Chapitres Maths en Terminale Générale
PGCD en terminale : exercices corrigés
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Terminale
Vous devez vous préparez au maximum à l’épreuve de mathématiques en maths expertes. Pour cela, retrouvez ci-dessous les exercices sur le PGCD en terminale.
PGCD : exercice n°1
Vrai ou faux ?
- Si , divise
- Soient tels que ,
si et
PGCD codage : exercice n°2
- Question 1 :
Dans cette question, on choisit et .- a. Par quelle lettre code-t-on le ?
- b. Citer le théorème qui permet de justifier l’existence de deux entiers relatifs et tels que .
Donner sans justifier un couple qui convient avec . - c. Démontrer que équivaut à .
- Question 2 :
Dans cette question, on choisit et est inconnu.
On sait que est codé par .
Déterminer la valeur de (on démontrera que est unique).
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PGCD Utilisation de congruences : exercice n°3
On se propose de déterminer l’ensemble des entiers relatifs vérifiant le système :
- Recherche d’un élément de .
On désigne par un couple d’entiers relatifs tel que .-
- Question 1 :
Justifier l’existence d’un tel couple .
En donner un avec . - Question 2 :
On pose .
appartient à . - Question 3 :
Les questions précédentes permettent de donner un exemple d’entier appartenant à
- Question 1 :
-
PGCD suite : exercice n°4
Soit la suite numérique définie par et pour tout entier , .
-
-
- Question 1
Pour tout entier naturel , et sont premiers entre eux. - Question 2
Pour tout entier naturel , . - Question 3
Pour tous entiers naturels et tels que , .
- Question 1
-
PGCD : correction exercice n°1
- On obtient :
donc divise , donc divise
(relation de Bezout ),
donc par le théorème de Gauss, divise . - Il existe tel que ,
comme divise , divise et , donc divise par le théorème de Gauss.On écrit avec , alors donc .
PGCD : correction exercice n°2
- Question 1 :
a) À la lettre , on associe l’entier . Donc et , ce qui donne la lettre .
b) Les entiers et sont premiers entre eux ( diviseur strict de ne divise pas 26).
Le théorème de Bezout affirme qu’il existe deux entiers relatifs et tels que .
Il est évident que
donc le couple convient.
c) On suppose que , donc en multipliant par ,
comme , donc et ,
donc .
On suppose que .
.
Comme et
soit .
On a établi l’équivalence des propriétés
et .
- Question 2 :
Pour , on a
donc soit .
On cherche tel que divise .
Il est évident que convient.
On démontre que c’est la seule solution
On cherche tel que et on sait que .
Par différence, , puis comme et sont premiers entre eux, alors divise (Gauss), il existe tel que et comme , alors et donc .
On peut vérifier que .
est bien codé en .
PGCD utilisation de congruences : correction exercice n°3
- Question 1 : et sont premiers entre eux, le théorème de Bezout affirme l’existence de tel que .
On peut remarquer que
donc et conviennent. Si l’on n’a pas l’intuition, il faut utiliser la remontée de l’algorithme d’Euclide :
(1)
(2)
donc par (2) :
et par (1) :
soit . - Question 2 :On suppose que . .
donc . .
donc . appartient à . - Question 3 : Comme on avait vu que l’on pouvait choisir et
alors .
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