Chapitres Maths en Terminale Générale
Exercices et corrigés : la loi des grands nombres
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Terminale
Bien se préparer avec des exercices et corrigés sur le chapitre de la loi des grands nombres en terminale spécialité maths est essentiel pour bien réussir l’épreuve du bac.
1. Variables aléatoires en terminale spé Maths
Exercice 1 : l’espérance et la variance de variables aléatoires
3 enfants achètent un cornet de glace à une boule à leur marchand préféré : « Fanfan » à Aix les Bains.
10 parfums sont disponibles.
Question 1 :
Quelle est la loi du nombre de parfums choisis par les 3 enfants ?
Question 2 :
Calculer l’espérance et la variance de , donner les résultats sous forme décimale, séparés par un point virgule
Deux enfants (une fille et un garçon) demandent maintenant chacun un cornet à 2 boules, les 2 boules peuvent être de même parfum et 10 parfums sont disponibles.
On note le nombre de parfums choisis.
Question 3 :
Trouver la loi de .
Question 4 :
Donner une valeur approchée à près de l’espérance et la variance de .
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Exercice 2 : Loi uniforme sur
Question 1 :
On suppose que l’on tire au hasard un numéro entre et .
On note le nombre obtenu.
Déterminer la loi de .
On dit que suit une loi uniforme sur .
Calculer son espérance et sa variance.
On pourra utiliser .
Question 2 :
On tire au hasard un deuxième numéro entre et .
On note la somme des deux numé- ros obtenus, déterminer l’espérance et la variance de .
Question 3 :
On suppose dans cette question que .
Donner la loi de .
Question 4 :
Soient et deux entiers relatifs tels que . On dit que suit une loi uniforme sur , lorsque
et pour tout , .
a. Si suit une loi uniforme sur , suit une loi uniforme sur
b. En déduire l’espérance et la variance de .
2. Concentration, loi des grands nombres en terminale
Exercice 3 : Inégalités de Bienaymé-Tchebychev
On tire des boules avec remise dans une urne contenant de boules blanches.
Question 1 :
Quelle est la loi de la variable donnant le nombre de boules blanches obtenues après 20 tirages ?
Question 2 :
a) En utilisant l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, donner une minoration de la probabilité de tirer moins de 16 boules blanches mais plus de 8.
b) Calculer , à près, en utilisant la loi de et discuter la minoration obtenue dans la question précédente.
Exercice 4 Inégalités de concentration
Quand nous pourrons voyager en avion sans problème …
Dans un avion, une personne est autorisée à mettre en soute un bagage de kg ou moins, sans pénalité.
Une compagnie aérienne a compilé la masse de tous les bagages enregistrés sur une année et a constaté que la masse d’un bagage est donnée en kg par une variable aléatoire d’espé- rance 22 et d’écart-type 1,4.
Question 1 :
Sur un avion de passagers suppo- sés indépendants, on appelle la masse du bagage du passager et la variable aléatoire donnant la moyenne des masses des bagages des passagers.
Minorer .
Question 2 :
Si la masse totale de bagages est inférieure ou égale à tonnes, alors l’avion embarque des bagages d’un autre vol et si la masse totale de bagages est supérieure ou égale à tonnes, alors une partie des bagages de l’avion est envoyée sur un autre vol.
Majorer la probabilité (à près) que cet avion contienne des bagages d’un autre vol ou ne contienne pas les bagages de tous ses passagers.
3. Les variables aléatoires pour se préparer à la prépa
Exercice 5 : Remplir des urnes selon les variables aléatoires
Soit . On répartit boules numérotées de à dans urnes numérotées de à .
Question 1 :
Si , on note la variable aléatoire égale à 1 si l’urne est vide et 0 si elle est non vide.
Quelle est la loi de ?
Question 2 :
On note le nombre d’urnes vides.
Déterminer l’espérance de .
Question 3 :
Dans le cas , déterminer la loi de . Calculer sa variance.
Question 4 :
On suppose de nouveau .
Si , on note si l’on place la boule dans l’urne .
On note la somme des numéros dans l’urne .
a. .
b. Déterminer et .
4. Correction des exercices sur la loi des grands nombres en terminale
Correction exercice sur la loi et variance de variable aléatoire de spé maths en terminale
Question 1 :
Il est conseillé de terminer par
.
Le nombre de choix possibles est égal au nombre de -listes avec répétition de l’ensemble des 10 parfums.
Donc .
Pour réaliser l’événement , il suffit de choisir le parfum plébiscité par les 3 enfants : il y a 10 choix de ce parfum, donc .
alors .
Pour réaliser l’événement , on doit choisir trois parfums différents.
C’est l’ensemble des – listes sans répétition des 10 parfums.
.
.
On peut donc tout simplement écrire que
.
Si l’on veut effectuer le calcul de ,
On choisit le parfum demandé 2 fois : 10 choix
On choisit le parfum demandé 1 fois : 9 choix
On choisit l’enfant demandant ce parfum : 3
alors et
Question 2 :
.
.
.
.
Question 3 :
.
On détermine le nombre de choix de parfums d’un enfant :
10 choix du même parfum pour les deux boules
choix de 2 parfums parmi 10 : nombre de parties de 2 éléments parmi 10 .
Chaque enfant a donc choix pour ses parfums.
et
Calcul de
La fille choisit ses 2 parfums parmi 10 choix
Le garçon choisit ses 2 parfums parmi 8 : choix
donc
et .
Calcul de
Un parfum est choisi deux fois, il peut être choisi par le même enfant ou par les deux enfants.
On écrit que avec :
: « un enfant choisit 2 fois le même parfum et l’autre enfant choisit 2 autres parfums différents et différents du premier »
… On choisit l’enfant ayant un seul parfum : 2 choix
… On choisit ce parfum : 10 choix
… Le deuxième enfant choisit 2 parfums parmi 9 : choix
.
: les deux enfants choisissent le même parfum et un deuxième parfum différent du premier et différent du deuxième parfum de l’autre »
… On choisit le parfum choisi 2 fois : 10 choix
… On choisit le 2 ème parfum de la fille : 9 choix
… On choisit le 2 ème parfum du garçon 8 choix
La méthode la plus simple est d’écrire que
Si l’on veut faire le calcul de , on écrit ,
: « les deux enfants ont choisi les mêmes deux parfums «
il y a choix de ces 2 parfums parmi 10
donc .
: » les deux enfants ont une glace d’un seul parfum et les 2 parfums sont distincts. »
la fille a une glace à 2 boules de même parfum : 10 choix,
le garçon a une glace à 2 boules d’un même parfum différent du choix de la fille : 9 choix
donc .
: « un parfum est choisi 3 fois et un dernier une fois »
On choisit le parfum choisi 3 fois : 10 choix
on choisit le parfum choisi une fois : 9 choix
on choisit l’enfant prenant 2 parfums : 2 choix
donc .
.
et on retrouve .
En résumé,
Question 4
.
.
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Correction exercice 2 : Loi uniforme sur en terminale
Question 1 :
Loi de
Pour tout , .
Espérance
.
Calcul de la variance
.
Question 2 :
On note la variable aléatoire égale au deuxième numéro.
.
Les variables et ont même loi et sont indépendantes,
.
.
Question 3 :
Soit ,
par indépendance de et .
avant de remplacer, il faut vérifier que
ssi et
on rappelle que , on distingue deux cas :
, les conditions précédentes s’écrivent
et
donc on obtient
, les conditions précéden- tes s’écrivent (on rappelle que )
et
donc on obtient
.
En résumé,
Si ,
Si , .
Question 4 :
a) prend toute valeur entière entre et ssi prend toute valeur entière entre et .
Et si ,
suit une loi uniforme sur avec .
b) où suit une loi uniforme sur avec .
.
.
Correction exercice 3 : Inégalités de Bienaymé-Tchebychev
Question 1 :
On effectue épreuves indépendantes et identiques de probabilité de succès égale à .
Le nombre de boules blanches obtenues suit une loi binomiale de paramètres et .
Question 2 :
a)
et .
En utilisant l’inégalité de Tchebychev,
.
On termine l’application numérique :
donc .
b)
ma calculatrice préférée donne environ :
En Python, on peut utiliser la fonction Binomiale(n, p, a, b) écrite dans l’exercice 6
>>> Binomiale(20, 0.6, 9, 15)
0.893
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne en général une majoration ou minoration plus ou moins lointaine de la valeur exacte : elle ne prend pas en compte la loi de , seulement son espérance et sa variance.
Correction exercice 4 : Inégalités de concentration
Question 1 :
est la moyenne empirique d’un échantillon de taille de variables aléatoires de même loi que .
Soit avec .
L’énoncé donne :
et .
On demande
Puis en utilisant l’inégalité de concentration,
On termine l’application numérique
Question 2 :
La variable égale à la masse totale est .
On cherche à majorer la probabilité notée :
en divisant par
Par l’identité de concentration
On passe à l’application numérique
La probabilité demandée est inférieure ou égale à , il y a donc peu de chances pour qu’il y ait des problèmes de bagages.
Correction exercice 5 : Remplir des urnes selon les variables aléatoires
Question 1 :
Si , on note : « la boule numéro n’est pas placée dans l’urne .
.
Ce sont événements indépendants et .
donc
et .
Question 2 :
donc
Les variables ont même loi :
.
Question 3 :
On suppose dans cette question que .
On modélise par l’ensemble des -listes avec répétition de (l’ensemble des numéros des 3 urnes) donc .
et .
est l’événement « toutes les boules sont mises dans la même urne «
.
.
est l’événement « toutes les boules sont mises dans 2 urnes. »
Pour réaliser ,
on choisit les 2 numéros et des urnes non vides : il y a
choix
on détermine le nombre de -listes avec répétition de , différentes des 2 listes dont tous les éléments sont égaux à ou à : il y en a
.
.
Le calcul direct de est difficile, il est donc préférable de raisonner ainsi.
.
On retrouve bien la valeur obtenue en question 2 : .
.
.
Question 4 :
a)La variable est nulle si le jeton n’est pas dans l’urne et égale à si le jeton est dans l’urne .
donc est la variable aléatoire égale à la somme des numéros dans l’urne .
b) On rappelle que .
Loi de
(car il y a choix d’urne pour le jeton ).
Calcul de
donc et par propriété des variables de Bernoulli.
Puis par linéarité de l’espérance,
.
Calcul de
Les variables sont indépendantes car associées à des épreuves indépendantes (mettre la boule numéro dans une des urnes).
Comme les variables sont indépendantes :
.