Chapitres Maths en Terminale Générale
Géométrie dans l’espace en terminale
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Terminale
Résumé de cours : La géométrie dans l’espace au programme en Terminale
Le coefficient au bac des mathématiques pour ceux ayant pris la spécialité en Terminale est très élevé. Bien connaître toutes les notions au programme de maths en Terminale est donc indispensable pour réussir en Terminale. Ce cours et ces exercices corrigés sur la géométrie dans l’espace, vous permettront dans un premier temps, de revoir les définitions, les propriétés et les méthodes de calculs essentielles, puis d’identifier vos points forts et vos points faibles avec les exercices. Si vous rencontrez des difficultés, n’hésitez pas à prendre des cours particuliers de maths à Paris. Pour les élèves qui souhaitent une vraie remise à niveau ou qui souhaitent aller plus loin dans le programme de terminale, il est également possible de suivre des stages de révisions pendant les vacances scolaires.
1. Rappels sur le produit scalaire dans le plan
Définition :
On appelle produit scalaire de deux vecteurs et , le réel défini par:
si aucun des deux vecteurs n’est nul
Autre expression du produit scalaire
Pour tous vecteurs et :
Dans un repère orthonormé, si les vecteurs et ont pour coordonnées respectives et , alors:
Propriétés
Pour tous vecteurs , et et pour tous réels , et :
(symétrie)
(multiplication par un scalaire)
(distributivité)}
Soient et deux points distincts. Un point vérifie si et seulement si il appartient au cercle de diamètre .
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2. Produit scalaire dans l’espace
Définition :
Soient et des vecteurs non nuls, et un point de l’espace. On note et les points de l’espace tels que et . Les points , et étant coplanaires, on définit le produit scalaire des vecteurs et comme étant le produit scalaire des vecteurs et dans tout plan passant par , et .
Si ou est le vecteur nul, alors le produit scalaire est nul.
Règle fondamentale :
Toutes les propriétés du produit scalaire établies en géométrie plane sont valables dans l’espace, pour des points et des vecteurs coplanaires.
Expression du produit scalaire dans un repère orthonormal
Si l’espace est rapporté à un repère orthonormal , alors le produit scalaire des vecteurs et vérifie:
3. Représentation paramétrique d’une droite de l’espace
Soient et un vecteur non nul. La droite passant par et de vecteur directeur est l’ensemble des points tels que:
Ce système est appelé une représentation paramétrique de la droite .
4. Equation cartésienne d’un plan
On se place dans un repère orthonormal .
Soient un point de l’espace et un vecteur non nul. Le plan passant par et de vecteur normal est l’ensemble des points tels que les vecteurs et soient orthogonaux, c’est-à-dire l’ensemble des points tels que:
Les plans admettant pour vecteur normal ont une équation cartésienne du type:
Toute équation du type , où , , et sont des réels non simultanément nuls, est une équation de plan, et est un vecteur normal à ce plan.
Soient et le plan d’équation . La distance du point au plan , notée , vérifie:
4. Intersection de deux plans, d’une droite et d’un plan, de trois plans
Intersection de deux plans
Soient et deux plans de vecteurs normaux respectifs et .
Si les vecteurs et sont colinéaires, alors les plans et sont parallèles:
soit et sont strictement parallèles:
soit et sont confondus:
Si les vecteurs et ne sont pas colinéaires, alors les plans et sont sécants et leur intersection est une droite:
Intersection d’une droite et d’un plan
Soient un plan de vecteur normal et une droite de vecteur directeur .
Si les vecteurs et sont orthogonaux, alors la droite est parallèle au plan :
soit est strictement parallèle à :
soit est incluse dans :
Si les vecteurs et ne sont pas orthogonaux, alors la droite et le plan sont sécants. Leur intersection est un singleton, c’est-à-dire un ensemble formé d’un seul point :
Intersection de trois plans
L’intersection de trois plans est:
soit un singleton
soit une droite
soit un plan
soit l’ensemble vide
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Exercices sur la géométrie dans l’espace en terminale :
Exercice 1 : Représentation paramétrique
On considère les points , , et .
Question 1 :
Donner une représentation paramétrique de la droite .
Question 2 :
Donner une représentation paramétrique de la demi-droite .
Question 3 :
Donner la représentation paramétrique du segment
Exercice 2 : Equation cartésienne du plan en terminale
Déterminer une équation cartésienne du plan défini par la condition suivante :
Question 1 :
Le projeté orthogonal de l’origine sur est le point .
Question 2 :
passe par les points , et
Question 3 :
est le plan médiateur du segment , avec et (le plan médiateur d’un segment est le plan perpendiculaire à ce segment et qui passe par son milieu).
Question 4 :
est parallèle au plan d’équation , et passe par le point
Annales sur la géométrie dans l’espace en terminale
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