Chapitres Maths en Terminale Générale
Nombres premiers et Fermat en Terminale
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Terminale
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1. Ensemble de nombres premiers
- Définition ensemble de nombres premiers :
est premier lorsque les seuls diviseurs positifs de
sont
et
.
On note l’ensemble des nombres premiers.
Si
,
n’est pas premier ssi
admet un diviseur premier inférieur ou égal à
.
exemple : 2021 (resp 2027) est-il un nombre premier ?
Soit
et
, si
n’est pas premier, il admet un diviseur autre que
et
.
On note le plus petit de ces diviseurs.
Alors est premier, car si
n’est pas premier, il admet un diviseur strict
, qui est un diviseur de
vérifiant
ce qui contredit la définition de
.
On écrit , alors
, donc
soit
, donc
.
admet un diviseur premier inférieur ou égal à
.
2021 est-il premier ?
.
Il faut donc examiner les nombres premiers
(le nombre premier suivant est 47)
2021 n’est pas divisible par aucun des entiers
mais donc
n’est pas premier.
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2. Ensemble de nombres premiers : Crible d’Eratosthène
Soit ,
.
Pour obtenir la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à ,
on écrit la liste
des entiers entre
et
.
pour tout
, on supprime successivement dans la liste
les multiples de
.
La liste obtenue après le dernier passage est la liste des nombres premiers entre et
.
3. Fermat : petit théorème de Fermat
- Petit théorème de Fermat
Soitun nombre premier.
Sine divise pas
,
.
- Corollaire
Soitun nombre premier.
Pour tout,
.
4. Méthodes utilisant les nombres premiers
M1. Pour démontrer que
n’est pas premier,
M1.1. trouver
diviseur de
tel que
M1.2. trouver un entier
premier avec
tel que
divise
Pour démontrer qu’un nombre
est premier, on peut raisonner par l’absur- de, supposer qu’il n’est pas premier et obtenir une contradiction.
M2. Pour trouver tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à
, utiliser le crible d’Eratosthène.
M3. Utiliser la décomposition en facteurs premiers de
, pour déterminer tous ses diviseurs :
Si .
est un diviseur de
ssi
où pour tout ,
.
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