Chapitres Maths en Terminale Générale

Cours sur les fonctions logarithmes en Terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Résumé de cours : les fonctions logarithmes au programme de Terminale

Avec la réforme du bac, les programmes du lycée ont radicalement changé. Notamment en ce qui concerne le programme de maths en terminale qui est encore plus difficile que les années précédentes. Les notions sont plus nombreuses et les chapitres sont traités plus en profondeur. Pour s’assurer d’avoir de bons résultats au bac les élèves de terminale devront faire preuve de beaucoup de sérieux et devront fournir un grand travail personnel, car les mathématiques représentent un fort coefficient au bac, vous pouvez opter pour un prof de maths pour vous assurer la réussite au bac.

1. Définition de la fonction logarithme en Terminale

$\bullet$ Pour tout réel $x > 0$ , il existe un unique réel $y$ tel que $x = \textrm{e} ^x$ .
On note $y = \ln(x)$ .

On définit ainsi une fonction appelée fonction logarithme (népérien) et notée
$\ln : \mathbb{R} ^{+*} \to \mathbb{R}$ .
$\quad y = \ln(x)$ et $x > 0$ ssi $x = \textrm{e} ^y$ .

$\bullet$ Pour tout $x > 0$ , $\textrm{e} ^{\ln(x)} = x$ .
$\;\;$ Pour tout réel $x$ , $\ln (\textrm{e} ^x) = x$ .
On dit que les fonctions exponentielle et logarithme sont réciproques l’une de l’autre.

$\bullet$ Les graphes des fonctions exponentielle et logarithme sont symétriques par rapport à la droite d’équation $y = x$ .

$\ln(1) = 0$ (car $\textrm{e} ^0 = 1$ ) et $\ln(\textrm{e}) = 1$ (car $\textrm{e} ^1 = \textrm{e}$ )

On en déduit que la fonction $\ln$ est strictement croissante sur $\mathbb{R}^{+*}$
car si $0 < a < b$ , $\textrm{e} ^{\ln(a)} < \textrm{e} ^{\ln(b)}$ et par stricte croissance de la fonction exponentielle : $\ln(a) < \ln(b)$ .

Si $a> 0$ et $b > 0$ ,
$a = b$ ssi $\ln(a) = \ln(b)$ .

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2. Propriétés algébriques de la fonction logarithme en Terminale

Soient $a$ et $b$ des réels strictement positifs.
$\bullet$ $\ln(a \, b) = \ln(a) + \ln(b)$
$\bullet$ $\displaystyle \ln \left (\frac 1 a \right ) = - \ln (a)$
$\bullet$ $\displaystyle \ln \left (\frac a b \right ) = \ln(a) - \ln (b)$
$\bullet$ si $n \in \mathbb{Z}\,$ , $\ln(a ^ n) = n\; \ln(a)$ .
$\bullet$ $\displaystyle \ln \left ( \sqrt{a} \right ) = \frac 1 2 \, \ln(a)$

Avant d’écrire $\qquad \ln(a \, b) = \ln(a) + \ln(b)$ ,
vérifier que $a > 0$ et $b > 0$ .
Sinon, il faut écrire $\qquad \ln(a \, b) = \ln(\vert a \vert) + \ln(\vert b \vert)$ .
Même remarque pour la transformation de $\displaystyle \ln \left (\frac a b \right )$ que vous écrirez bien sûr $\ln(\vert a \vert ) - \ln(\vert b \vert )$ si vous n’avez pas $a > 0$ et $b > 0$ .

Si $a > 0$ , $\textrm{e} ^ {- \ln(a)} = \displaystyle \frac 1 a$
car $- \ln(a) = \ln(1/a)$ !

3. Dérivée de logarithme en Terminale

$\bullet$ La fonction $\ln$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{+^*}$ et si $x > 0$ , $(\ln)'(x) = \displaystyle \frac 1 x$ .

Conséquence : la fonction $\ln$ est continue sur $\mathbb{R} ^{+*}$ .

La démonstration à connaître :
On admet que la fonction $\ln$ est dérivable.
La fonction $u : x \mapsto \textrm{e} ^{\ln(x)}$ est dérivable sur $\mathbb{R}^{+*}$ par composition
et si $x > 0$ , $u'(x) = (\ln)'(x)\, \textrm{e} ^{\ln(x)}$
Mais comme $u : x \mapsto x$ , on a aussi $u'(x) = 1$
donc $1 = (\ln)'(x)\, \textrm{e} ^{\ln(x)} = (\ln)'(x)\; x$ soit $\boxed{\displaystyle (\ln)'(x) = \frac 1 x}$ .

$\bullet$ La fonction $f : \mathbb{R}^* \to \mathbb{R} , x \mapsto \ln ( \vert x \vert )$
est dérivable et pour tout $x \neq 0$ , $\qquad \qquad \qquad f'(x) = \displaystyle \frac 1 x$ .

Pas de valeur absolue dans la dérivée !

Démonstration :
Sur $\mathbb{R} ^{-*}$ , $f(x) = \ln(- x)$ , donc $f'(x) = \displaystyle \frac {- 1} {- x} = \frac 1 x$ .

$\bullet$ Si la fonction $u$ est dérivable sur l’intervalle $I$ et ne s’annule pas, on peut définir $f : I \to \mathbb{R}, x \mapsto \ln ( \vert u(x) \vert )$ .
$f$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x \in I$ , $f'(x) = \displaystyle \frac {u'(x)} {u(x)}$ .

$\bullet$ La fonction $\ln$ est concave sur $\mathbb{R}^{+*}$ et pour tout $x > 0$ , $\ln(x) \leqslant x - 1$ .
Ce qui peut aussi s’écrire, pour tout $x > - 1, \, \ln(x + 1) \leqslant x$ .

Démonstration :
$\bullet$ Une équation de la tangente en $(1 ,\, \ln(1))$ est puisque $f'(1) = 1$ , $y = f(1) + f'(1) (x - 1)$ soit $y = x - 1$ .
Le graphe d’une fonction concave est situé sous toutes les tangentes,
Donc $\ln(x) \leqslant x - 1$ .

On obtient l’autre inégalité en remplaçant $x$ par $x + 1$ .

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4. Les limites de fonctions logarithmes en Terminale

$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \ln(x) = + \infty$ .

$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+} \ln(x) = - \infty$ .

Démonstrations :
$\bullet$ Limite en $+\infty$ .
Par stricte croissance de la fonction $\ln$ , $\ln(2) > \ln(1)$ donc $\ln(2) > 0$ .
Soit $A > 0$ et $N \in \mathbb{N}^*$ tel que $N \, \ln(2) > A$ ssi $N > \displaystyle \frac {A} {\ln(2)}$ .
On note $B = 2 ^N$ .
Si $x \geqslant B$ , $\ln(x) \geqslant \ln(B)$
soit $\ln(x) \geqslant N \ln(2)$ donc $\ln(x) >A$ .
On a prouvé que l’intervalle $]A , + \infty[$ contient tous les $\ln(x)$ pour $x$ assez grand, donc on a prouvé que $\qquad \qquad \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \ln(x) = 0$ .

$\bullet$ Limite à droite en $0$ .
On pose $t = \displaystyle \frac 1 x$ , si $x \to 0^+$ , $t \to + \infty$
et $\displaystyle \ln(x) = - \ln(t)$ donc
$\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+} \ln(x)= \displaystyle \lim_{t \to + \infty} (- \ln(t)) = - \infty$ .

$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {\ln(x)} x = 0$

$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+} x \ln(x) = 0$ .

Démonstrations :
$\bullet$ Première limite
$\ast$ En utilisant le cours sur la fonction exponentielle.
On note $t = \ln(x)$ soit $x = \textrm{e}^t$ .
Si $x \to + \infty$ , $t \to + \infty$ .
$\qquad \qquad \displaystyle \frac {\ln(x)} x = \frac {t} {\textrm{e} ^t} = t \, \textrm{e} ^{-t}$ .
On sait que $\displaystyle \lim_{t \to + \infty} t \, \textrm{€} ^{ - t} = 0$ donc $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {\ln(x)} x = 0$ .

$\ast$ Sans utiliser le cours au programme de Première.
On note si $t \geqslant 1$ , $u(t) = t - \ln(t)$ .
$u$ est dérivable et si $t \geqslant 1$ , $\qquad u'(t) = \displaystyle 1 - \frac 1 t = \frac {t - 1} t \geqslant 0$ .

$u$ est croissante sur $[1 , + \infty[$ avec $u(1) = 1 > 0$
donc si $t \geqslant 1, t - \ln(t) > 0$ .
On applique cette inégalité en $t = \sqrt{x}$ avec $x \geqslant 1$ : $\displaystyle \ln( \sqrt{x} ) \leqslant \sqrt{x}$
et en divisant par $x \geqslant 1$ :
$\displaystyle \frac {\ln(x)} {2 \, x} \leqslant \frac {1} {\sqrt{x} }$ donc $\displaystyle 0 \leqslant \frac {\ln(x)} { x} \leqslant \frac {2} {\sqrt{x} }$ .

Par encadrement par deux fonctions de limite nulle en $+ \infty$ , on déduit que
$\qquad \quad \displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {\ln(x)} { x} = 0$ .

$\bullet$ Deuxième limite
On pose $t = \displaystyle \frac 1 x$ , si $x \to 0^+$ , $t \to + \infty$
et $\displaystyle x \, \ln(x) = \frac { - \ln(t)} t$
$\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+} x \, \ln(x) = \lim_{t \to + \infty} \frac { - \ln(t)} t = 0$ .

$\bullet$ Si $n \in \mathbb{N}^*$ , $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {\ln(x)} {x^n} = 0$
et $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} \frac {\ln(x)} {\sqrt{x} } = 0$ .

$\bullet$ Si $n \in \mathbb{N }^*$ , $\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+} x ^n \ln(x) = 0$
et $\displaystyle \lim_{x \to 0 ^+} \sqrt {x}\; \ln(x) = 0$ .

Démonstrations :
$\bullet$ Les limites en $+\infty$ .
$\ast$ Si $n \geqslant 2$ , il suffit d’écrire $\qquad \displaystyle \frac {\ln(x)} {x^n} = \frac {\ln(x)} {x}\times \frac {1} {x^{n - 1}}$ ,
on obtient un produit de deux fonctions de limite nulle.

$\ast$ En posant $t = \sqrt{x}$ , $\qquad \displaystyle \frac {\ln(x)} {\sqrt{x} } = \frac {\ln(t^2 )} {t } = \frac {2\, \ln(t)} {t }$ ,
on termine avec si $x \to + \infty$ , $t \to + \infty$ .

$\bullet$ Les limites en $0$ .
$\ast$ Si $n \geqslant 2$ , on écrit $\qquad \quad x ^n \ln(x) = x ^{n - 1} \, \left (x \, \ln(x) \right)$
et on a un produit de deux fonctions qui tendent vers 0.

$\ast$ On pose $t = \sqrt{x}$ (donc $x = t ^2$ ). Si $x \to 0 ^{+ }$ , il en est de même de $t$ .
$\sqrt{x} \, \ln(x) = \displaystyle 2\, {t}\, \ln(t)$ admet $0$ pour limite à droite en $0$ .

Un résultat utile à savoir démontrer
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\ln(1 + x) } x = 1$ .

Démonstration :
On introduit $f : x \mapsto \ln(1 + x)$ .
$f$ est dérivable sur $]0 \,,\, + \infty [$ et en reconnaissant un taux d’accroissement
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\ln(1 + x) } x = \lim_{x \to 0} \frac {f(x) - f(0) } x$
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\ln(1 + x) } x = f'(0) = 1$
car $f'(x) = \displaystyle \frac 1 {1 + x}$ .

Profitez-en également pour consulter et vous exercer sur les annales de maths au bac, plus vous commencerez votre préparation au bac tôt, moins vous aurez à réviser la semaine précédant l’examen. Vous pourrez ainsi en profiter pour cibler vos révisions sur les notions qui vous posent des difficultés, notamment à l’aide des divers cours en ligne de maths au programme de terminale générale, comme :

Pour être sûr d’obtenir les notes ciblées sur le simulateur du bac, il est vivement conseillé aux élèves de terminale de faire appel à un professeur particulier pour être accompagné pendant des cours particuliers de maths à domicile ou en ligne.