Chapitres Maths en Terminale Générale

Loi Normale, intervalle de fluctuation et estimation en Terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Résumé de cours Probabilités: Loi normale, fluctuation & estimation

Profitez de ce cours en ligne sur la loi normale, la fluctuation et les estimations au programme de maths de terminale pour vous remettre à niveau ou tout simplement pour contrôler vos connaissances sur le chapitre. Les élèves ayant sélectionné la spécialité maths au programme de Terminale doivent travailler dur, car le coefficient au bac, des mathématiques est très élevé. Pour définir les notes minimales à avoir au bac pour décrocher la mention bien ou la mention très bien, rendez-vous sur notre simulateur de bac et nos cours de maths particulier.

1. Loi normale

Définition: variable aléatoire centrée et réduite

On dit qu’une variable aléatoire est centrée et réduite lorsque son espérance est nulle et son écart-type égal à $1$ .

Propriétés

Soit $X$ une variable aléatoire prenant un nombre fini de valeurs, d’espérance $m = E(X)$ , de variance $Var(X)$ et d’écart-type $\sigma_{0} = \sqrt{Var(X)}$ non nul.

$\bullet$ La variable aléatoire $(X-m)$ a une espérance nulle;

$\bullet$ La variable aléatoire $\boxed{Z = \frac{X-m}{\sigma_{0}}}$ est une variable aléatoire centrée et réduite.

Théorème de Moivre-Laplace

Soit $p$ un nombre réel de l’intervalle $]0;1[$ .

Soit une suite de variables aléatoires $(X_{n})$ où chaque variable aléatoire $X_{n}$ suit la loi binomiale $B(n,p)$ .

On pose $\boxed{Z_{n} = \frac{X - np}{\sqrt{np(1-p)}}}$ la variable aléatoire centrée et réduite associée à $X_{n}$ .

Alors, pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a < b$ , on a:

$\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} P(a \leq Z_{n} \leq b)$

$= \int_{a}^{b} \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\displaystyle{\frac{x^{2}}{2}}\text{ } dx}$

Représentation graphique de la loi de probabilité de la variable aléatoire $Z_{n}$ ( $n=99$ ) et de la fonction $x \longmapsto \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}} e^{-\displaystyle{\frac{x^{2}}{2}}}$

Les aires des rectangles représentent les probabilités. Le paramètre $p$ étant fixé, plus l’entier $n$ augmente, plus la loi de probabilité de la variable aléatoire $Z_{n}$ se rapproche de la loi de densité de probabilité $x \longmapsto \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}} e^{-\displaystyle{\frac{x^{2}}{2}}}$ .

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2. Loi normale centrée réduite $N(0,1)$

Propriété

La fonction définie sur $\mathbb{R}$ par $x \longmapsto \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}} e^{-\displaystyle{\frac{x^{2}}{2}}}$ est une densité de probabilité.

Définition

Une variable aléatoire à densité $X$ suit la loi normale centrée réduite $N(0,1)$ si sa fonction de densité est la fonction définie sur $\mathbb{R}$ par

$\boxed{f\text{ : }x \in \mathbb{R} \longmapsto \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}} e^{-\displaystyle{\frac{x^{2}}{2}}}}$

On a alors, pour tous réels $a$ et $b$ tels que $a < b$ :

$P(a \leq X \leq b) = \int_{a}^{b} f(x)\text{ } dx$

$= \int_{a}^{b} \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}} e^{-\displaystyle{\frac{x^{2}}{2}}}$

Courbe de Gauss – représentation graphique de la densité de probabilité $x \longmapsto \displaystyle{\frac{1}{\sqrt{2\pi}}} e^{-\displaystyle{\frac{x^{2}}{2}}}$

Propriétés

Soit $X$ une variable aléatoire à densité qui suit la loi normale centrée réduite $N(0,1)$ . On a:

$\bullet$ Pour tout réel $u$ positif, $P(X \leq -u) = P(X \geq u)$ ;

$\bullet$ $P(0 \leq X) = P(X \geq 0) = \frac{1}{2}$

Définition: espérance de la loi normale centrée réduite

Si la variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite $N(0,1)$ , son espérance $E(X)$ est définie par:

$E(X)$

$= \lim\limits_{y \longrightarrow -\infty} \int_{y}^{0} t\text{ }f(t)\text{ } dt + \lim\limits_{x \longrightarrow +\infty} \int_{0}^{x} t\text{ }f(t)\text{ } dt$

où $f$ est la fonction de densité de la loi normale centrée réduite $N(0,1)$ .

Propriété: espérance de la loi normale centrée réduite

L’espérance (ou la moyenne) de la loi normale centrée réduite $N(0,1)$ est égale à $0$ .

Propriété: variance de la loi normale centrée réduite

La variance de la loi normale centrée réduite $N(0,1)$ , définie par $Var(X) = E\left[(X-E(X))^{2}\right]$ , est égale à $1$ .

Théorème: répartition des valeurs de $X \thicksim N(0,1)$

Lorsque la variable aléatoire $X$ suit la loi normale centrée réduite $N(0,1)$ , alors pour tout nombre $\alpha$ de l’intervalle $]0;1[$ , il existe un unique nombre réel positif $u_{\alpha}$ tel que

$\boxed{P(-u_{\alpha} \leq X \leq u_{\alpha}) = 1 - \alpha}$

Valeurs particulières

$\bullet$ On a $u_{0.05} \approx 1.96$ d’où : $P(-1.96 \leq X \leq 1.96) \approx 0,95$ .

$\bullet$ On a $u_{0.01} \approx 2.58$ et $P(-2.58 \leq X \leq 2.58) \approx 0.99$ .

3. Loi normale $N(\mu,\sigma^{2})$

Définition

Une variable aléatoire $X$ suit une loi normale $N(\mu,\sigma^{2})$ si la variable aléatoire $\boxed{Z = \frac{X - \mu}{\sigma}}$ suit la loi normale centrée réduite $N(0,1)$ .

Propriétés: espérance et écart-type de la loi normale $N(\mu,\sigma^{2})$

On admet que, si une variable aléatoire $X$ suit la loi normale $N(\mu,\sigma^{2})$ }, alors son espérance est égale à $\mu$ et son écart-type à $\sigma$ :

$\boxed{E(X) = \mu}$

$\boxed{\sigma(X) = \sigma}$

Propriétés: intervalles un, deux et trois sigmas

$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0.68$

(à $10^{-2}$ près)

$P(\mu - 2\sigma \leq X \leq \mu + 2\sigma) \approx 0,95$

(à $10^{-2}$ près)

$P(\mu - 3\sigma \leq X \leq \mu + 3\sigma) \approx 0.997$

(à $10^{-2}$ près)

4. Intervalle de fluctuation

En statistiques, un échantillon de taille $n$ est la liste des $n$ résultats obtenus par $n$ répétitions indépendantes de la même expérience aléatoire.

Par exemple, un échantillon de taille $100$ du lancer d’un dé dont on observe l’apparition ou non de la face $6$ est la liste des résultats obtenus en lançant $100$ fois le dé. Pour chaque lancer la probabilité de réussir (d’obtenir la face $6$ ) est $p$ , la probabilité de l’échec (ne pas obtenir $6$ ) est $1-p$ ( $p = \frac{1}{6}$ si le dé est bien équilibré). Le nombre de réussites dans un échantillon de taille $n$ suit la loi binomiale $B(n,p)$ .

On note $f$ la fréquence du nombre de réussites dans l’échantillon.

Définition: intervalle de fluctuation à $95\%$

Un intervalle de fluctuation au seuil de $95\%$ , relatif aux échantillons de taille $n$ , est un intervalle où se situe la fréquence $f$ observée dans un échantillon de taille $n$ avec une probabilité supérieure à $0.95$ .

Propriété admise en classe inférieur :

L’intervalle $\left[ p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; p + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]$ est un intervalle de fluctuation approché au seuil de $95\%$ , relatif aux échantillons de taille $n$ . Dans certains cas, la probabilité que la fréquence appartienne à l’intervalle $\left[ p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; p + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]$ est très proche de $0.95$ mais en étant inférieure, c’est pourquoi on dit que ce sont des intervalles de fluctuation « approchés ».

Dans la pratique, on utilise l’intervalle $\left[ p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; p + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]$ pour des probabilités $p$ comprises entre $0.2$ et $0.8$ et des échantillons de taille $n$ supérieure à $25$ .

Intervalles de fluctuation asymptotique

Dans ce qui suit, on considère des variables aléatoires $X_{n}$ suivant chacune une loi binomiale $B(n,p)$ (exemple : on lance $n$ fois une pièce équilibrée, $X_{n}$ est le nombre de « pile » obtenus, $X_{n}$ suit la loi $B(n,0.5)$ ).

La variable aléatoire $\boxed{F_{n} = \frac{X_{n}}{n}}$ donne donc la fréquence du nombre de « succès ».

Propriétés

La variable aléatoire $F_{n} = \frac{X_{n}}{n}$ :

$\bullet$ prend $n+1$ valeurs: $0, \frac{1}{n}, ..., \frac{n}{n}$ .

$\bullet$ vérifie $\boxed{E\left(\frac{X_{n}}{n}\right) = p}$ et $\boxed{\sigma\left(\frac{X_{n}}{n}\right) = \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}}$

Définition: intervalle de fluctuation asymptotique au seuil $1-\alpha$

Un intervalle de fluctuation asymptotique de la variable aléatoire $F_{n}=\frac{X_{n}}{n}$ au seuil $1-\alpha$ est un intervalle déterminé à partir de $p$ et de $n$ et qui contient $F_{n}$ avec une probabilité d’autant plus proche de $1-\alpha$ que $n$ est grand.

Théorème

Soit $p$ un nombre réel fixé de l’intervalle $]0;1[$ .

Soit une suite de variables aléatoires $(X_{n})$ , chaque variable aléatoire $X_{n}$ suivant la loi binomiale $B(n,p)$ .

Pour tout réel $\alpha$ dans $]0;1[$ , on a:

$\boxed{\lim\limits_{n \longrightarrow +\infty} P\left(\frac{X_{n}}{n} \in I_{n} \right) = 1 - \alpha}$

où

$I_{n} = \left[ p - u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p + u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]$

Remarque. Le nombre $u_{\alpha}$ est l’unique réel positif tel que, pour $Y$ une variable aléatoire suivante la loi normale centrée réduite $N(0,1)$ :

$P(-u_{\alpha} \leq Y \leq u_{\alpha}) = 1 - \alpha$

Propriété

L’intervalle $\boxed{I_{n} = \left[ p - u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} ; p + u_{\alpha} \frac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}} \right]}$ est un intervalle de fluctuation asymptotique

au seuil $1-\alpha$ de la variable aléatoire $F_{n} = \frac{X_{n}}{n}$ .

Théorème

Soit un réel $p$ de l’intervalle $]0;1[$ et une suite de variables aléatoires $(X_{n})$ où chaque variable aléatoire $X_{n}$ suit la loi binomiale $B(n,p)$ . Il existe un entier $n_{0}$ tel que:

$\text{si }n \geq n_{0}\text{ alors : }$

$P\left(\frac{X_{n}}{n} \in \left[p - \frac{1}{\sqrt{n}} ; p + \frac{1}{\sqrt{n}} \right] \right) \geq 0.95$

Intervalle de fluctuation et prise de décision

$\bullet$ Si la fréquence observée $f$ dans un échantillon appartient à un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\%$ , on considère que l’échantillon est compatible avec le modèle (i.e la loi de probabilité retenue pour décrire l’expérience);=

$\bullet$ Sinon, on considère que l’échantillon n’est pas compatible avec le modèle.

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5. Estimation

Comme dans la section précédente, on considère une suite de variables aléatoires $(X_{n})$ où chaque variable aléatoire $X_{n}$ suit la loi binomiale $B(n,p)$ . La variable $F_{n} = \frac{X_{n}}{n}$ donne donc la fréquence du nombre de « succès ».

On dit qu’un intervalle est aléatoire lorsque ses bornes sont définies par des
variables aléatoires. La réalisation d’un intervalle aléatoire est l’intervalle obtenu après avoir réalisé l’expérience aléatoire (après avoir lancé 500 fois une pièce, interrogé 1000 personnes…).

Définition: intervalle de confiance

Un intervalle de confiance pour une proportion $p$ à un niveau de confiance de $95\%$ est la réalisation, à partir d’un échantillon, d’un intervalle aléatoire contenant la proportion $p$ avec une probabilité supérieure ou égale à $95\%$ .

Propriété

Pour une valeur de $p$ fixée, l’intervalle aléatoire $\left[F_{n} - \frac{1}{\sqrt{n}} ; F_{n} + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]$ contient, pour $n$ assez grand, la proportion $p$ avec une probabilité au moins
égale à $0.95$ .

Remarque. On se place dans le cas où l’échantillon contient au moins $30$ éléments. Si la fréquence $f$ observée est telle que $nf \geq 5$ et $n(1-f) \geq 5$ , on convient que $f$ est une estimation de $p$ et que l’intervalle $\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]$ est
un intervalle de confiance au niveau de $95\%$ pour la proportion $p$ . Cet intervalle est parfois appelé fourchette de sondage.

Taille de l’échantillon pour avoir une précision donnée au niveau de confiance de $95\%$

La précision de l’estimation est donnée par l’amplitude de l’intervalle $\left[f - \frac{1}{\sqrt{n}} ; f + \frac{1}{\sqrt{n}} \right]$ , qui vaut $\frac{2}{\sqrt{n}}$ et dépend donc de la taille $n$ de l’échantillon. On observe cependant que cette amplitude ne dépend pas de la taille de la population
totale, dans laquelle est prélevé l’échantillon.

Si $a \in \mathbb{R}_{+}$ est la précision souhaitée, on cherche $n \in \mathbb{N}$ tel que $\frac{2}{\sqrt{n}} \leq a \Longleftrightarrow n \geq \frac{4}{a^{2}}$ .

Exercices de probabilités : loi normale, fluctuations et estimation

Exercice 1 :

$X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu;\sigma^2)$ où $\mu=-7$ et $\sigma=2$

Question 1 :

Montrer que $P(X=-7)= 0$

Question 2 :

Le réel $a$ tel que $P(X\leqslant a)=0,8$ vérifie $a>-7$

Question 3 :

Montrer que $\displaystyle P\left(\frac{X+2}{-7}\geqslant0\right)$ est strictement inférieure à 0,5

Annales sur les probabilités : Loi à densité, loi normale, fluctuations et estimation

Prendre des cours particuliers en maths, est un moyen très efficace pour progresser rapidement et efficacement. Avec un professeur particulier, l’élève aura la possibilité de s’entraîner sur des annales de maths au bac dans les vraies conditions d’examen. Le professeur sera présent également pour donner les bonnes méthodes de travail à l’élève, ce qui lui permettra d’une part, de réussir en terminale, et d’autre part, de réussir facilement lors de ses études supérieures. De plus, avoir une bonne méthodologie de travail peut faire gagner beaucoup de points aux élèves notamment lors des concours aux écoles commerce comme le concours Acces ou le concours Sésame, ainsi que les concours d’écoles d’ingénieurs, le concours Puissance Alpha ou le concours Geipi Polytech par exemple.

Pour les élèves qui préfèrent travailler seuls, les cours en ligne de maths sont de très bons compléments aux cours enseignés pendant les classes au lycée. Les révisions peuvent alors être anticipées et travaillées selon le rythme de l’élève, voici quelques idées de cours à revoir avant le bac :

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1. Loi normale

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