Chapitres Maths en Terminale Générale

Nombres premiers et fermat en terminale : exercices

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Retrouvez les exercices corrigés sur le chapitre des nombres premiers et fermat au programme de maths en Terminale en option mathématiques expertes. Le niveau est exigeant et il faut s’entraîner régulièrement pour réussir et comprendre les notions.

Nombres premiers de la forme $4\, n + 1$ : exercice n°1

Soit $a$ un entier naturel pair non nul. Soit $p$ un nombre premier divisant $a^2 + 1$ .

Question 1 :
$p$ est de la forme $4\, n + 1$ ou $4\, n + 3$ avec $n \in \mathbb{N}$
Question 2 :
On suppose que $p = 4 \, n + 3$ avec $n \in \mathbb{N}$ .
Alors $(a^4) ^n \times a^2 \equiv 1\;\;[p]$ .
Question 3 :
En déduire qu’il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $p = 4\, n + 1$ .

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Nombres premiers et fermat : exercice n°2

Soit $N$ un entier supérieur ou égal à 2.
On pose $a = N !$

Question 1 :
Montrer qu’il existe un nombre premier $p > N$ divisant $a^2+1$ de la forme $4\, q + 1$ où $q \in \mathbb{N}^*$ .
(utiliser l’exercice précédent)
Question 2 :
Il existe une infinité de nombres premiers $p$ de la forme $4\, n + 1$ .

Nombres premiers et fermat : Système RSA : exercice n°3

Le nom du système de cryptage RSA provient des initiales des noms de ses inventeurs américains en 1977 : Ronald Rivest (informaticien), Adi Shamir (informaticien) et Leaonard Adleman (mathématicien).

Partie A : Arithmétique du système RSA

Soient $p$ et $q$ deux nombres premiers impairs distincts.
On note $N = p\, q$ et $n = (p - 1)(q - 1)$ .
On introduit un entier $c$ premier avec $N$ et tel que $1 < c < N$ .

Question 1 :
Montrer qu’il existe un entier $d$ unique tel que : $1 \leqslant d < n$ et $c\, d \equiv 1\;\; [n]$ .
Question 2 :
Le but de cette question est de prouver que pour tout $a \in \mathbb{N}$ et $a < N$ , $\qquad \qquad a^{c\,d} \equiv a \;\; [N].$
On remarque que la relation est évidente si $a = 0$ .
Dans la suite, on suppose $a$ non nul.a) Dans le cas où $a$ et $N$ sont premiers entre eux, montrer que $p$ (puis $q$ ) divise $a ^{c \, d} -a$ .
Conclure que l’affirmation proposée est juste.

Correction exercice n°1 : Nombres premiers de la forme $4\, n + 1$ .

Question 1 : $a^2 + 1$ est impair. Si $p$ est un nombre premier divisant $a^2 + 1$ , $p \neq 2$ , alors $p$ est impair donc s’écrit $4\,n + 1$ ou $4\,n + 3$ avec $n \in \mathbb{N}$ .
Question 2 : Si $p$ divisait $a$ , alors il diviserait $a ^2$ , donc il diviserait $(a^2 + 1) - a^2 = 1$ , ce qui est impossible.
$p$ est un nombre premier qui ne divise pas $a$ , par le théorème de Fermat, $a ^{p - 1} \equiv 1 \; \;[p]$ soit $a ^{4 n + 2} \equiv 1 \;\; [p]$ car $p - 1 = 4\, n + 2$ .
Question 3 : On raisonne par l’absurde et on suppose que $p = 4\, n + 3$ où $n \in \mathbb{N}$ . $p$ est un nombre premier divisant $a^2 + 1$ .
On a vu en question 2 que $\qquad (a^4) ^n \times a^2 \equiv 1\;\;[p]$ . (*) $p$ divise $a ^2 + 1$ , donc $a ^2 \equiv - 1 \;\;[p]$
puis $(a ^2) ^2 \equiv 1 \;\;[p]$
et $(a^4) ^n \times a^2 \equiv 1 \times (-1) \;\;[p]$ .En utilisant (*), $1 \equiv - 1 \;\; [p]$ , donc $p$ divise $2$ ce qui est exclu.
On aboutit à une contradiction.Si $p$ est un nombre premier qui divise $a ^2 + 1$ , alors il existe $n \in \mathbb{N}^*$ tel que $p = 4 \, n + 1$ .

Correction exercice n°2 : Nombres premiers et fermat

Question 1 : $\ast$ $a$ est un entier pair au moins égal à 2. $a ^2 + 1 \geqslant 5$ , l’entier impair $a^2 + 1$ admet un diviseur premier $p$ .Ce diviseur est impair donc au moins égal à 3. $\ast$ Si l’on avait $p \leqslant N$ , $p$ diviserait $a = N!\,$ , donc $p$ diviserait $a^2$ , alors $p$ diviserait $1 = (a^2 + 1) - a^2$ ce qui est impossible. On a prouvé que $p > N$ . $\ast$ En utilisant l’exercice précédent, $p$ divise $a^2 + 1$ donc $p$ est de la forme $4\, n + 1$ où $n \in \mathbb{N}^*$ .
Question 2 : On suppose que le nombre d’entiers premiers de la forme $4 \,n + 1$ est fini, on les note $4\, n_1 + 1\,,\, \cdots \,,\, 4 \, n _ k + 1$ avec $n_1< n_2 < \cdots < n_k\,$ . Soit $N = 4\, n_k +4$ . $N$ est pair. Par la question précédente, si $a = N!\,$ , $a^2 +1$ admet un diviseur premier $p > N$ de la forme $4\, n + 1$ . vérifiant $4 \, n + 1 > 4 n _k +4$ , donc $n > n _ k + 3/4$ et comme ce sont des entiers, $n \geqslant n _k + 1$ . On a donc obtenu un nombre premier de la forme $4\, n + 1$ différent des $k$ nombres premiers de la forme $4\, n_i + 1$ . On aboutit à une contradiction. Le nombre d’entiers premiers de la forme $4\, n + 1$ est infini.

Correction exercice n°3 : Nombres premiers et fermat : Système RSA

Question 1 : $\bullet$ Existence
Comme $c$ et $n$ sont premiers entre eux, il existe $u$ et $v \in \mathbb{Z}$ tels que $c \, u + n \, v = 1$ alors $c\, u = 1 - n \, v$ , donc $c\, u \equiv 1\;\; [n]$ .Par division euclidienne de $u$ par $n$ , il existe $q \in \mathbb{Z}$ et $d \in [[ 0 , n - 1]]$ tels que
$u = n \, q + d$ , donc $u \equiv d \;\ [n]$
puis $c \, u \equiv c \, d \; \; [n]$ donc $c\, d \equiv 1\;\; [n]$ .On ne peut pas avoir $d = 0$ car on aurait $0 \equiv 1 \;\; [n]$ . Alors $1 \leqslant d < n$ $\bullet$ Il reste à prouver l’unicité
Si $d' \in \mathbb{N}$ vérifie
$\qquad 1 \leqslant d' < n$ et $c\, d' \equiv 1 \;\; [n]$
alors $c\, (d - d')\equiv 0 \;\; [n]$ .
$n$ divise $c\, (d - d')$ , $n$ et $c$ sont premiers entre eux, donc $n$ divise $d - d'$ (par le théorème de Gauss).
Il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $d - d' = k\, n$
$- n < d - d' < n$ soit $- n < k\,n < n$
donc $k = 0$ et $d - d' = 0$ .
On a prouvé l’unicité de $d$ .
Question 2 :On rappelle $c \, d \equiv 1 \: \: n$ donc il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que
$\quad c\, d = 1 + k \, n = 1 + k\,(p - 1) \,(q- 1)$ On suppose que $a$ et $N = p\,q$ sont des entiers premiers entre eux. $\ast$ $a$ et $p$ sont alors premiers entre eux donc $a ^{p - 1} \equiv 1 \;\; [p]$ par le petit théorème de Fermat.
La relation $a ^{c \, d} = a ^{1 + k \, (p-1) \, (q-1) }$
$a ^{c\, d} = a \, \times \left ( a ^{p-1} \right ) ^{k(q - 1)}$
donne
$a ^{c\, d} \equiv a \, \times \left ( 1 \right ) ^{k(q - 1)}\; \;\; [p]$
$a ^{c\, d} \equiv a \;\; [p]$ , donc $p$ divise $a ^{c\, d} - a$ . $\ast$ En échangeant $p$ et $q$ , $q$ divise $a ^{c\, d} - a$ . $\ast$ Les entiers premiers entre eux $p$ et $q$ divisent $a ^{c\, d} - a$ , donc $N = p\, q$ divise $a ^{c\, d} - a$ ce qui donne $\boxed{a^{c\, d} \equiv a \;\; [N].}$

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