Chapitres Maths en Terminale Générale

PGCD en terminale : exercices corrigés

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Vous devez vous préparez au maximum à l’épreuve de mathématiques en maths expertes. Pour cela, retrouvez ci-dessous les exercices sur le PGCD en terminale.

PGCD : exercice n°1

Vrai ou faux ?

Si $n \in \mathbb{N}^*$ , $n + 1$ divise $\displaystyle \binom {2 n} n$
Soient $x, a , m , n \in \mathbb{N}^*$ tels que $\qquad \qquad \textrm{PGCD}(m ,\, n) = 1$ ,
si $x \equiv a \; \; [n]$ et $x \equiv a \; \; [m]$
$\qquad \qquad x \equiv a \; \; [m \, n]$

PGCD codage : exercice n°2

Question 1 :
Dans cette question, on choisit et .
- a. Par quelle lettre code-t-on le $V$ ?
- b. Citer le théorème qui permet de justifier l’existence de deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $9\, u +26\,v = 1$ .
  Donner sans justifier un couple $(u, v)$ qui convient avec $1 \leqslant u \leqslant 25$ .
- c. Démontrer que $x' \equiv 9\,x +2\;\; [26]$ équivaut à $x \equiv 3\,x' +20 \;\; [26]$ .
Question 2 :
Dans cette question, on choisit $q = 2$ et $p$ est inconnu.
On sait que $J$ est codé par $D$ .
Déterminer la valeur de $p$ (on démontrera que $p$ est unique).

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PGCD Utilisation de congruences : exercice n°3

On se propose de déterminer l’ensemble $\mathcal{S}$ des entiers relatifs $n$ vérifiant le système : $\left \{ \begin{matrix} n \equiv 9 \;\; [17]\\ n \equiv 3 \;\; [5] \end{matrix} \right.$

Recherche d’un élément de .
On désigne par un couple d’entiers relatifs tel que .
- - Question 1 :
    Justifier l’existence d’un tel couple $(u ,\, v)$ .
    En donner un avec $1\leqslant v < 17$ .
  - Question 2 :
    On pose $n_0 = 3\times 17\, u +9\times 5\, v$ .
    $n_0$ appartient à $\mathcal{S}$ .
  - Question 3 :
    Les questions précédentes permettent de donner un exemple d’entier $n_0$ appartenant à $\mathcal{S}$

PGCD suite : exercice n°4

Soit $(u_n)_n$ la suite numérique définie par $u_0 = 0$ et pour tout entier $n$ , $\qquad \quad u_{n + 1} = 2\, u_n + 1$ .

- - Question 1
    Pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1}$ et $u_n$ sont premiers entre eux.
  - Question 2
    Pour tout entier naturel $n$ , $u_n = 2^n -1$ .
  - Question 3
    Pour tous entiers naturels $n$ et $p$ tels que $n > p> 0$ , $\qquad u_n = u_p \left ( u_{n - p} + 1 \right ) + u_{n - p}\,$ .

PGCD : correction exercice n°1

On obtient :
$\displaystyle n \, \binom {2 n } n = n\, \dfrac {(2\, n)!} {n! \times n!} = \dfrac {(2\, n)!} {(n - 1)! \times n!}$ $\displaystyle n \,\binom{2\,n} n = (n + 1) \dfrac {(2\, n)!} {(n - 1)! \times (n + 1)!}$
donc $\displaystyle n \, \binom {2 n } n = (n + 1) \, \binom {2 n } {n - 1}$ $n + 1$ divise $\displaystyle (n + 1) \, \binom {2 n } {n - 1}$ , donc $n + 1$ divise $\displaystyle n \, \binom {2 n } n$
$\textrm{PGCD}(n + 1,\, n) = 1$ (relation de Bezout $1 \times {(n + 1)} + (-1)\, n = 1$ ),
donc par le théorème de Gauss, $n + 1$ divise $\displaystyle \binom {2 n} n$ .
Il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x - a = k \, n$ ,
comme $m$ divise $x - a$ , $m$ divise $k\, n$ et $\textrm{PGCD}(m ,\, n) = 1$ , donc $m$ divise $k$ par le théorème de Gauss.On écrit $k = k' \, m$ avec $k' \in \mathbb{N}$ , alors $x - a = k' \, m\, n$ donc $x \equiv a \; \; [m \, n]$ .

PGCD : correction exercice n°2

Question 1 :

a) À la lettre $V$ , on associe l’entier $x = 21$ . Donc $21 \times 9 + 2= 191 = 26 \times 7 + 9 \equiv 9 \;\;[26]$ et $x' = 9$ , ce qui donne la lettre $J$ .

b) Les entiers $9$ et $26$ sont premiers entre eux ( $3$ diviseur strict de $9$ ne divise pas 26).
Le théorème de Bezout affirme qu’il existe deux entiers relatifs $u$ et $v$ tels que $9\, u +26\,v = 1$ .
Il est évident que $3 \times 9 + (-1) \times 26 = 1$
donc le couple $(3 , - 1)$ convient.

c) $\bullet$ On suppose que $x' \equiv 9\,x +2\;\; [26]$ , donc en multipliant par $3$ ,
$\qquad \quad 3\, x ' \equiv 27\,x +6\;\; [26]$
comme $27 \equiv 1 \;\; [26]$ , $3\, x ' \equiv x +6\;\; [26]$ donc $x \equiv 3\, x ' - 6\;\; [26]$ et $20\equiv - 6\;\; [26]$ ,
donc $x = 3\,x' +20 \;\; [26]$ .

$\bullet$ On suppose que $x \equiv 3\,x' +20 \;\; [26]$ .
$9\, x \equiv 3 \times 9 \, x ' + 180 \;\; [26]$ .
Comme $27 \equiv 1 \;\; [26]$ et $180 = 7\times26 - 2$
$9\, x \equiv x ' -2 \;\; [26]$ soit $x' \equiv 9\, x + 2 \;\; [26]$ .

On a établi l’équivalence des propriétés
$x' \equiv 9\,x +2\;\; [26]$ et $x \equiv 3\,x' +20 \;\; [26]$ .

Question 2 :

Pour $x = 9$ , on a $x ' = 3$
$x ' \equiv p\, x + 2 \;\; [26]$
donc $3 \equiv 9\, p + 2 \;\; [26]$ soit $9\, p \equiv 1 \; \; [26]$ .

On cherche $p$ tel que $26$ divise $9\, p - 1$ .
Il est évident que $3$ convient.

On démontre que c’est la seule solution
On cherche $k\in \mathbb{Z}$ tel que $9\, p - 1 = 26\, k$ et on sait que $3 \times 9 - 1 = 0$ .
Par différence, $9\, (p - 3) = 26\, k$ , puis comme $26$ et $3$ sont premiers entre eux, alors $26$ divise $p - 3$ (Gauss), il existe $k' \in \mathbb{Z}$ tel que $p = 3 + 26 \,k'$ et comme $0 \leqslant p \leqslant 25$ , alors $k' = 0$ et donc $p = 3$ .

On peut vérifier que $\qquad 9 \times 3 + 2 = 26 + 3 \equiv 3 \;\;[26 ]$ .

$J$ est bien codé en $D$ .

PGCD utilisation de congruences : correction exercice n°3

Question 1 : $17$ et $5$ sont premiers entre eux, le théorème de Bezout affirme l’existence de $(u ,\, v)\in \mathbb{Z}^2$ tel que $17\, u +5\, v = 1$ .
On peut remarquer que $\qquad \quad 5 \times 7 - 2\times 17 = 1$
donc $u = -2$ et $v = 7$ conviennent. Si l’on n’a pas l’intuition, il faut utiliser la remontée de l’algorithme d’Euclide :
(1) $17 = 3 \times 5 + 2$
(2) $5 = 2 \times 2 + 1$
donc par (2) : $1 = 5 -2 \times\boxed{ 2}$
et par (1) : $1 = 5 - 2\, (17 - 3 \times 5)$
soit $1 = 17 \times (-2) + 5 \times 7$ .
Question 2 :On suppose que $n_0 = 3\times 17\, u +9\times 5\, v$ . $\ast$ $n_0 \equiv 9\times 5\, v\;\; [17]$ .
$n_0 \equiv 9\times (1 - 17 \, u) \;\; [17]$
donc $n_0 \equiv 9 \;\; [17]$ . $\ast$ $n_0 \equiv 3\times 17\, u \;\; [5]$ .
$n_0 \equiv 3\times (1 - 5 \, u) \;\; [5]$
donc $n_0 \equiv 3 \;\; [5]$ . $n_0$ appartient à $\mathcal{S}$ .
Question 3 : Comme on avait vu que l’on pouvait choisir $u = - 2$ et $v = 7$
alors $n _ 0 = - 3 \times 17 \times 2 + 9\times 5 \times 7 = 213$ .

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