Chapitres Maths en Terminale Générale
PGCD en Terminale
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Terminale
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PGCD de deux éléments : définition
Soient et deux éléments de .
On appelle PGCD de et et on note l’entier naturel défini par
.
👍 est le plus grand diviseur commun à et .
Généralisation au cas de 2 éléments non nuls de
On sait que
On définit si et ,
.
PGCD : propriétés
Si et deux éléments de ,
Si divise et , divise .
Si ,
Si ,
Si est le reste de la division euclidienne de par ,
.
PGCD de deux éléments : Couple d’entiers premiers entre eux
D: Soient et deux éléments de . On dit que et sont premiers entre eux lorsque .
P: ssi sont les seuls diviseurs communs de et .
Théorème de Bezout
Soient et deux éléments de .
ssi il existe et dans tels que (Relation de Bezout)
On a vu dans le paragraphe précédent que si , il existe et dans tels que .
Il suffit de poser , pour obtenir le résultat.
S’il existe et de tels que , si divise et , divise donc divise 1, alors .
Le plus grand des diviseurs positifs de et est égal à 1, donc et sont premiers entre eux.
PGCD de deux éléments : Utilisation de Python
- Détermination du PGCD de deux entiers naturels non nuls.
def pgcd(a , b):
r = 1
while r > 0:
r = a b
a = b
b = r
return a
- Algorithme d’Euclide étendu 🚀
On se ramène au cas où et sont dans avec
On note , .
On note le premier reste nul dans la suite des divisions euclidiennes.
Plus précisément si ,
avec
et et .
Alors les familles définies par
,
,
Pour tout ,
sont telles que
si
et on retient que
.
PGCD de deux éléments : codage
Pour utiliser Python :
On définit une chaîne vide par str{}.
la longueur d’une chaîne nommée mot est len(mot)
la – ème lettre de la chaîne mot est mot[] (avec len(mot) )
On concatène les deux chaînes contenues dans ch1 et ch2 (on les place l’une après l’autre sans espace) par ch1 + ch2.
Les lettres de à ont un numéro ASCII que l’on obtient en demandant ord(lettre),
ord(‘A’) renvoie ord(‘Z’) renvoie .
chr(65) renvoie ‘A’ jusque ch(90) qui renvoie ‘Z’.
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