Chapitres Maths en Terminale Générale

Nombres premiers et Fermat en Terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

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1. Ensemble de nombres premiers

Définition ensemble de nombres premiers :

$\bullet$ $p \in \mathbb{N} \setminus \{0 , \, 1 \}$ est premier lorsque les seuls diviseurs positifs de $p$ sont $1$ et $p$ .
On note $\mathbb{P}$ l’ensemble des nombres premiers.

$\bullet$ Si $n \geqslant 2$ , $n$ n’est pas premier ssi $n$ admet un diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$ .

$\bullet$ exemple : 2021 (resp 2027) est-il un nombre premier ?

$\bullet$ Soit $n \in \mathbb{N}$ et $n \geqslant 2$ , si $n$ n’est pas premier, il admet un diviseur autre que $1$ et $n$ .
On note $p$ le plus petit de ces diviseurs.
Alors $p$ est premier, car si $p$ n’est pas premier, il admet un diviseur strict $p'$ , qui est un diviseur de $n$ vérifiant $1 < p' < p$ ce qui contredit la définition de $p$ .
On écrit $n = p\, q$ , alors $p \leqslant q$ , donc $p ^2\leqslant p\, q$ soit $p ^2 \leqslant n$ , donc $p \leqslant \sqrt{n}$ .
$n$ admet un diviseur premier inférieur ou égal à $\sqrt{n}$ .

$\bullet$ 2021 est-il premier ?
$\sqrt{2021} \approx 44,96$ .
Il faut donc examiner les nombres premiers $\;\; 2,3,5,7,11,13,19,23,31,37,41,43$
(le nombre premier suivant est 47)
2021 n’est pas divisible par aucun des entiers $2,3,5,7,11,13,19,23,31,37,41$
mais $2021 = 43 \times 47$ donc $2021$ n’est pas premier.

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2. Ensemble de nombres premiers : Crible d’Eratosthène

Soit $N \in \mathbb{N}$ , $N \geqslant 2$ .
Pour obtenir la liste des nombres premiers inférieurs ou égaux à $N ^2$ ,
$\ast$ on écrit la liste $L$ des entiers entre $2$ et $N^2$ .
$\ast$ pour tout $k \in [\![2 ,\, N]\!]$ , on supprime successivement dans la liste $L$ les multiples de $k$ .

La liste obtenue après le dernier passage est la liste des nombres premiers entre $2$ et $N ^2$ .

3. Fermat : petit théorème de Fermat

Petit théorème de Fermat
Soit $p$ un nombre premier.
Si $p$ ne divise pas $a$ , $a ^{p - 1} \equiv 1 \; \; [p]$ .

Corollaire
Soit $p$ un nombre premier.
Pour tout $a \in \mathbb{Z}$ , $a ^p \equiv a \; \; [p]$ .

4. Méthodes utilisant les nombres premiers

$\bullet$ M1. Pour démontrer que $n \in \mathbb{N}^*$ n’est pas premier,
$\ast$ M1.1. trouver $d$ diviseur de $n$ tel que $1 < d < n$
$\ast$ M1.2. trouver un entier $p$ premier avec $p \leqslant \sqrt{n}$ tel que $p$ divise $n$
👍 Pour démontrer qu’un nombre $n$ est premier, on peut raisonner par l’absur- de, supposer qu’il n’est pas premier et obtenir une contradiction.

$\bullet$ M2. Pour trouver tous les nombres premiers inférieurs ou égaux à $n$ , utiliser le crible d’Eratosthène.

$\bullet$ M3. Utiliser la décomposition en facteurs premiers de $a$ , pour déterminer tous ses diviseurs :
Si $a= p_1 ^{\alpha_1} \times p_2 ^{\alpha_2} \times \cdots \times p_k ^{\alpha_k}$ .
$d \in \mathbb{N}^*$ est un diviseur de $a$ ssi $d = p_1 ^{\gamma_1} \times p_2 ^{\gamma_2} \times \cdots \times p_k ^{\gamma_k}$
où pour tout $j \in [\![1 , k]\!]$ , $\gamma_j \in [\![0,\, \alpha _j]\!]$ .

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