Chapitres Maths en Terminale Générale
La loi binomiale en Terminale Générale
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Terminale
A. Épreuves indépendantes en Terminale
1. Définition des épreuves indépendantes en Terminale
Soit , .
Soient épreuves pour .
On note l’univers (supposé fini) des résultats élémentaires associés à l’épreuve et la probabilité asso- ciée.
On note l’univers associé à l’épreuve formée par la succession des épreuves .
Les épreuves sont indépendantes ssi la probabilité associée à l’épreuve vérifie
pour tout , et tout ,
.
Dans ce cas, si pour tout , ,
.
N’hésitez pas à prendre des cours particuliers de maths en cas de difficulté lors de ce chapitre.
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2. Exemples d’épreuves indépendantes
- Les épreuves « jeter un dé » puis « tirer une boule dans une urne » sont des épreuves indépendantes.
- Les épreuves « jeter un dé » puis tirer une boule dans une urne portant le numéro donné par le dé » ne sont pas des épreuves indépendantes (sauf si les urnes ont la même composition ! ).
- Les épreuves « jeter fois un dé » sont indépendantes.
- Les épreuves « tirer fois une boule dans une urne »
… sont indépendantes lorsque l’on remet la boule à l’issue de chaque tirage
… ne sont pas indépendantes si la boule n’est pas remise après chaque tirage.
3. Utilisation d’un arbre
On peut lorsque le nombre d’épreuves est faible et le nombre de résultats possibles à chaque épreuve est faible, s’aider d’un arbre de probabilité.
B. Schéma de Bernoulli en Terminale
1. Épreuve de Bernoulli en Terminale
On dit qu’une épreuve est une épreuve de Bernoulli lorsqu’elle mène à la réalisation de deux événements (appelé succès) et (appelé échec).
2. Variable aléatoire de Bernoulli en Terminale
À une épreuve de Bernoulli, on peut associer la variable aléatoire définie par si est réalisé et si n’est pas réalisé.
On note , alors la loi de est donnée par et et .
On dit que suit une loi de Bernoulli de paramètre et on note .
Réciproquement, si est une variable aléatoire dont la loi est définie par et et , est la variable aléatoire de Bernoulli associée à l’épreuve de Bernoulli telle que et .
Si ,
et .
3. Schéma de Bernoulli
Soit , on dit que l’on a un schéma de Bernoulli lorsque l’on répète épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.
Lorsque l’on tire un échantillon de éléments dans une population très grande, sans remise, on n’a pas un schéma de Bernoulli, mais on pourra approcher l’ensemble des tirages par un schéma de Bernoulli.
C. Variable aléatoire binomiale en Terminale
1. Définition d’une variable aléatoire binomiale en Terminale
On considère une épreuve de Bernoulli dont la probabilité du succès est . On répète fois de façon indépendante cette épreuve et on note la variable aléatoire représentant le nombre de succès à l’issue de cette succession d’épreuves.
suit une loi binomiale de paramètres et et on note .
2. Formule de la loi binomiale
Soit et , si suit une loi binomiale de paramètres et ,
,
pour tout , .
3. Espérance et variance de la loi binomiale
Si suit une loi binomiale de paramètres et ,
et .
4. Intervalle de fluctuation de la loi binomiale
Soit une variable aléatoire de loi et .
Il existe deux entiers et tels que .
On dit que est un intervalle de fluctuation pour au risque ou au seuil
En pratique, on cherche le plus grand entier et le plus petit entier tels que .
Si l’on impose : est le plus grand entier tel que et le plus petit entier tel que ,
alors .
On dit que l‘intervalle de fluctuation est centré.
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D. Utilisation de Python pour modéliser la loi binomiale
1. Déterminer la loi d’une variable aléatoire binomiale
La loi
from math import factorial as fact
def binom(n, p, k):
return fact(n)/fact(k)/fact(n k)
* p **k * (1 p) **(n k)
Calcul des probabilités cumulées :
pour obtenir
def cumulbinom(n, p, k):
S = 0
for i in range(k + 1):
S = S + binom(n, p, i)
return S
Pour obtenir la liste des pour :
def TablCumul(n, p):
T=[]
S = 0
for k in range (n + 1):
S= S +binom(n, p, k)
T.append(S)
return T
Toutes ces fonctions ne sont utilisables que pour .
2. Graphique de loi binomiale avec Python
Dans les deux cas :
import matplotlib.pyplot as plt
Diagramme en bâtons de la loi d’une variable de Bernoulli (en rouge)
def batons(n,p):
for k in range(0 , n + 1):
plt.plot([k, k],
[0 , binom(n , p, k) ], ‘r’)
plt.show()
En utilisant « bar »
remplacer et par leurs valeurs :
Déterminer dans une liste la loi de
loi = [binom(n,p,k) for k in range(n + 1)]
et utilisation de bar ;
plt.bar(range(n +1 ), loi, width = 0.1)
3. Simuler un tirage de Bernoulli, binomial, avec Python
Dans tous les cas,
import random
Simulation d’une loi de Bernoulli :
def SimulBernoulli(p):
a = random.random()
if a < p:
return 1
else:
return 0
et pour obtenir 20 simulations d’une loi de Bernoulli de paramètre
[SimulBernoulli(0.8) for k in range (20)]
Simulation d’une loi binomiale
def SimulBinomiale(n,p):
res = 0
for k in range (n):
if SimulBernoulli(p) == 1:
res = res + 1
return(res)
et pour obtenir 20 simulations d’une loi binomiale de paramètres 10 et
[SimulBinomiale(10,0.5) for k in range (20)]
Répétition de simulations d’une loi binomiale
def RepeteSimulBinomiale(n, p, Nbe):
L = [0]*(n + 1)
for k in range(Nfois):
res = SimulBinomiale(n, p)
L[res] = L[res] + 1
return(L)
et pour obtenir 20 simulations d’une loi binomiale de paramètres 10 et , suivies de la représentation :
LL= RepeteSimulBinomiale(10, 0.4, 20)
plt.bar(range(11 ), LL, width = 0.1)
Calcul des fréquences des occurrences lors de simulations d’une loi binomiale de paramètres et
def FrequenceSimulBinomiale(n,p, Nbe):
L = [0]*(n + 1)
for k in range(Nbe):
res = SimulBinomiale(n, p)
L[res] = L[res] + 1
for k in range(n + 1):
L[k] = L[k] /Nbe
return(L)
et exemple de représentation (10000 simulations) :
F = FrequenceSimulBinomiale(10,0.4,10000)
plt.bar(range(11 ), F, width = 0.1)
4. Problèmes de seuils avec une variable X de loi binomiale
Procédure qui donne le plus grand entier tel que :
def SeuilGauche(n, p, alpha):
S = binom(n, p, 0)
k = 0
while S <= alpha:
k = k + 1
S = S + binom(n, p, k)
return k 1
Procédure qui donne le plus petit entier tel que :
def SeuilDroit(n, p, alpha):
S = binom(n, p, n)
k = n
while S <= alpha:
k = k – 1
S = S + binom(n, p, k)
return k + 1
Procédure qui donne l’intervalle de fluctuation centré de au seuil de risque :
def IntervalleFluc(n, p, risque):
m = SeuilGauche(n, p, risque/2)
M = SeuilDroit(n, p, risque/2)
return [m+1, M1]
Voici quelques autres chapitres de Mathématiques de Terminale, à connaître aussi pour réussir son Bac :
- loi des grands nombres
- loi Normale, intervalle de fluctuation
- raisonnement par récurrence
- les suites
- les limites