Chapitres Maths en Terminale Générale

Cours sur la récurrence en Terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en Terminale

Un cours en ligne sur la récurrence, chapitre au programme de maths en Terminale. Dans ce cours, est rappelé ce qu’est le principe de récurrence, sont détaillées les démonstrations par récurrence sur les résultats des suites géométriques et des suites arithmétiques, et enfin est abordé le principe d’inégalité de Bernoulli. Toutes ces notions sont essentielles au programme de Terminale et sont indispensables pour obtenir de très bons résultats au bac. Pour mettre toutes les chances de votre côté, vous avez l’option des cours de soutien en maths pour le bac.

1. Résumé de cours sur le principe de récurrence en terminale

1.1. Récurrence en commençant au rang 0.

Soit $\mathcal{P}(n)$ une propriété dépendant de l’entier $n$ .

Pour démontrer par récurrence que pour tout entier $n$ , $\mathcal{P}(n)$ est vraie,
après avoir clairement écrit que l’on note $\q;\;$ pour $n \in \mathbb{N}$ , $\mathcal{P}(n)$ : $" \cdots \cdots "$
on raisonne en trois étapes :

Initialisation : On démontre que $\mathcal{P}(0)$ est vraie

Hérédité : On suppose que pour un entier $n$ donné, la propriété $\mathcal{P}(n)$ est vraie. On démontre alors que la propriété $\mathcal{P}(n + 1 )$ est vraie

Conclusion : On termine en disant que l’on a démontré par récurrence que la propriété $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n$ .

Conseils importants de rédaction des récurrences pour le bac :

Lorsque la propriété $\mathcal{P}(n)$ consiste en une égalité, pour démontrer la propriété $\mathcal{P}(0)$ , partir d’un des côtés de l’égalité (en général le plus compliqué) pour arriver à l’autre côté.
Pour l’hérédité : ne vous trompez pas, dites bien que vous supposez que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour UN entier $n$ donné et non pas que $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n$ (dans ce cas, il n’y aurait rien à démontrer ! ).
Quand vous définissez la propriété $\mathcal{P}(n)$ avant de commencer votre raisonnement,
bien écrire pour $n \in \mathbb{N}$ , on note $\mathcal{P}(n)$
et non on note $\mathcal{P}(n)$ : pour tout entier $n$ …

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1.2. Récurrence en commençant au rang $k$ .

Soit $\mathcal{P}(n)$ une propriété dépendant de l’entier $n$ .
On se donne un entier $k \in \mathbb{N}$ .

Pour démontrer par récurrence que pour tout entier $n \geqslant k$ , $\mathcal{P}(n)$ est vraie,
après avoir clairement écrit que l’on note
pour $n \in \mathbb{N}$ et $n \geqslant k$ ,
$\qquad \qquad \mathcal{P}(n)$ : $" \cdots \cdots "$
on raisonne en trois étapes.

Initialisation : On démontre que $\mathcal{P}(k)$ est vraie

Hérédité : On suppose que pour un entier $n$ donné vérifiant $n \geqslant k$ , la propriété $\mathcal{P}(n)$ est vraie.
On démontre alors que la propriété $\mathcal{P}(n + 1 )$ est vraie

Conclusion : On termine en disant que l’on a démontré par récurrence que la propriété $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier $n\geqslant k$ .

Quand utiliser une récurrence en terminale générale ?

Une évidence : quand l’énoncé le demande explicitement
Quand l’énoncé demande de prouver une propriété dépendant de $n$ .
Quand vous voulez démontrer une conjecture faite après l’observation d’une propriété sur de petites valeurs de $n$ .
Dans l’étude de suites en terminale (mais ce n’est pas la seule méthode) pour démontrer par exemple que $u_n$ est dans un intervalle $I$ , que la suite est monotone.

2. Les résultats sur les suites arithmétiques démontrés par récurrence

2.1. Valeur de $u_n$ pour une suite arithmétique

$\bullet$ Si $(u_n)_{n\geqslant 0}$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_0 \,$ , alors pour tout entier $n$ , $u_n = u_0 + n\, r$

$\bullet$ Si $(u_n)_{n\geqslant k}$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_k\,$ , alors pour tout entier $n \geqslant k$ , $\qquad \quad u_n = u_k + (n - k) \, r$ .

2.2. Somme des termes d’une suite arithmétique

$\bullet$ Si $(u_n)_{n \geqslant k}$ est une suite arithmétique de raison $r$ et de premier terme $u_k$ , alors pour tout entier $n \geqslant k \,$ ,
$S_n = u_k + \cdots + u_ {n - 1} + u_n$
$S_n = \displaystyle \frac {n + 1 - k} 2 ( u_k + u_n)$

On pourra bien-sûr appliquer la formule dans le cas où $k = 0$ :
$u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \displaystyle \frac {n + 1} 2 (u_0 + u_n)$ .

3. Les résultats sur les suites géométriques démontrés par récurrence

3.1. Valeur de $u_n$ pour une suite géométrique

$\bullet$ Si $(u_n)_{n\geqslant 0}$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_0\,$ , alors pour tout entier $n$ , $u_n = u_0 \, q ^n$ .

$\bullet$ Si $(u_n)_{n\geqslant k}$ est une suite géométrique de raison $q$ et de premier terme $u_k\,$ , pour tout entier $n \geqslant k$ , $u_n = u_k \, q ^{ n - k}$

3.2. Somme des termes d’une suite géométrique

$\bullet$ Si $(u_n)_{n \geqslant k}$ est une suite géométrique de raison $q \neq 1$ et de premier terme $u_n\,$
alors pour tout entier $n \geqslant k \,$ ,
$S_n = u_k + \cdots + u_n = \displaystyle u_k \frac {1 - q ^{n - k + 1} } {1 - q }$

On pourra bien-sûr appliquer la formule dans le cas où $k = 0$ :
$u_0 + u_1 + \cdots + u_n = \displaystyle u_0 \frac {1 - q ^{n - k + 1} } {1 - q }$ .

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4. Inégalité de Bernoulli en terminale

Pour tout réel $x > - 1$ et $x \neq 0$ et pour tout entier $n \in \mathbb{N}$ , $n > 1$ , $\qquad \quad (1 + x) ^n > 1 + n \, x$ .

Pour $x = 0$ , l’inégalité de Bernoulli est une égalité (1 = 1).

Démonstration :

On fixe $x > - 1$ et $x \neq 0$ .
Si $n \in \mathbb{N}$ et $n \geq 2$ , on note $\qquad \qquad \mathcal{P}(n) : (1 + x) ^n > 1 + n\, x$ .

Initialisation : Pour $n = 2$ , $( 1 + x) ^2 - 1 - 2\, x = x ^2 > 0$ , donc $(1 + x)^2 > 1 + 2\, x$ .
On a donc prouvé que $\mathcal{P}(2)$ est vraie.

Hérédité : On suppose que $\mathcal{P}(n)$ est vraie. On multiplie l’inégalité stricte $(1 + x)^n > 1 + n\, x$ par $1 + x > 0$
$(1 + x) ^{n + 1} > (1 + n\, x) (1 + x)$
Puis $(1 + n\, x ) (1 + x) = 1 + (n + 1) \, x + n \, x ^2$ $(1 + n\, x)(1 + x) > 1 + (n + 1) \, x$ car $n\, x^2 > 0$ .
On a donc prouvé que $\qquad \quad (1 + x) ^{n + 1} > 1 + (n + 1) \, x$ .
La propriété $\mathcal{P}(n + 1)$ est vraie.

Conclusion : la propriété est vraie par récurrence sur $n$ , donc pour tout entier $n \geqslant 2$ , $(1 + x) ^n > 1 + n\, x$ .

N’hésitez pas à consulter nos annales de maths au bac général pour vous exercer. Si vous avez des difficultés sur les récurrences, vous pouvez également faire appel à un professeur pour des cours particuliers en maths. Se faire accompagner par un professeur particulier permet d’adopter les bonnes méthodes de travail et de se débarrasser d’éventuelles lacunes. Si vous souhaitez vous entraînez seul chez vous, consultez aussi les autres cours en ligne de maths au programme de Terminale, dont :