Nombre de solutions ?

Exercices sur les équations des nombres complexes

Question 1 :
L’équation $(4 - \textrm{i}) (1 + 3\, \textrm{i}) z = 2 - 3\, \textrm{i}$
admet une unique solution $z = x + \textrm{i}\, y$ avec $x;y=$ ?

Question 2 :
L’équation $(3 + 2\, \textrm{i} ) \, z + (1 - 5\, \textrm{i} ) \,\overline{z} = - 19 - 2 \, \textrm{i}$
admet une unique solution $z = x + \textrm{i} \, y$ avec $x;y =$ ?

Correction des exercices sur la forme cartésienne des nombres complexes

Question 1 :
$(2 + 3\, \textrm{i } )^2 = 2 ^2 - 3 ^2 - 2\, . \, 2\, (3\, \textrm{i})$
$\boxed{(2 + 3\, \textrm{i}) ^2 = - 5 - 12\, \textrm{i}}$ .

Question 2 :
En utilisant le binôme de Newton
$(a + b)^3 = a^3 + 3\,a^2\, b + 3\, a \, b ^2 + b ^3$

$(3 + 2\, \textrm{i} )^3 = 3^3 + 3\times 3 ^2 \times 2\, \textrm{i}$ $\qquad \qquad + 3\times 3 \times (- 4 ) - 8 \, \times i$
$(3 + 2\, \textrm{i} )^3 =27 + 54\, \textrm{i} - 36 - 8 \, \textrm{i}$
$\boxed{(3 + 2\, \textrm{i} )^3 = - 9 + 46\, \textrm{i} }$ .

Question 3 :
En utilisant le binôme de Newton
$(a - b)^3 = a^5 - 5\,a^4\, b +10 \, a ^3 \, b ^2$ $\qquad \qquad -\, 10 \, a ^2 \, b ^3 + 5 \, a \, b ^4 - b ^5$

$z = (2 - \textrm{i}) ^5 = 2^5 - 5 \times 2 ^4 \textrm{ i}$ $\qquad +\, 10 \times 2 ^3 \times (-1) - 10 \times 4 \times ( -\textrm{i})$ $\qquad + \, 5 \times 2 \times (1) - \textrm{i}$
$z = 32 - 80 \textrm{ i} - 80 + 40\, \textrm{i} + 10 - \textrm{i}$
$z =\boxed{ - 38 - 41\textrm{ i} }$ .

Question 4 :
$\displaystyle z = \frac {\textrm{i} - 5} {3 + 5\, \textrm{ i} }$
$\displaystyle z = \frac {\left ( \textrm{i} - 5\right) \, \left ( 3 - 5\, \textrm{ i}\right) } {3 ^2 + 5 ^2 }$
$\displaystyle z = \frac { 3\, \textrm{i} - 15 + 5 +25 \textrm{ i} } {34}$
$\displaystyle z = \frac { - 10 +28 \textrm{ i}} {34} = \boxed{\frac {-5} {17} + \frac {14} {17} \, \textrm{i} }$ .

Question 5 :
$z = \displaystyle \frac {3 + 4\, \textrm{i}}{5 - 7\, \textrm{i}}$
$z = \displaystyle \frac {(3 + 4\, \textrm{i})\, (5 + 7 \, \textrm{i} ) }{5^2 + 7 ^2}$
$z = \displaystyle \frac {15 - 28 + \textrm{i} (20 + 21)} {25 + 49}$
$z =\boxed{ \displaystyle \frac { -13 + 41\, \textrm{i} } {74}}$

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Correction de l’exercice de calcul dans le plan complexe

On cherche la forme cartésienne de $Z$ .
$\bullet$ On suppose que $z = x + \textrm{i} \, y$ avec $z \neq 0$ et $(x , y) \in \mathbb{R}^2$
On écrit que $Z = \displaystyle 1 + \frac 1 z = 1 + \frac {\overline{z} } {\vert z \vert ^2}$
$Z = \displaystyle 1 + \frac {x - \textrm{i} \, y} {x ^2 + y ^2}$
donc $\mathcal{R}e(Z) = \displaystyle 1 + \frac {x} {x ^2 + y ^2}$
$\qquad \; \mathcal{I}m(Z) = \displaystyle-\frac {y} {x ^2 + y ^2}$ .

$\bullet$ $Z \in \mathbb{R}$ ssi $\mathcal{I}m(Z) = \displaystyle-\frac {y} {x ^2 + y ^2} = 0$
ssi $y = 0$ et $z \neq 0$
ssi $M$ est un point de l’axe des réels différent de $O$ .

$\bullet$ $Z$ est imaginaire pur
ssi $\mathcal{R}e(Z) = \displaystyle 1 + \frac {x} {x ^2 + y ^2} = 0$
ssi $x^2 + y^2 + x = 0$ et $(x , y) \neq (0 , 0)$
On écrit $x ^2 + y ^2 + x = (x + 1/2)^2 + y ^2 - 1/4$
$Z$ est imaginaire pur ssi $(x + 1/2)^2 + y ^2 = 1/4$ et $(x , y) \neq (0 , 0)$
ssi $M$ est un point du cercle de centre $(-1/2 , 0)$ et de rayon $1/2$ différent de $O$ .

Correction des exercices de calcul sur les modules

Question 1 :
On note $z = x + \textrm{i} \, y$ où $(x , y) \in\mathbb{R}^2$ .
On résout donc $2 \, x = \sqrt{x ^2 + y^2}$
ssi $x \geqslant 0$ et $4 \, x^2 = x^2+ y ^2$
ssi $x \geqslant 0$ et $3 \, x^2 = y ^2$
ssi $x \geqslant 0$ et $y = \sqrt{3} \, x$ ou $y = - \sqrt{3}\, x$

L’ensemble des solutions est la réunion des deux ensembles :
$\quad \{ x \left ( 1 + \textrm{i } \sqrt{3} \right ) \, /\, x \geqslant 0\}$
$\quad \{ x \left ( 1 - \textrm{i } \sqrt{3} \right ) \, /\, x \geqslant 0\}$ .

Question 2 :
Nombre de solutions : 2

$\bullet$ $\vert z \vert = \vert z^2 \vert$ ssi $\vert z \vert = \vert z \vert^2$
ssi $\vert z \vert \left ( 1 - \vert z \vert \right ) = 0$
ssi $\vert z \vert = 0$ ou $\vert z \vert = 1$ .

$\bullet$ Si $\vert z \vert = 0$ alors $z = 0$ donc $1 - z = 1$ , les trois modules ne sont pas égaux.

$\bullet$ Si $\vert z \vert = 1$ , on écrit $z = x + \textrm{i} \, y$ avec $(x , y) \in \mathbb{R}^2$ et $x^2 + y^2 = 1$
$\vert 1 - z \vert ^2 = (1 - x)^2 + y^2$
$\vert 1 - z \vert ^2 = x^2 + y^2 - 2 \, x + 1 = 2 - 2\, x$
$\vert 1 - z \vert = 1$ ssi $2 - 2\, x = 1$ ssi $x = 1/2$
alors $y^2 = 1 - x^2 = 3/4$ .

Il y a deux solutions
$\qquad \quad \boxed { \displaystyle \frac {1 + \textrm{i } \, \sqrt{3}} 2\textrm{ et } \frac {1 - \textrm{i }\, \sqrt{3}} 2}$ .

Correction des exercices sur les équations des nombres complexes

Question 1 :
$x;y=$ -19/170;-43/170

$(4 - \textrm{i}) (1 + 3\, \textrm{i}) z = 5 - 3\, \textrm{i}$
ssi $( 4 - \textrm{i} + 12 \, \textrm{i} + 3)\, z = 2 - 3 \, \textrm{i}$
ssi $(7 + 11 \, \textrm{i}) \, z = 2 - 3 \, \textrm{i}$
ssi $\displaystyle z = \frac {2 - 3 \, \textrm{i}} {7 + 11 \, \textrm{i}}$
ssi $\displaystyle z = \frac {(2 - 3 \, \textrm{i})\, ( 7 - 11 \, \textrm{i})}{49 + 121}$
ssi $z = \displaystyle \frac {14 - 33 - (21 + 22) \, \textrm{i}} {170}$
ssi $z = \displaystyle \frac {-19 - 43 \, \textrm{i} } {170}$
ssi $\boxed{z = \displaystyle \frac {-19 - 43 \, \textrm{i} } {170}}$ .

Question 2 :
$x;y =$ 4;5

$(3 + 2\, \textrm{i} ) \, z + (1 - 5\, \textrm{i} ) \,\overline{z} = - 19 - 2 \, \textrm{i}$
On note $z = x + \textrm{i} \, y$ avec $(x , y) \in \mathbb{R}^2$ .
L’équation s’écrit
$(3 + 2\, \textrm{i} ) \, (x + \textrm{i} \, y) + (1 - 5\, \textrm{i} ) \,(x - \textrm{i} \, y)$ $\qquad \qquad\qquad \qquad = - 19 -2\, \textrm{i}$
ssi $3 \, x - 2\, y + \textrm{i} (2\, x + 3\, y) + x - 5\, y$ $\qquad \qquad \qquad -\, \textrm{i} \, (5 \, x + y) = - 19 - 2 \, \textrm{i}$
ssi $4 \, x - 7\, y + \textrm{i} \, ( 2 \, y - 3\, x) = - 19 -2 \, \textrm{i}$ .

En égalant parties réelles et imaginaires, on obtient le système
$\left \{ \begin{matrix} 4 \, x - 7\, y = - 19 \\ 2 \, y - 3\, x = - 2 \end{matrix} \right.$
ssi $\left \{ \begin{matrix} 4 \, x - 21\, x/2 + 7 = - 19 \\ y = 3\, x/2 - 1 \end{matrix} \right.$
ssi $\left \{ \begin{matrix} - 13 \, x /2 = - 26 \\ y = 3\, x/2 - 1 \end{matrix} \right.$
ssi $\left \{ \begin{matrix} x =4\\ y = 3 \times 2 - 1 = 5 \end{matrix} \right.$

L’équation admet une unique solution $\boxed{4 + 5\, \textrm{i} }$ .

2.Formes trigonométriques, nombres complexes :Terminale Maths Expertes

Exercices sur les modules et les arguments des nombres complexes

Question 1 :
Module et argument de $\displaystyle \frac {\sqrt{2} + \textrm{i } \sqrt{6}} {\sqrt{3} + \textrm{i }}$

Question 2 :
a – Module et argument de $z = \displaystyle \frac {\sqrt{3} - \textrm{i} } {1 + \textrm{i}}$

b – En déduire $\cos \left ( \displaystyle \frac {5\,\pi} {12} \right )$ et $\sin\left ( \displaystyle \frac {5\,\pi} {12} \right )$

c – En déduire $\cos \left ( \displaystyle \frac {\pi} {12} \right )$ et $\sin\left ( \displaystyle \frac {\pi} {12} \right )$

Exercices sur l’utilisation du plan complexe en Terminale

Dans ce paragraphe, on se place dans le plan complexe rapporté au repère orthonorma direct $\left ( O , \,\overrightarrow{u}\,,\, \overrightarrow{v} \right )$ .

Soit $x$ un réel non nul. On note $A, B$ et $C$ les points du plan complexe d’affixes respectives
$\;\; z_A = 1 - x \, \textrm{i}$ , $z_B = 2\, \textrm{i}$ et $z_C = - 2$ .

Question 1 :
Calculer $AB$ et $AC$ .

Question 2 :
Trouver $x$ tel que le triangle soit isocèle en $A$ .

$x=$ ?

Question 3 :
Existe-t-il un réel $x$ tel que le triangle $ABC$ soit équilatéral ?

Question 4 :
Donner les valeurs de $x$ tel que le triangle $ABC$ soit rectangle

Question 5 :
Les points $A, B$ et $C$ sont alignés pour $x =$ ?

Question 6 :
Déterminer l’affixe du point $D$ tel que $ABCD$ soit un parallélogramme.

Correction des exercices sur les modules et les arguments des nombres complexes

Question 1 :
En multipliant par la quantité conjuguée du dénominateur,
$Z = \displaystyle \frac {\sqrt{2} + \textrm{i } \sqrt{6}} {\sqrt{3} + \textrm{i }}$
$Z = \displaystyle \frac {\left ( \sqrt{2} + \textrm{i } \sqrt{6}\right ) \, \left (\sqrt{3} - \textrm{i } \right ) }{3 + 1}$
$Z = \displaystyle \frac { 2\, \sqrt{6} + \textrm{i } \left (3 \sqrt{2} - \sqrt{2} \right ) }{4}$
$Z = \displaystyle \frac {\sqrt{6} + \textrm{i } \, \sqrt{2} }{2} = \sqrt{2} \left( \frac {\sqrt{3} }2 + \textrm{i} \, \frac 1 2 \right )$
$u = \displaystyle \frac {\sqrt{3} }2 + \textrm{i} \, \frac 1 2$ est un complexe de module 1 et d’argument $\displaystyle \frac {\pi} 6$ car
$\displaystyle \qquad \cos\left ( \frac {\pi} 6 \right ) = \displaystyle \frac {\sqrt{3} } {2}$ et $\displaystyle \sin\left ( \frac {\pi} 6 \right ) = \displaystyle \frac {1} 2$ .
$\quad \boxed{\vert Z \vert = \sqrt{2}}$ et $\boxed{\arg(Z) = \displaystyle \frac {\pi} 6 \quad (2\,\pi)}$ .

Question 2 :
a –
$\bullet$ $u = \sqrt{3} - \textrm{i }$
$\vert u \vert ^2 = 3 = 1 = 4$ , donc $\vert u \vert = 2$
Puis on cherche $t \in \mathbb{R}$ tel que
$\quad \cos(t) = \displaystyle \frac {\sqrt{3}} 2$ et $\sin(t) = \displaystyle \frac { - 1} 2$
on peut donc choisir $t = \displaystyle \frac {- \pi} 6$
$\arg(u) = \displaystyle \frac {-\pi} 6 \quad (2\,\pi)$ .

$\bullet$ $v = 1 + \textrm{i }$
$\vert v \vert ^2 = 1 + 1 = 2$ , donc $\vert v \vert = \sqrt{2}$
Puis on cherche $t' \in \mathbb{R}$ tel que
$\qquad \cos(t') = \displaystyle \frac {1} {\sqrt{2}}$ et $\sin(t) = \displaystyle \frac {1} {\sqrt{2}}$ .
On peut donc choisir $t' = \displaystyle \frac {\pi} 4$ .
$\arg(v) = \displaystyle \frac {\pi} 4 \quad (2\,\pi)$ .

$\bullet$ alors si $z = \displaystyle \frac {1 + \textrm{i } \sqrt{3}} {\sqrt{3} + \textrm{i }} = \frac u v$
$\vert z \vert = \displaystyle \frac {\vert u \vert } {\vert v \vert} = \frac {2} {\sqrt{2}}$ soit $\boxed{\vert z \vert = \sqrt{2}}$
et $\arg(z) = \arg(u) - \arg(v) \quad( 2\, \pi)$
$\arg(z) = \displaystyle - \frac {\pi} 6 - \frac {\pi} 4 \quad (2\,\pi)$
$\boxed{\arg(z) = \displaystyle - \frac {5\,\pi} {12} \quad (2\,\pi)}$ .

b –
On cherche la forme cartésienne de $z$ :
$z = \displaystyle \frac {\sqrt{3} - \textrm{i} } {1 + \textrm{i}} = \displaystyle \frac {(\sqrt{3} - \textrm{i} )(1 - \textrm{i}) } {1 + 1}$
$z = \displaystyle \frac {\sqrt{3} - 1} 2 - \textrm{i } \frac {1 + \sqrt{3}} 2$
On a trouvé la forme trigonométrique de $z$ :
$\displaystyle z = \sqrt{2} \left( \cos \left ( - \frac {5\, \pi} {12} \right ) + \textrm{i} \sin\left ( - \frac {5\, \pi} {12} \right ) \right )$
donc en égalant les parties réelles et imaginaires
$\displaystyle \sqrt{2}\, \cos \left ( \frac {5\, \pi} {12} \right ) = \frac {\sqrt{3} - 1} 2$
et $\displaystyle - \sqrt{2}\, \sin \left ( \frac {5\, \pi} {12} \right ) = \frac {\sqrt{3} + 1} 2$
donc $\boxed{\displaystyle \cos \left ( \frac {5\, \pi} {12} \right ) = \frac {\sqrt{3} - 1} {2\, \sqrt{2}} }$ et $\boxed{\displaystyle \, \sin \left ( \frac {5\, \pi} {12} \right ) = \frac {\sqrt{3} + 1} {2\, \sqrt{2}} }$ .

c –
Puis en utilisant $\displaystyle \frac {\pi} {12} = \frac {\pi} 2 - \frac {5\, \pi} {12}$
$\qquad \displaystyle \cos(t ) = \sin \left (\frac {\pi} 2 - t \right )$ $\quad$ et $\displaystyle \sin(t) = \cos \left (\frac {\pi} 2 - t \right )$ ,

$\displaystyle \cos \left ( \frac {\pi} {12} \right ) = \sin \left ( \frac {\pi} 2 - \frac {5\, \pi} {12} \right ) = \sin \left ( \frac {5\, \pi} {12} \right )$
$\displaystyle \sin \left ( \frac {\pi} {12} \right ) = \cos \left ( \frac {\pi} 2 - \frac {5\, \pi} {12} \right ) = \cos \left ( \frac {5\, \pi} {12} \right )$

$\displaystyle\boxed{ \cos \left ( \frac {\pi} {12} \right ) = \frac {\sqrt{3} + 1} {2\, \sqrt{2}} }$
$\displaystyle \boxed{\sin \left ( \frac {\pi} {12} \right ) = \frac {\sqrt{3} - 1} {2\, \sqrt{2}}}$ .

Correction des exercices sur l’utilisation du plan complexe en Terminale

Question 1 :
$A B = \vert z_B - z_A \vert = \vert ( - 1+ (2 + x) \, \textrm{i} \vert$
$AB ^2 = 1 + (2 + x)^2 = x^2 + 4\, x + 5$ .

$AC = \vert z_C - z_A \vert = \vert (- 3 + x \, \textrm{i} \vert$
$A C^2 = 9+ x^2$ .

Question 2 :
$x=$ 1

$AB^2 = A C^2$ ssi $x^2 + 4\, x + 5= x^2 + 9$ ssi $\, x =4$ ssi $\boxed{x = 1}$ .

Question 3 :
Si $x = 1$ , $A B^2 = 10$
et $B C = \vert z_C - z_B \vert =\vert - 2 - 2\, \textrm{i}\vert$
$BC ^2 = 4 + 4 = 8$ .

Le triangle ne peut pas être équilatéral.

Question 4 :
$\ast$ Le triangle est rectangle en $A$
ssi $A B^2 + A C^2 = BC ^2$
ssi $x^2 + 4\, x + 5 + x^2 + 9 = 8$
ssi $2\, x ^2 + 4\, x + 6 = 0$
ssi $x^2 +2\, x + 3 = 0$
Cette équation n’a pas de racine réelle car $\Delta = 4 - 12 < 0$ .

$\ast$ Le triangle est rectangle en $B$
ssi $BA ^2 + BC^2 = AC ^2$
ssi $x^2 + 4\, x + 5 + 8 = x^2 + 9$
ssi $4 \, x = 9 - 13 = - 4$
ssi $x = -1$ .

$\ast$ Le triangle est rectangle en $C$
ssi $CA ^2 + CB^2 = AB ^2$
ssi $x^2 + 9 + 8 = x^2 + 4\, x + 5$
ssi $4\, x = 12$ ssi $x = 3$ .

Le triangle est rectangle ssi $x = -1$ ou $x =3$ .

Question 5 :
$x =$ -3

On calcule les affixes $u$ et $v$ de $\overrightarrow{A C}$ et $\overrightarrow {B C}$
$u = z_C - z_A = - 3 + x \, \textrm{i}$
$v = z_C - z_B = - 2 - 2\, \textrm{i}$

Il existe un réel $k$ tel que $\overrightarrow{A C} = k \overrightarrow {B C}$ ssi $u = k \, v$ ssi $- 3 = - 2\, k$ et $x = - 2\, k$
ssi $k = 3/2$ et $x = - 3$ .

Les points sont alignés ssi $\boxed{x = - 3}$ .

Question 6 :
On suppose donc que $A, B$ et $C$ ne sont pas alignés c’est à dire $x \neq - 3$ .

$ABCD$ est un parallélogramme ssi $\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{D C}$
ssi $z_B-z_A = z_C - z_D$
ssi $z D = z_C + z_A - z_B$
ssi $z_D = - 2 + 1 - x - 2 \, \textrm{i}$
ssi $\boxed{z_D = - 1 - x - 2\, \textrm{i}}$ .

3. La trigonométrie et les nombres complexes en Terminale Maths Expertes

Exercices avec $\cos(a \pm b)$ etc … en Terminale

Question 1 :
Pour tout réel $x$ , $\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2\, x)$

Vrai ou Faux ?

Question 2 :
Si $\cos(x) \, \sin(x) \neq 0$ , simplifier
$\qquad \displaystyle \frac {\sin(3\, x)} {\sin(x)} - \frac {\cos(3\, x)} {\cos(x)}$ .

Exercices sur la formule de Moivre

Question 1 :
Soit $x \in \mathbb{R}$ . Exprimer $\cos(4\,x)$ en fonction de $\cos(x)$

Question 2 :
En déduire la valeur de $\displaystyle \cos \left ( \frac {\pi} 8 \right )$ .

Exercice sur la linéarisation en Terminale

Résoudre l’équation
$\qquad \cos^4 (x) + \sin ^4 (x) = \displaystyle \frac {6 + \sqrt{3} } 8$ .
Quelles sont les solutions de cette équation dans $[0 , 2\, \pi[$ ?

Exercice sur la transformation de $a\,\cos(x) + b \, \sin(x)$

Soient $a , b \in \mathbb{R}$ tels que $(a , b) \neq 0$ , il existe un réel $\varphi$ tel que
$a\, \cos(x) + b\, \sin(x)$ $\qquad \qquad = \sqrt{a^2 + b ^2} \, \cos(x - \varphi )$
Introduire le complexe $a + \textrm{i} \, b$ et sa forme trigonométrique.

Correction des exercices avec $\cos(a \pm b)$ etc … en Terminale

Question 1 :
Vrai

$\cos^4(x) - \sin^4(x) =$ $\quad (\cos^2(x) - \sin^2(x))\, (\cos^2(x) + \sin^2(x) )$
$\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2\, x) \times 1$
$\cos^4(x) - \sin^4(x) = \cos(2\, x)$

Question 2 :
$\displaystyle A = \frac {\sin(3\, x)} {\sin(x)} - \frac {\cos(3\, x)} {\cos(x)}$
$A = \displaystyle \frac {\sin(3\, x) \, \cos(x) - \cos(3\, x) \, \sin(x)} {\sin(x) \, \cos( x)}$
$A = \displaystyle \frac {\sin(3\, x - x)} {\sin(x) \, \cos( x)}$
$A = \displaystyle \frac {\sin(2\, x )} {\sin(x) \, \cos( x)}$
$A = \displaystyle \frac {2\, \sin(x )\, \cos(x) } {\sin(x) \, \cos( x)} = 2$ .

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Correction des exercices sur la formule de Moivre

Question 1 :
$\bullet$ Première méthode :
$\cos(4\, x) = \cos(2 \times 2 \, x) = 2 \cos^2 (2\, x) - 1$
$\cos(4\, x) = 2 (2 \, \cos^2(x) - 1) ^2 - 1$
$\;\; = 2 (4 \,\cos^4 (x) - 4 \,\cos^2(x) + 1) - 1$
$\cos(4\, x) = 8\, \cos^4(x) - 8\, \cos^2(x) + 1$

$\bullet$ Deuxième méthode :
$\cos(4 \, x) + \textrm{i} \, \sin(4 \, x) = \left ( \cos( x) + \textrm{i} \, \sin( x) \right ) ^4$
par le binôme de Newton
$(a + b) ^4 =$ $\quad a^4 + 4\, a^3 \, b + 6\, a^2 \, b ^2 + 4\, a \, b^3 + b ^4$
$\cos(4 \, x) + \textrm{i} \, \sin(4 \, x) = \cos^4 ( x)$ $\; \; + \,4 \, \textrm{i} \, \cos^3(x) \, \sin( x) - 6 \cos^2(x) \, \sin^2(x)$ $\quad -\, 4\, \textrm{i} \, \cos(x)\sin ^3(x) + \sin^4(x)$
en égalant les parties réelles
$\cos(4\, x) = \cos^4(x) - 6 \cos^2(x) \, \sin^2(x)$ $\qquad \qquad \qquad + \, \sin ^4(x)$
avec $\sin ^2(x) = 1 - \cos^2(x)$
$\cos(4\, x) = \cos^4(x) - 6 \, \cos^2(x) (1 - \cos^2(x))$
$\qquad \qquad \qquad \quad +\, (1 - \cos ^2(x)) ^2$
après simplifications :
$\boxed{\cos(4\, x) =8\, \cos^4(x) - 8 \cos^2(x) + 1 }$ .

Question 2 :
On pose $x = \displaystyle \frac {\pi} 8$ , $4\, x = \displaystyle \frac {\pi} 2$
donc $0 =8\, \cos^4(x) - 8 \cos^2(x) + 1$ .
En posant $t = \cos^2(x)$ alors $t \in [0 , 1]$ , on résout l’équation $8\, t ^2 - 8\, t + 1 = 0$
de discriminant $\Delta = 64 - 32 = 32$
on a deux racines $\qquad t_1 = \displaystyle \frac {8 + 4 \sqrt{2} } {16} = \frac {2 + \sqrt{2} } 4$
$\quad \;$ et $t_2 = \displaystyle \frac {2 - \sqrt{2}} 4 < \frac 1 2$ .
comme $\cos(\pi/8) > \cos(\pi/4) > 0$ , $\cos^2(x) > \displaystyle \frac 1 2$ , on doit éliminer la valeur $t_ 2$ et donc $\cos^2(x) = \displaystyle \frac {2 + \sqrt{2}} 2$ .
Sachant que $\cos(x) > 0$ , on obtient $\qquad \qquad \displaystyle \boxed{\cos \left ( \frac {\pi} 8 \right ) = \sqrt{\frac {2+ \sqrt{2}} 2 } }$ .

Correction de l’exercice sur la linéarisation en Terminale

$\cos^4 (x) + \sin ^4 (x) = (\cos^2(x) + \sin ^2(x) ) ^2$ $\qquad \qquad \qquad \qquad - 2\, \sin^2 (x) \, \cos^2(x)$
$\qquad \qquad = 1 - \displaystyle \frac 1 2 \sin ^2(2 \, x)$
$\qquad \qquad = 1 - \displaystyle \frac 1 4 \left ( 1 - \cos(4 \, x) \right )$
$\qquad \qquad = \displaystyle \frac 3 4 + \frac { \cos(4 \, x)} 4$

L’équation est équivalente à
$\displaystyle \cos(4 \, x) = \frac {\sqrt{3}} 2$
ssi $\displaystyle \exists \, k \in \mathbb{Z} \, , \, 4 \, x = \frac {\pi } 6 + 2 \, k \, \pi$
ou $\displaystyle \exists \, p \in \mathbb{Z} \, , \, 4 \, x = - \frac {\pi } 6 + 2 \, k \, \pi$
ssi $\displaystyle \exists \, k \in \mathbb{Z} \, , x = \frac {\pi } {24} + \frac {k \, \pi} 2$
ou $\displaystyle \exists \, p \in \mathbb{Z} \, , x = - \frac {\pi } {24} + \frac {p \, \pi} 2$

Si l’on cherche les solutions dans $[0 , 2\, \pi[$ , ce sont les réels
$\qquad \displaystyle \frac {\pi} {24} ,\, \frac {11\,\pi} {24} ,\, \frac {13 \pi} {24} ,\,\frac {23\, \pi} {24} ,\,\frac {25\,\pi} {24}$
$\qquad \displaystyle \frac {35\, \pi} {24} ,\,\frac {37 \pi} {24} \, ,\, \frac {47\, \pi} {24}$ .

Correction de l’exercice sur la transformation de $a\,\cos(x) + b \, \sin(x)$

$a + \textrm{i} \, b$ a pour module $\sqrt{a^2 + b ^2}$ et un argument $\varphi$ et donc $a + \textrm{i} \, b = \sqrt{a^2 + b ^2} \; \textrm{e} ^{\textrm{i} \,\varphi }$
alors $a = \sqrt{a^2 + b ^2}\, \cos(\varphi )$ et $b = \sqrt{a^2 + b ^2} \, \sin( \varphi )$
$a\, \cos(x) + b\, \sin(x) =$ $\sqrt{a^2 + b ^2} \left ( \cos(x) \,\cos( \varphi) + \sin(x) \, \sin(\varphi) \right )$
$a\, \cos(x) + b\, \sin(x) = \sqrt{a^2 + b ^2} \, \cos(x - \varphi )$

L’option maths expertes augmente le coefficient au bac de la spécialité maths, les élèves de terminale n’ont alors pas le droit à l’erreur. Tous les chapitres de maths doivent ainsi être parfaitement acquis pour réussir au bac. Par conséquent pour s’assurer d’être au niveau, les élèves peuvent s’aider des différents cours en ligne de maths au programme de l’option maths expertes :

Pour vérifier les notes à obtenir pour valider une mention les élèves peuvent utiliser le simulateur de bac. Si le travail des élèves durant l’année est sérieux et régulier, les résultats au bac seront au rendez-vous et les élèves pourront ainsi intégrer les meilleures écoles d’ingénieurs et de commerce ou les meilleures prepa HEC ou scientifiques.

Exercices et corrigés : Les nombres complexes en Terminale

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2.Formes trigonométriques, nombres complexes :Terminale Maths Expertes

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3. La trigonométrie et les nombres complexes en Terminale Maths Expertes

Exercices avec $\cos(a \pm b)$ etc … en Terminale

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