Chapitres Maths en Terminale Générale

Cours sur les suites en terminale générale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale

Il est impératif d’être au point sur le chapitre des suites en terminale pour réussir en terminale et surtout pour réussir au baccalauréat, quitte à prendre des cours particuliers maths en cas de lacunes. Profitez également de nos autres cours en ligne de terminale en maths pour améliorer votre moyenne et vous préparer pour les meilleures prepa HEC ou scientifiques.

1. Cours suites monotones, suites majorées, minorées en terminale

1.1. Suites monotones en terminale :

Une suite réelle est
- croissante lorsque pour tout entier $n$ , $u_n \leqslant u_{n + 1}$
- décroissante lorsque pour tout entier $n$ , $u_n \geqslant u_{n + 1}$
- monotone lorsque qu’elle est croissante ou décroissante.
- strictement croissante lorsque pour tout entier $n$ , $u_n < u_{n + 1}$
- strictement décroissante lorsque pour tout entier $n$ , $u_n > u_{n + 1}$
- strictement monotone lorsque qu’elle est strictement croissante ou strictement décroissante.

Il existe des suites qui ne sont pas monotones :

Prendre la suite définie par $u_n = (-1)^n$
$u_{2n} - u_{2n + 1} = 2 > 0$
et $u_{2 n + 1} - u_{2 n + 2} = - 2 < 0$ .

1.2. Suites majorées et minorées en terminale

Les définitions :

La suite $(u_n)_n$ est majorée lorsqu’il existe un réel $M$ tel que pour tout $n \in\mathbb{N}, \, u_n \leqslant M$ .
On dit alors que $(u_n)_n$ est majorée par $M$ .
On dit que $M$ est un majorant de la suite $(u_n)_n$ .
Si $M'$ est tel que $M' \geqslant M$ , la suite $(u_n)_n$ est aussi majorée par $M'$ .
La suite $(u_n)_n$ n’est pas majorée lorsque pour tout réel $M$ , on peut trouver $n \in\mathbb{N}$ tel que $u_n > M$ .
La suite $(u_n)_n$ est minorée lorsqu’il existe un réel $m$ tel que pour tout $n \in\mathbb{N}, \, u_n \geqslant m$
On dit alors que $(u_n)_n$ est minorée par $m$ .
On dit que $m$ est un minorant de la suite $(u_n)_n\,$ .
Si $m'$ est tel que $m' \leqslant m$ , la suite $(u_n)_n$ est aussi minorée par $m'$ .
La suite $(u_n)_n$ n’est pas minorée lorsque pour tout réel $m$ , on peut trouver $n \in\mathbb{N}$ tel que $u_n < m$ .
On dit que la suite $(u_n)_n$ est bornée lorsqu’elle est minorée et majorée.

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2. Suite qui tend vers $\pm\infty$ au bac

2.1. Suite qui tend vers $+\infty$

Définition : la suite $(u_n)_n$ tend vers $+\infty$ lorsque pour tout $A \in \mathbb{R }$ , l’intervalle $[A , \, + \infty[$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang,
soit lorsqu’il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que si $n \geqslant N$ , $u_n \geqslant A$ ,
On écrit alors
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty$ ou $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} {+\infty}$ .

Exemple
Si $a \in \mathbb{R}^{+*}$ et $b \in \mathbb{R}$ , $\qquad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} (a \, n + b) = + \infty$

2.2. Suite qui tend vers $-\infty$

Definition : la suite $(u_n)_n$ tend vers $-\infty$ lorsque pour tout $A \in \mathbb{R }$ , l’intervalle $]- \infty ,\, A]$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang,
soit lorsqu’il existe $N \in \mathbb{N}$ tel que si $n \geqslant N$ , $u_n \leqslant A$ .
On écrit alors
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = - \infty$ ou $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} {-\infty}$ .

Exemple
Si $a \in \mathbb{R}^{-*}$ et $b \in \mathbb{R}$ , $\qquad \quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} (a \, n + b) = - \infty$ .

3. Cours sur les suites convergentes en terminale

3.1. Définition d’une suite convergente en terminale

Soit $(u_n)_n$ une suite de réels et $\ell$ un réel.
On dit que la suite $(u_n)_n$ converge vers $\ell$ si tout intervalle ouvert contenant $\ell$ contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On écrit alors
$\qquad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = \ell$ ou $u_n \xrightarrow[n \to +\infty]{} \ell$ .

Donc : $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = \ell$
ssi pour tout $\varepsilon > 0$ , tous les termes de la suite à partir d’un certain rang sont dans l’intervalle $] \ell - \varepsilon \,,\, \ell + \varepsilon [$ .
ssi pour tout $\varepsilon > 0$ , il existe $N \in \mathbb{N},$ tel que pour $n \geqslant N$ , $\ell - \varepsilon < u_n < \ell + \varepsilon$ .

La suite $(u_n)_n$ converge vers $0$ si, et seulement si, la suite $(\vert u_n \vert)_n$ converge vers 0.
La suite $(u_n)_n$ converge vers $\ell$ si, et seulement si, la suite $(u_n - \ell)_n$ converge vers 0.La convergence d’une suite ne dépend pas de ses premiers termes.
Si la suite $(u_n)_n$ converge vers $\ell$ , $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_{n + 1} = \ell$ .

On dit qu’une suite est divergente lorsqu’elle ne converge pas.
Si la suite $(u_n)_n$ est une suite divergente, on est dans l’un des 3 cas suivants :

$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty$
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = - \infty$
$(u_n)_n$ n’a pas de limite comme par exemple la suite $((-1)^n)_n$ .

3.2. Cas des suites monotones en terminale

$\bullet$ T1. Si la suite $(u_n)_n$ est croissante et majorée par $M$ , elle converge et sa limite $\ell$ vérifie $\ell \leqslant M$ .

$\bullet$ T2. Si la suite $(u_n)_n$ est décroissante et minorée par $m$ , elle converge et sa limite $\ell$ vérifie $\ell \geqslant m$ .

3.3. Théorème des « gendarmes » en terminale et limites de suites

$\bullet$ T3. Théorème d’encadrement (ou théorème des « gendarmes »)
On considère trois suites réelles $(u_n)_n\,$ $(v_n)_n\,$ et $(w_n)_n\,$ telles qu’il existe un entier $N$ tel que
$\quad$ si $n \geqslant N$ , $u_n \leqslant v_n \leqslant w_n\,$ .
Si les suites $(u_n)_n\,$ et $(w_n)_n\,$ conver- gent vers le réel $\ell$ , la suite $(u_n)_n\,$ converge vers $\ell$ .

Cas particuliers :
1. On considère deux suites réelles $(u_n)_n\,$ et $(v_n)_n\,$ telles qu’il existe un entier $N$ tel que si $n \geqslant N$ , $0 \leqslant u_n \leqslant v_n$
Si la suite $(v_n)_n\,$ converge vers 0, la suite $(u_n)_n\,$ converge vers $0$ .

2. On considère deux suites réelles $(u_n)_n\,$ et $(v_n)_n\,$ telles qu’il existe un entier $N$ tel que si $n \geqslant N$ , $\vert u_n \vert \leqslant v_n$
Si la suite $(v_n)_n\,$ converge vers 0, la suite $(u_n)_n\,$ converge vers $0$ .
(car $- v_n \leqslant u_n \leqslant v_n$ ).

3. On considère deux suites réelles $(u_n)_n\,$ et $(v_n)_n\,$ et un réel $\ell$ telles qu’il existe un entier $N$ tel que si $n \geqslant N$ , $\vert u_n - \ell \vert \leqslant v_n$
Si la suite $(v_n)_n\,$ converge vers 0, la suite $(u_n)_n\,$ converge vers $\ell$ .
(car $- v_n + \ell \leqslant u_n \leqslant v_n + \ell$ ).

Dans la suite du cours on parlera de théorème d’encadrement.

3.4. Aide graphique pour représenter les valeurs d’une suite

Aide graphique ppour représenter quelques valeurs de la suite définie par $u_0 \in \mathbb{R}$ et pour $n \in \mathbb{N}, \, u_{n + 1} = f(u_n)$ .

Dans un même repère orthogonal :

Tracer le graphe $\Gamma_f$ de $f$ .
Tracer la droite $\Delta$ d’équation $y = x$ .
Partir d’une valeur $u_0$ et introduire le point $M_0$ $(u_0\, ,\, f(u_0))$ .
La droite passant par $M_0$ et parallèle à $Ox$ coupe la droite $\Delta$ au point $D_1$ $(u_1\,,\, u_1)$ .
Le projeté orthogonal de $D_1$ sur $Ox$ donne le point $(u_1\, ,\, 0)$ .
On recommence la construction à partir de $u_1$ pour obtenir $u_2$ etc …

Un dessin bien fait peut suggérer une conjecture sur la monotonie de la suite, sur un éventuel majorant un minorant de la suite et vous conduire à prouver qu’elle converge ou qu’elle tend vers $+\infty$ ou $- \infty$ .
Le dessin suivant doit vous conduire :
a) à démontrer que la suite vérifie $0 \leqslant u_n \leqslant u_{n + 1}$
b) à calculer l’abscisse $\ell$ du point d’intersection de $\Delta$ et $\Gamma_f$ représenté ci-dessus.
c) à démontrer que $u_n \leqslant \ell$
d) à démontrer que la suite converge vers $\ell$ .

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4. Opérations sur les limites de suites en terminale

4.1. Cas des suites convergentes en terminale

On suppose dans la suite que les suites $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ convergent avec
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = \ell$ et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_n = \ell\,'$ .

$\bullet$ 1. Si $\alpha \in \mathbb{R}$ , la suite $(\alpha \,u_n)_n$ converge et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \alpha\, u_n = \alpha \lim_{n \to + \infty} u_n$

$\bullet$ 2. La suite $(u_n + v_n)_n$ converge et
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} ( u_n + v_n) = \lim_{n \to + \infty} u_n + \lim_{n \to + \infty} v_n$

$\bullet$ 3. La suite $(u_n \, . \, v_n)_n$ converge et
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} ( u_n\, . \, v_n) = \lim_{n \to + \infty} u_n \, . \, \lim_{n \to + \infty} v_n$

$\bullet$ 4. Si la suite $( v_n)_n$ converge vers $\ell\,' \neq 0$ , pour $n$ assez grand $v_n \neq 0$ et
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac 1{v_n} = \frac 1 {\ell\, '}$ .

$\bullet$ 5. Si la suite $( v_n)_n$ converge vers $\ell\,' \neq 0$ , pour $n$ assez grand, on peut définir $\displaystyle \frac {u_n} {v_n}$ et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac {u_n} {v_n} = \frac {\ell} {\ell\, '}$ .

Dans le cas d’une différence de suites, on se ramene à l’étude de la somme de deux suites en écrivant $\displaystyle {u_n} - {v_n} = u_n + ( - v_n)$ .
Elle converge vers $\ell - \ell'$ .

Dans le cas d’un quotient de suites, on peut toujours se ramener à l’étude du produit de deux suites en écrivant $\displaystyle \frac {u_n} {v_n} = u_n \, . \, \frac 1 {v_n}$ .

4.2. Avec des limites infinies de suites au bac

Dans ce paragraphe, $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ sont deux suites réelles.

$\bullet$ 1. Si la suite $( u_n)_n$ converge vers $0$ et s’il existe $N\in \mathbb{N}$ tel que si $n \geqslant N$ , $u_n > 0$ , $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac 1{u_n} = + \infty$ .

$\bullet$ 1bis. Si la suite $( u_n)_n$ converge vers $0$ et s’il existe $N\in \mathbb{N}$ tel que si $n \geqslant N$ , $u_n < 0$ , $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac 1{u_n} = - \infty$ .

$\bullet$ 2. Si la suite $( u_n)_n$ tend vers $+ \infty$ (ou vers $-\infty$ ), il existe $N\in \mathbb{N}$ tel que si $n \geqslant N$ , $u_n \neq 0$ et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} \frac 1{u_n} = 0$ .

$\bullet$ 3. Si $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = \ell$ et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_n = +\infty$ (resp. $- \infty$ ),
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} (u_n + v_n) = +\infty$ (resp. $-\infty$ ).

$\bullet$ 4. Si $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = \ell > 0$ et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_n = +\infty$ (resp. $- \infty$ ) ,
$\quad \displaystyle \lim_{n \to + \infty} (u_n \,.\ v_n) = +\infty$ (resp. $-\infty$ ).

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5. Formes indéterminées des suites en terminale

On examine les cas où l’on ne peut utiliser les résultats du paragraphe 4.2. pour les limites en terminale pour les sommes, produits ou quotients.

On dit que l’on obtient une forme indéterminée
$\bullet$ 1. $\boxed{\infty - \infty}$ si l’on étudie $(u_n + v_n)_n$ avec (à l’ordre près des suites)
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_n = - \infty$

$\bullet$ 2. $\boxed{0 . \infty}$ si l’on étudie $(u_n \, v_n)_n$ avec
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = 0$ et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_n = \infty$

$\bullet$ 3. $\displaystyle \boxed{\frac {0} {0}}$ si l’on étudie $\displaystyle \left ( \frac {u_n} {v_n}\right ) _n$ avec
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = \lim_{n \to + \infty} v_n = 0$

$\bullet$ 4. $\displaystyle \boxed{\frac {\infty} {\infty}}$ si l’on étudie $\displaystyle \left ( \frac {u_n} {v_n} \right ) _n$ avec
$\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = \infty$ et $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} v_n = \infty$

Il faudra dans ces cas $\qquad \quad$ « lever l’indétermination » , c’est à dire trouver une méthode permettant de conclure quant à la limite.

Quelques méthodes pour lever les indéterminations :

$\bullet$ Factoriser : ce sera en particulier le cas

pour trouver la limite d’une suite polynomiale, en mettant en facteur le terme de plus haut degré
pour trouver la limite d’une fraction rationnelle en factorisant au numérateur et au dénominateur le terme de plus haut degré.

$\bullet$ Utiliser la quantité conjuguée : dans le cas d’une différence de deux racines carrées .
Il faudra parfois poursuivre par une factorisation.

Rappel quantité conjuguée

de $\sqrt{u} + v$ : $\sqrt{u} - v$
de $\sqrt{u} - v$ : $\sqrt{u} + v$
de $\sqrt{u} - \sqrt{v}$ : $\sqrt{u}+ \sqrt{v}$
de $\sqrt{u} + \sqrt{v}$ : $\sqrt{u} - \sqrt{v}$ .

Retrouvez toutes les annales du bac de maths sur les suites, indispensables pour maîtriser au mieux le programme de maths de Terminale. Les maths constituent la matière au plus fort coefficient au Bac : voyez sur notre simulateur du bac comme une bonne note en maths vous rapproche de la mention ! Réussissez en maths en Terminale et vous aurez toutes vos chances d’être satisfait de vos résultats du bac mais aussi d’intégrer le top du classement des prépa MP.

Approfondissez vos connaissances sur les chapitres suivants au programme de maths en Terminale :

Cours sur les suites en terminale générale

1. Cours suites monotones, suites majorées, minorées en terminale

1.1. Suites monotones en terminale :

1.2. Suites majorées et minorées en terminale

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2. Suite qui tend vers $\pm\infty$ au bac

2.1. Suite qui tend vers $+\infty$

3. Cours sur les suites convergentes en terminale

3.1. Définition d’une suite convergente en terminale

3.2. Cas des suites monotones en terminale

3.3. Théorème des « gendarmes » en terminale et limites de suites

3.4. Aide graphique pour représenter les valeurs d’une suite

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4.2. Avec des limites infinies de suites au bac

5. Formes indéterminées des suites en terminale

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