Chapitres Maths en Terminale Générale

PGCD en Terminale

Retrouvez le cours sur les PGCD (Plus grand commun diviseur) en Terminale. Ce chapitre est important pour chaque élèves ayant pris la spécialité mathématiques expertes, voulant améliorer leur moyenne et comprendre les notions. Si vous souhaitez exceller en maths, nous offrons des cours de maths particuliers pour les étudiants de terminale.

PGCD de deux éléments : définition

$\bullet$ Soient $a$ et $b$ deux éléments de $\mathbb{N}^*$ .
On appelle PGCD de $a$ et $b$ et on note $\textrm{PGCD}(a,\, b)$ l’entier naturel défini par
$\max \{ d \in \mathbb{N}\, /\, d \, \vert \, a \textrm{ et } d \, \vert \, b \}$ .
$d$ est le plus grand diviseur commun à $a$ et $b$ .

$\bullet$ Généralisation au cas de 2 éléments non nuls de $\mathbb{Z}$
On sait que $\mathcal{D} (a ) = \mathcal{D} (\vert a \vert )$
On définit si $a , b \in \mathbb{Z} ^2$ et $a \, b \neq 0$ ,
$\textrm{PGCD}(a,\, b) = \textrm{PGCD}(\vert a \vert ,\, \vert b \vert )$ .

PGCD : propriétés

Si $a$ et $b$ deux éléments de $\mathbb{N}^*$ ,
$\bullet$ $\textrm{PGCD}(a,\, b) = \textrm{PGCD}(b,\, a)$
$\bullet$ $\textrm{PGCD}(a , a) = a$

$\bullet$ Si $d \in \mathbb{N}^*$ divise $a$ et $b$ , $d$ divise $\textrm{PGCD}(a ,\, b)$ .

$\bullet$ Si $a > b$ ,
$\textrm{PGCD}(a ,\, b) = \textrm{PGCD}(a - b \,, b)$

$\bullet$ Si $k \in \mathbb{Z }^*$ ,
$\textrm{PGCD}(k\, a,\, k\, b) = \vert k \vert \, \textrm{PGCD}(a ,\, b)$

$\bullet$ Si $r$ est le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ ,
$\textrm{PGCD}(a , \, b) = \textrm{PGCD}(b ,\, r )$ .

PGCD de deux éléments : Couple d’entiers premiers entre eux

$\bullet$ D: Soient $a$ et $b$ deux éléments de $\mathbb{Z}^*$ . On dit que $a$ et $b$ sont premiers entre eux lorsque $\textrm{PGCD}(a,\, b) = 1$ .

$\bullet$ P: $\textrm{PGCD}(a,\, b)= 1$ ssi $\pm 1$ sont les seuls diviseurs communs de $a$ et $b$ .

$\bullet$ Théorème de Bezout
Soient $a$ et $b$ deux éléments de $\mathbb{N}^*$ .
$\textrm{PGCD}(a,\, b)= 1$ ssi il existe $u$ et $v$ dans $\mathbb{Z}$ tels que $a \, u + b \, v = 1$ (Relation de Bezout)

$\bullet$ On a vu dans le paragraphe précédent que si $\textrm{PGCD}(a , b) = d$ , il existe $u$ et $v$ dans $\mathbb{Z }$ tels que $a \ u + b \, v = d$ .
Il suffit de poser $d = 1$ , pour obtenir le résultat.

$\bullet$ S’il existe $u$ et $v$ de $\mathbb{Z}$ tels que $a \, u + b \, v = 1$ , si $d \in \mathbb{N}^*$ divise $a$ et $b$ , $d$ divise $a \, u + b \, v$ donc $d$ divise 1, alors $d = 1$ .
Le plus grand des diviseurs positifs de $a$ et $b$ est égal à 1, donc $a$ et $b$ sont premiers entre eux.

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PGCD de deux éléments : Utilisation de Python

Détermination du PGCD de deux entiers naturels non nuls.
def pgcd(a , b):
$\qquad \vert$ r = 1
$\qquad \vert$ while r > 0:
$\qquad\qquad \vert$ r = a $\%$ b
$\qquad\qquad \vert$ a = b
$\qquad\qquad \vert$ b = r
$\qquad \vert$ return a

Algorithme d’Euclide étendu
On se ramène au cas où $a$ et $b$ sont dans $\mathbb{N}$ avec $0 < b \leqslant a$
On note $r_0 = a$ , $r_ 1 = b$ .
On note $r_N$ le premier reste nul dans la suite des divisions euclidiennes.
Plus précisément si $k\in [\![0 , N - 2]\!]$ ,
$r_{k } = r_{k + 1} \, q_{k + 1} + r_{k + 2}$
avec $0 \leqslant r_{k + 2} \leqslant r_{k + 1} - 1$
et $r_{N - 1} \neq 0$ et $r_N = 0$ .

Alors les familles définies par
$\ast$ $u_0 = 1$ , $u_ 1 = 0$
$\ast$ $v_ 0 = 0$ , $v_1 = 1$
$\ast$ Pour tout $k\in [\![0 , N - 2]\!]$ ,
$\qquad \left \{ \begin{matrix} u_{k + 2}&=& u_k - q_{k + 2} \, u_{k + 1} \\ v_{k + 2}&=& v_k - q_{k + 2}\, v_{k + 1} \end{matrix} \right.$
sont telles que
si $k \in [\![0 , N]\!], \, r _ k = a \, u_k + b \, v_k$
et on retient que
$\quad \textrm{PGCD}(a ,\, b ) =a \, u_{N - 1} + b \, v_{N - 1}$ .

PGCD de deux éléments : codage

Pour utiliser Python :

$\ast$ On définit une chaîne vide par str{}.
$\ast$ la longueur d’une chaîne nommée mot est len(mot)
$\ast$ la $k$ – ème lettre de la chaîne mot est mot[ $k$ ] (avec $0 \leqslant k \leqslant$ len(mot) $- 1$ )
$\ast$ On concatène les deux chaînes contenues dans ch1 et ch2 (on les place l’une après l’autre sans espace) par ch1 + ch2.
$\ast$ Les lettres de $A$ à $Z$ ont un numéro ASCII que l’on obtient en demandant ord(lettre),
ord(‘A’) renvoie $65,\, \cdots \,$ ord(‘Z’) renvoie $90$ .
$\ast$ chr(65) renvoie ‘A’ $\, \cdots \,$ jusque ch(90) qui renvoie ‘Z’.

Enfin, pour vous préparer au mieux au baccalauréat et réussir vos épreuves, vous pouvez retrouver le reste du cours sur le PGCD en terminale, sur notre application gratuite Prepapp. Vous y trouverez également les autres cours en ligne de mathématiques pour la spécialité maths expertes comme :

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PGCD de deux éléments : Couple d’entiers premiers entre eux

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