Chapitres Maths en Terminale Générale
Cours sur les suites en terminale générale
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de maths en Terminale
Il est impératif d’être au point sur le chapitre des suites en terminale pour réussir en terminale et surtout pour réussir au baccalauréat, quitte à prendre des cours particuliers maths en cas de lacunes. Profitez également de nos autres cours en ligne de terminale en maths pour améliorer votre moyenne et vous préparer pour les meilleures prepa HEC ou scientifiques.
1. Cours suites monotones, suites majorées, minorées en terminale
1.1. Suites monotones en terminale :
- Une suite réelle est
- croissante lorsque pour tout entier ,
- décroissante lorsque pour tout entier ,
- monotone lorsque qu’elle est croissante ou décroissante.
- strictement croissante lorsque pour tout entier ,
- strictement décroissante lorsque pour tout entier ,
- strictement monotone lorsque qu’elle est strictement croissante ou strictement décroissante.
Il existe des suites qui ne sont pas monotones :
Prendre la suite définie par
et .
1.2. Suites majorées et minorées en terminale
Les définitions :
- La suite est majorée lorsqu’il existe un réel tel que pour tout .
On dit alors que est majorée par .
On dit que est un majorant de la suite .
Si est tel que , la suite est aussi majorée par . - La suite n’est pas majorée lorsque pour tout réel , on peut trouver tel que .
- La suite est minorée lorsqu’il existe un réel tel que pour tout
On dit alors que est minorée par .
On dit que est un minorant de la suite .
Si est tel que , la suite est aussi minorée par . - La suite n’est pas minorée lorsque pour tout réel , on peut trouver tel que .
- On dit que la suite est bornée lorsqu’elle est minorée et majorée.
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2. Suite qui tend vers au bac
2.1. Suite qui tend vers
Définition : la suite tend vers lorsque pour tout , l’intervalle contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang,
soit lorsqu’il existe tel que si , ,
On écrit alors
ou .
Exemple
Si et ,
2.2. Suite qui tend vers
Definition : la suite tend vers lorsque pour tout , l’intervalle contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang,
soit lorsqu’il existe tel que si , .
On écrit alors
ou .
Exemple
Si et , .
3. Cours sur les suites convergentes en terminale
3.1. Définition d’une suite convergente en terminale
Soit une suite de réels et un réel.
On dit que la suite converge vers si tout intervalle ouvert contenant contient tous les termes de la suite à partir d’un certain rang.
On écrit alors
ou .
Donc :
ssi pour tout , tous les termes de la suite à partir d’un certain rang sont dans l’intervalle .
ssi pour tout , il existe tel que pour , .
La suite converge vers si, et seulement si, la suite converge vers 0.
La suite converge vers si, et seulement si, la suite converge vers 0.La convergence d’une suite ne dépend pas de ses premiers termes.
Si la suite converge vers , .
On dit qu’une suite est divergente lorsqu’elle ne converge pas.
Si la suite est une suite divergente, on est dans l’un des 3 cas suivants :
- n’a pas de limite comme par exemple la suite .
3.2. Cas des suites monotones en terminale
T1. Si la suite est croissante et majorée par , elle converge et sa limite vérifie .
T2. Si la suite est décroissante et minorée par , elle converge et sa limite vérifie .
3.3. Théorème des « gendarmes » en terminale et limites de suites
T3. Théorème d’encadrement (ou théorème des « gendarmes »)
On considère trois suites réelles et telles qu’il existe un entier tel que
si , .
Si les suites et conver- gent vers le réel , la suite converge vers .
Cas particuliers :
1. On considère deux suites réelles et telles qu’il existe un entier tel que si ,
Si la suite converge vers 0, la suite converge vers .
2. On considère deux suites réelles et telles qu’il existe un entier tel que si ,
Si la suite converge vers 0, la suite converge vers .
(car ).
3. On considère deux suites réelles et et un réel telles qu’il existe un entier tel que si ,
Si la suite converge vers 0, la suite converge vers .
(car ).
Dans la suite du cours on parlera de théorème d’encadrement.
3.4. Aide graphique pour représenter les valeurs d’une suite
Aide graphique ppour représenter quelques valeurs de la suite définie par et pour .
Dans un même repère orthogonal :
- Tracer le graphe de .
- Tracer la droite d’équation .
- Partir d’une valeur et introduire le point .
- La droite passant par et parallèle à coupe la droite au point .
- Le projeté orthogonal de sur donne le point .
- On recommence la construction à partir de pour obtenir etc …
Un dessin bien fait peut suggérer une conjecture sur la monotonie de la suite, sur un éventuel majorant un minorant de la suite et vous conduire à prouver qu’elle converge ou qu’elle tend vers ou .
Le dessin suivant doit vous conduire :
a) à démontrer que la suite vérifie
b) à calculer l’abscisse du point d’intersection de et représenté ci-dessus.
c) à démontrer que
d) à démontrer que la suite converge vers .
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4. Opérations sur les limites de suites en terminale
4.1. Cas des suites convergentes en terminale
On suppose dans la suite que les suites et convergent avec
et .
1. Si , la suite converge et
2. La suite converge et
3. La suite converge et
4. Si la suite converge vers , pour assez grand et
.
5. Si la suite converge vers , pour assez grand, on peut définir et .
Dans le cas d’une différence de suites, on se ramene à l’étude de la somme de deux suites en écrivant .
Elle converge vers .
Dans le cas d’un quotient de suites, on peut toujours se ramener à l’étude du produit de deux suites en écrivant .
4.2. Avec des limites infinies de suites au bac
Dans ce paragraphe, et sont deux suites réelles.
1. Si la suite converge vers et s’il existe tel que si , , .
1bis. Si la suite converge vers et s’il existe tel que si , , .
2. Si la suite tend vers (ou vers ), il existe tel que si , et .
3. Si et (resp. ),
(resp. ).
4. Si et (resp. ) ,
(resp. ).
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5. Formes indéterminées des suites en terminale
On examine les cas où l’on ne peut utiliser les résultats du paragraphe 4.2. pour les limites en terminale pour les sommes, produits ou quotients.
On dit que l’on obtient une forme indéterminée
1. si l’on étudie avec (à l’ordre près des suites)
et
2. si l’on étudie avec
et
3. si l’on étudie avec
4. si l’on étudie avec
et
Il faudra dans ces cas « lever l’indétermination » , c’est à dire trouver une méthode permettant de conclure quant à la limite.
Quelques méthodes pour lever les indéterminations :
Factoriser : ce sera en particulier le cas
- pour trouver la limite d’une suite polynomiale, en mettant en facteur le terme de plus haut degré
- pour trouver la limite d’une fraction rationnelle en factorisant au numérateur et au dénominateur le terme de plus haut degré.
Utiliser la quantité conjuguée : dans le cas d’une différence de deux racines carrées .
Il faudra parfois poursuivre par une factorisation.
Rappel quantité conjuguée
- de :
- de :
- de :
- de : .
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