Chapitres Maths en Terminale Générale
Cours variables aléatoires : loi des grands nombres en terminale
Résumé de cours Exercices et corrigés
Cours en ligne de Maths en Terminale
Le niveau de mathématiques au programme de terminale est plus élevé depuis la réforme du bac. La spécialité mathématiques ouvre aux élèves la porte de toutes les classes préparatoire à condition de fournir le travail nécessaire.
Résumé de cours : la loi des grands nombres
Ce cours en ligne sur la loi des grands nombres permet de revoir tous les points essentiels afin de bien réussir et obtenir des bons résultats au bac. Vous pouvez completer ce cours sur la loi des grands nombre avec un prof de maths en ligne.
1. Les variables aléatoires en terminale Maths expertes
1.1. Rappels sur les variables aléatoires en terminale
Toute application est une variable aléatoire réelle sur . On écrit en abrégé est une v.a.r. sur .
Si est une variable aléatoire sur , est une partie finie de , que l’on note .
Si ,
L’ensemble des événements
est formé de parties non vides, 2 à 2 disjointes, de réunion égale à (c’est un système complet d’événements).
Donner la loi de la variable aléatoire c’est donner et pour tout , la valeur du réel .
alors : .
Soit . Une variable aléatoire suit une loi de Bernoulli de paramètre si et .
Lorsque est petit, on peut présenter la loi de sous forme d’un tableau comme celui-ci :
On peut définir une probabilité sur l’univers fini par:
pour tout ,
.
On note
alors .
En particulier
si ,
si ,
si ,
si ,
si ,
etc …
1.2. Opérations sur les variables aléatoires en maths expertes
Si et sont deux variables aléatoires sur l’univers fini , on définit
la somme des variables aléatoires et par
le produit des variables aléatoires et par
.
et sont des variables aléatoires sur .
Si est une variable aléatoire sur l’univers fini ,
si , on définit le produit de par le réel par
si ,
et sont des variables aléatoires.
Autres exemples :
Si , et si , sont des variables aléatoires sur ,
.
sont des variables aléatoires sur .
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1.3. Indépendance de variables aléatoires
Les variables et définies sur l’univers fini muni de la probabilité sont dites indépendantes lorsque
pour tout et ,
c.a.d. les événements et sont indépendants.
Si et sont des variables indépen- dantes, alors pour tout et ,
les événements et
les événements et
les événements et
(etc …) sont indépendants.
Vous n’aurez pas à prouver que les variables aléatoires sont indépendantes, mais si elles sont indépendantes, vous pouvez utiliser l’indépendance des événements et .
Si l’on a épreuves indépendantes sur l’univers fini et si pour tout , est une variable aléatoire associée à la -ème épreuve, les variables sont indépendantes et elles sont alors 2 à 2 indépendantes.
1.4. Espérance d’une variable aléatoire en terminale générale
Soit une variable aléatoire sur l’univers fini , lorsque
l’espérance de est le réel noté égal à .
Interprétation : On suppose que .
On dit que suit une loi uniforme si
pour tout ,
alors est la moyenne des valeurs prises par .
Soient et deux variables aléatoi- res sur , alors
.
Soit une variable aléatoire et , alors
.
On traduit et en disant que l’espérance est linéaire.
Soit une variable aléatoire et , alors
Soit . Si pour tout , est une variable aléatoire sur l’univers fini
.
1.5. La variance en maths expertes en terminale
Si est une variable aléatoire sur et si ,
la variance de est le réel positif ou nul :
l’écart-type de est le réel positif ou nul noté .
est l’espérance de la variable aléatoire .
On peut donc écrire : .
est une mesure de la dispersion de autour de
Formule de Koenig-Huyghens
.
Il est préférable d’utiliser cette formule pour le calcul de .
Si les variables et ont même loi, et .
Lorsque est faible, on peut calculer et en utilisant un tableau du type suivant :
Propriétés
Si est une variable aléatoire et un réel, .
Si et sont des variables indépendantes sur , .
Soient et épreuves indépen- dantes. Si pour tout , est une variable aléatoire associée à la -ème épreuve et si ,
.
2. Inégalité de Bienaymé-Tchebychev en maths en Terminale
Inégalité de Bienaymé-Tchebychev
Soit une variable aléatoire sur
Pour tout , .
On note et
On note l’ensemble des tels que et .
On écrit .
En utilisant la partition de
comme on additionne des nombres positifs ou nuls,
puis si ,
donc
.
avec
ce qui donne
On obtient le résultat en divisant par .
L’inégalité de Bienaymé-Tchebychev donne donc une majoration de la probabilité pour que ou que
En particulier si est l’écart type de , .
En prenant , on obtient une inégalité qui n’a pas d’intérêt car elle s’écrit
On peut aussi écrire l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev sous la forme :
pour tout , .
3. Loi des grands nombres en Terminale
3.1. Échantillon de taille d’une loi
Soit une variable aléatoire définie sur l’univers fini .
Si , on appelle échantillon de taille de la loi de toute famille de variables aléatoires indépendantes de même loi que
(on les obtient en répétant épreuves identiques)
On définit
et .
est appelée moyenne empirique des variables
Propriétés
Soient et de variables aléatoires indépendantes de même loi.
On note et l’écart type de
et
et .
3.2. Inégalité de concentration en maths expertes
Soient et des variables aléatoires indépendantes de même loi d’espérance et d’écart- type .
Alors pour tout ,
C’est simplement une application de l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev, on peut donc la retrouver facilement.
Plus la taille de l’échantillon est importante, plus les valeurs prises par les moyennes empiriques sont regroupées autour de l’espérance de la loi.
3.3. Loi des grands nombres en terminale
Soit une épreuve et une variable aléatoire associée à cette épreuve dont on note l’espérance et l’écart type.
En répétant fois de façon indépen- dante cette épreuve, on obtient un échantillon de taille de la loi de .
Pour tout ,
alors .
On dit que la suite converge en probabilité vers .
Cas particulier
Soit une variable aléatoire de Bernoulli d’espérance .
Soit et un échantillon de taille de la loi de .
Pour tout ,
alors .
On dit que la suite converge en probabilité vers .
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