Chapitres Maths en Terminale Générale

Exercices corrigés sur le raisonnement par récurrence en terminale

Par Seda Biber, mis à jour le 27/10/2026

Voici 11 exercices corrigés de récurrence pour la spécialité maths de terminale, classés par type de question : terme général d’une suite, somme de termes, inégalité, sens de variation, divisibilité. Chaque corrigé suit la rédaction attendue au bac, en trois temps : initialisation, hérédité, conclusion. Le programme de terminale demande de savoir « raisonner par récurrence pour établir une propriété d’une suite » : ce sont exactement ces situations que vous allez travailler. Si une étape vous bloque, relisez d’abord le résumé de cours sur la récurrence en terminale.

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

💡 Astuce : gardez toujours le même squelette de rédaction. 1) « Pour tout entier

$n$ , on note

$\mathcal{P}(n)$ : … » 2) Initialisation : on vérifie

$\mathcal{P}(0)$ (ou le premier rang demandé). 3) Hérédité : « Soit

$n$ un entier fixé tel que

$\mathcal{P}(n)$ soit vraie. Montrons

$\mathcal{P}(n+1)$ . » 4) Conclusion : « La propriété est initialisée et héréditaire, donc par récurrence

$\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier

$n$ . »

1. Démontrer le terme général d’une suite par récurrence

C’est la question la plus classique : l’énoncé donne une suite définie par récurrence et une formule explicite à démontrer. Dans l’hérédité, on part de $u_{n+1}$ , on remplace $u_n$ grâce à l’hypothèse de récurrence, puis on retrouve la formule au rang $n+1$ .

Exercice 1 : suite définie par $u_{n+1} = u_n + 2n + 5$

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = u_n + 2n + 5$ .

Montrer que pour tout entier naturel $n$ , $u_n = n^2 + 4n + 2$ .

Exercice 2 : suite définie par $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + n - 2$

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = \dfrac{1}{3}u_n + n - 2$ .

Montrer que pour tout entier naturel $n$ , $u_n = \dfrac{25}{4 \times 3^n} + \dfrac{3n}{2} - \dfrac{21}{4}$ .

Corrigé de l’exercice 1

Pour tout entier naturel $n$ , on note $\mathcal{P}(n)$ : $u_n = n^2 + 4n + 2$ .

Initialisation : pour $n = 0$ , $0^2 + 4 \times 0 + 2 = 2 = u_0$ . Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité : soit $n$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie. Alors :

$u_{n+1} = u_n + 2n + 5 = n^2 + 4n + 2 + 2n + 5 = n^2 + 6n + 7$

Or $(n+1)^2 + 4(n+1) + 2 = n^2 + 2n + 1 + 4n + 4 + 2 = n^2 + 6n + 7$ .

Donc $u_{n+1} = (n+1)^2 + 4(n+1) + 2$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion : la propriété est initialisée et héréditaire, donc pour tout entier naturel $n$ , $u_n = n^2 + 4n + 2$ .

Corrigé de l’exercice 2

Pour tout entier naturel $n$ , on note $\mathcal{P}(n)$ : $u_n = \dfrac{25}{4 \times 3^n} + \dfrac{3n}{2} - \dfrac{21}{4}$ .

Initialisation : pour $n = 0$ , $\dfrac{25}{4 \times 1} + 0 - \dfrac{21}{4} = \dfrac{4}{4} = 1 = u_0$ . Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité : soit $n$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie. On calcule $u_{n+1}$ en utilisant $\mathcal{P}(n)$ :

$u_{n+1} = \dfrac{1}{3}\left( \dfrac{25}{4 \times 3^n} + \dfrac{3n}{2} - \dfrac{21}{4} \right) + n - 2 = \dfrac{25}{4 \times 3^{n+1}} + \dfrac{n}{2} - \dfrac{7}{4} + n - 2$

soit $u_{n+1} = \dfrac{25}{4 \times 3^{n+1}} + \dfrac{3n}{2} - \dfrac{15}{4}$ .

D’autre part, l’expression attendue au rang $n+1$ vaut :

$\dfrac{25}{4 \times 3^{n+1}} + \dfrac{3(n+1)}{2} - \dfrac{21}{4} = \dfrac{25}{4 \times 3^{n+1}} + \dfrac{3n}{2} + \dfrac{6}{4} - \dfrac{21}{4} = \dfrac{25}{4 \times 3^{n+1}} + \dfrac{3n}{2} - \dfrac{15}{4}$

Les deux expressions sont égales, donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion : par récurrence, $\mathcal{P}(n)$ est vraie pour tout entier naturel $n$ .

💡 Astuce : pour démontrer une égalité

$A = B$ , le plus direct est de partir de

$A$ pour arriver à

$B$ . Quand le calcul devient lourd, faites comme dans l’exercice 2 : simplifiez séparément

$A$ et

$B$ et montrez qu’ils valent la même quantité

$C$ .

2. Calculer une somme par récurrence

Ici, $\mathcal{P}(n)$ porte sur une somme de $n$ termes. Le passage au rang $n+1$ repose toujours sur la même idée : la somme de $n+1$ termes, c’est la somme de $n$ termes plus le terme suivant. Attention au premier rang : ces sommes commencent souvent à $n = 1$ .

Exercice 3 : somme des entiers de 1 à n

Pour tout entier $n \geqslant 1$ , on note $S_n = 1 + 2 + \cdots + n$ .

Montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$ , $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Exercice 4 : somme alternée de carrés

Pour tout entier $n \geqslant 1$ , on note $T_n = -1^2 + 2^2 - 3^2 + \cdots + (-1)^n n^2$ , c’est-à-dire la somme des termes $(-1)^k k^2$ pour $k$ allant de 1 à $n$ .

En utilisant le résultat de l’exercice 3, montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$ , $T_n = (-1)^n \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Exercice 5 : somme de fractions

Pour tout entier $n \geqslant 1$ , on note :

$S_n = \dfrac{2}{1 \times 2 \times 3} + \dfrac{2}{2 \times 3 \times 4} + \cdots + \dfrac{2}{n(n+1)(n+2)}$

Montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$ , $S_n = \dfrac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}$ .

Corrigé de l’exercice 3

Pour tout entier $n \geqslant 1$ , on note $\mathcal{P}(n)$ : $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Initialisation : pour $n = 1$ , $S_1 = 1$ et $\dfrac{1 \times 2}{2} = 1$ . Donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité : soit $n \geqslant 1$ fixé tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie.

$S_{n+1} = S_n + (n+1) = \dfrac{n(n+1)}{2} + (n+1) = \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$

en factorisant par $(n+1)$ . C’est bien $\mathcal{P}(n+1)$ .

Conclusion : par récurrence, $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$ pour tout entier $n \geqslant 1$ .

Corrigé de l’exercice 4

Pour tout entier $n \geqslant 1$ , on note $\mathcal{P}(n)$ : $T_n = (-1)^n \dfrac{n(n+1)}{2}$ .

Initialisation : $T_1 = (-1)^1 \times 1^2 = -1$ et $(-1)^1 \times \dfrac{1 \times 2}{2} = -1$ . Donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité : soit $n \geqslant 1$ fixé tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie. On ajoute le terme suivant :

$T_{n+1} = T_n + (-1)^{n+1}(n+1)^2 = (-1)^n \dfrac{n(n+1)}{2} + (-1)^{n+1}(n+1)^2$

Comme $(-1)^n = -(-1)^{n+1}$ , on factorise par $(-1)^{n+1}$ puis par $\dfrac{n+1}{2}$ :

$T_{n+1} = (-1)^{n+1}\left( (n+1)^2 - \dfrac{n(n+1)}{2} \right) = (-1)^{n+1} \dfrac{n+1}{2}\big( 2(n+1) - n \big) = (-1)^{n+1} \dfrac{(n+1)(n+2)}{2}$

C’est bien $\mathcal{P}(n+1)$ .

Conclusion : par récurrence, $T_n = (-1)^n \dfrac{n(n+1)}{2}$ pour tout entier $n \geqslant 1$ . Autrement dit, $T_n = (-1)^n S_n$ avec la somme $S_n$ de l’exercice 3.

Corrigé de l’exercice 5

Pour tout entier $n \geqslant 1$ , on note $\mathcal{P}(n)$ : $S_n = \dfrac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)}$ .

Initialisation : pour $n = 1$ , $S_1 = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$ et $\dfrac{1 \times 4}{2 \times 2 \times 3} = \dfrac{4}{12} = \dfrac{1}{3}$ . Donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité : soit $n \geqslant 1$ fixé tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie. On met au même dénominateur $2(n+1)(n+2)(n+3)$ :

$S_{n+1} = \dfrac{n(n+3)}{2(n+1)(n+2)} + \dfrac{2}{(n+1)(n+2)(n+3)} = \dfrac{n(n+3)^2 + 4}{2(n+1)(n+2)(n+3)}$

On développe le numérateur : $n(n+3)^2 + 4 = n^3 + 6n^2 + 9n + 4$ . On veut faire apparaître $(n+1)$ pour simplifier. Or $(n+1)^2(n+4) = (n^2 + 2n + 1)(n+4) = n^3 + 6n^2 + 9n + 4$ . Donc :

$S_{n+1} = \dfrac{(n+1)^2(n+4)}{2(n+1)(n+2)(n+3)} = \dfrac{(n+1)(n+4)}{2(n+2)(n+3)}$

C’est exactement la formule au rang $n+1$ , puisque $(n+1) + 3 = n + 4$ , $(n+1) + 1 = n + 2$ et $(n+1) + 2 = n + 3$ . Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion : par récurrence, la formule est vraie pour tout entier $n \geqslant 1$ .

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3. Démontrer une inégalité ou un encadrement par récurrence

Pour une inégalité, l’hérédité demande plus de soin qu’une égalité : chaque fois que vous multipliez ou divisez une inégalité, vérifiez le signe du nombre utilisé. Pour encadrer $u_{n+1}$ , la méthode la plus sûre consiste souvent à étudier le signe d’une différence, comme $3 - u_{n+1}$ .

Exercice 6 : l’inégalité de Bernoulli

Soit $x$ un réel positif. Montrer que pour tout entier naturel $n$ , $(1+x)^n \geqslant 1 + nx$ .

Cette démonstration figure au programme de terminale : elle sert ensuite à établir la limite de $(q^n)$ lorsque $q > 1$ .

Exercice 7 : encadrer une suite homographique

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = \dfrac{9}{6 - u_n}$ .

Montrer que pour tout entier naturel $n$ , $u_n$ est bien défini et $0 < u_n < 3$ .

Exercice 8 : encadrer une autre suite

Soit la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$ , $u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 1}{u_n + 1}$ .

Montrer que pour tout entier naturel $n$ , $u_n$ est bien défini et $\dfrac{3}{2} < u_n \leqslant 2$ .

Corrigé de l’exercice 6

Pour tout entier naturel $n$ , on note $\mathcal{P}(n)$ : $(1+x)^n \geqslant 1 + nx$ .

Initialisation : pour $n = 0$ , $(1+x)^0 = 1$ et $1 + 0 \times x = 1$ . On a bien $1 \geqslant 1$ , donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité : soit $n$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie : $(1+x)^n \geqslant 1 + nx$ . Comme $1 + x > 0$ , on peut multiplier les deux membres par $1 + x$ sans changer le sens de l’inégalité :

$(1+x)^{n+1} \geqslant (1 + nx)(1 + x) = 1 + x + nx + nx^2 = 1 + (n+1)x + nx^2$

Or $nx^2 \geqslant 0$ , donc $(1+x)^{n+1} \geqslant 1 + (n+1)x$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel $n$ , $(1+x)^n \geqslant 1 + nx$ .

Application : si $q > 1$ , on pose $x = q - 1 > 0$ . Alors $q^n \geqslant 1 + n(q-1)$ , et $1 + n(q-1)$ tend vers $+\infty$ . Par comparaison, $q^n$ tend vers $+\infty$ .

Corrigé de l’exercice 7

Pour tout entier naturel $n$ , on note $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n$ est défini et $0 < u_n < 3$ ».

Initialisation : $u_0 = 1$ est défini et $0 < 1 < 3$ . Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité : soit $n$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie.

Comme $u_n < 3$ , on a $6 - u_n > 3 > 0$ . Le dénominateur ne s’annule pas, donc $u_{n+1}$ est défini.
$9 > 0$ et $6 - u_n > 0$ , donc par quotient $u_{n+1} > 0$ .
On étudie le signe de $3 - u_{n+1}$ :
$3 - u_{n+1} = 3 - \dfrac{9}{6 - u_n} = \dfrac{18 - 3u_n - 9}{6 - u_n} = \dfrac{3(3 - u_n)}{6 - u_n}$

Le numérateur est strictement positif car $u_n < 3$ , le dénominateur aussi. Donc $3 - u_{n+1} > 0$ , c’est-à-dire $u_{n+1} < 3$ .

Ainsi $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel $n$ , $u_n$ est défini et $0 < u_n < 3$ .

Corrigé de l’exercice 8

Pour tout entier naturel $n$ , on note $\mathcal{P}(n)$ : « $u_n$ est défini et $\dfrac{3}{2} < u_n \leqslant 2$ ».

Initialisation : $u_0 = 2$ est défini et $\dfrac{3}{2} < 2 \leqslant 2$ . Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité : soit $n$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie.

Comme $u_n > \dfrac{3}{2}$ , on a $u_n + 1 > 0$ , donc $u_{n+1}$ est défini.
Minoration :
$u_{n+1} - \dfrac{3}{2} = \dfrac{2(2u_n + 1) - 3(u_n + 1)}{2(u_n + 1)} = \dfrac{u_n - 1}{2(u_n + 1)}$

Comme $u_n > \dfrac{3}{2} > 1$ , le numérateur et le dénominateur sont strictement positifs, donc $u_{n+1} > \dfrac{3}{2}$ .
Majoration :
$2 - u_{n+1} = \dfrac{2(u_n + 1) - (2u_n + 1)}{u_n + 1} = \dfrac{1}{u_n + 1} > 0$

donc $u_{n+1} < 2$ , et a fortiori $u_{n+1} \leqslant 2$ .

Ainsi $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion : par récurrence, pour tout entier naturel $n$ , $\dfrac{3}{2} < u_n \leqslant 2$ .

4. Étudier le sens de variation d’une suite par récurrence

Quand la suite s’écrit $u_{n+1} = f(u_n)$ , on montre souvent par récurrence que $u_n \leqslant u_{n+1}$ (suite croissante) ou $u_n \geqslant u_{n+1}$ (suite décroissante). L’outil clé est le sens de variation de $f$ sur l’intervalle où se trouvent les termes. Combinée à un encadrement, cette question permet ensuite de conclure à la convergence.

Exercice 9 : monotonie et convergence

On reprend la suite de l’exercice 7 : $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = f(u_n)$ avec $f(x) = \dfrac{9}{6 - x}$ .

Étudier le sens de variation de $f$ sur $[0\,;3]$ .
Montrer par récurrence que pour tout entier naturel $n$ , $u_n \leqslant u_{n+1}$ .
En déduire que la suite $(u_n)$ converge.

Corrigé de l’exercice 9

1. $f$ est dérivable sur $[0\,;3]$ et $f'(x) = \dfrac{9}{(6 - x)^2} > 0$ . Donc $f$ est strictement croissante sur $[0\,;3]$ .

2. Pour tout entier naturel $n$ , on note $\mathcal{P}(n)$ : $u_n \leqslant u_{n+1}$ .

Initialisation : $u_0 = 1$ et $u_1 = \dfrac{9}{6 - 1} = \dfrac{9}{5}$ . On a bien $1 \leqslant \dfrac{9}{5}$ , donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité : soit $n$ un entier naturel fixé tel que $u_n \leqslant u_{n+1}$ . D’après l’exercice 7, $u_n$ et $u_{n+1}$ appartiennent à $]0\,;3[$ , où $f$ est croissante. On applique $f$ sans changer le sens de l’inégalité : $f(u_n) \leqslant f(u_{n+1})$ , c’est-à-dire $u_{n+1} \leqslant u_{n+2}$ . Donc $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion : par récurrence, $u_n \leqslant u_{n+1}$ pour tout entier naturel $n$ : la suite $(u_n)$ est croissante.

3. La suite $(u_n)$ est croissante et majorée par 3 (exercice 7). D’après le théorème de convergence des suites monotones, elle converge.

Pour aller plus loin : comme $f$ est continue sur $[0\,;3]$ , la limite $\ell$ vérifie $\ell = \dfrac{9}{6 - \ell}$ , soit $\ell^2 - 6\ell + 9 = 0$ , c’est-à-dire $(\ell - 3)^2 = 0$ . La suite converge donc vers 3. Ce type de raisonnement est détaillé dans le cours sur la continuité en terminale.

5. Prouver une divisibilité par récurrence

Ces deux exercices relèvent de l’arithmétique, étudiée dans l’option maths expertes. Ils restent un bon entraînement à la récurrence pour tous les élèves de spécialité. Rappel : un entier $a$ est divisible par $d$ s’il existe un entier $k$ tel que $a = dk$ .

Exercice 10 : divisibilité par 9

Montrer que pour tout entier $n \geqslant 1$ , $4^n + 15n - 1$ est divisible par 9.

Exercice 11 : divisibilité par 6

Montrer que pour tout entier naturel $n$ , $5n^3 + n$ est divisible par 6.

Corrigé de l’exercice 10

Pour tout entier $n \geqslant 1$ , on note $u_n = 4^n + 15n - 1$ et $\mathcal{P}(n)$ : « 9 divise $u_n$ ».

Initialisation : $u_1 = 4 + 15 - 1 = 18 = 9 \times 2$ . Donc $\mathcal{P}(1)$ est vraie.

Hérédité : soit $n \geqslant 1$ fixé tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie : il existe un entier $k$ tel que $u_n = 9k$ . On cherche à faire apparaître $u_n$ dans $u_{n+1}$ :

$u_{n+1} = 4^{n+1} + 15(n+1) - 1 = 4 \times 4^n + 15n + 14$

Or $4u_n = 4 \times 4^n + 60n - 4$ , donc $u_{n+1} - 4u_n = -45n + 18$ . On en déduit :

$u_{n+1} = 4u_n - 45n + 18 = 36k - 45n + 18 = 9(4k - 5n + 2)$

Comme $4k - 5n + 2$ est un entier, 9 divise $u_{n+1}$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion : par récurrence, 9 divise $4^n + 15n - 1$ pour tout entier $n \geqslant 1$ .

Corrigé de l’exercice 11

Pour tout entier naturel $n$ , on note $u_n = 5n^3 + n$ et $\mathcal{P}(n)$ : « 6 divise $u_n$ ».

Initialisation : $u_0 = 5 \times 0^3 + 0 = 0 = 6 \times 0$ . Donc $\mathcal{P}(0)$ est vraie.

Hérédité : soit $n$ un entier naturel fixé tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie : il existe un entier $k$ tel que $5n^3 + n = 6k$ . On développe :

$u_{n+1} = 5(n+1)^3 + (n+1) = 5n^3 + 15n^2 + 15n + 5 + n + 1 = (5n^3 + n) + 15n(n+1) + 6$

Parmi deux entiers consécutifs $n$ et $n+1$ , l’un est pair : leur produit $n(n+1)$ est pair, donc il existe un entier $p$ tel que $n(n+1) = 2p$ . Alors :

$u_{n+1} = 6k + 30p + 6 = 6(k + 5p + 1)$

Donc 6 divise $u_{n+1}$ : $\mathcal{P}(n+1)$ est vraie.

Conclusion : par récurrence, 6 divise $5n^3 + n$ pour tout entier naturel $n$ .

Quelles erreurs éviter dans une récurrence ?

La plupart des points perdus sur une récurrence viennent de la rédaction, pas du calcul. Voici les erreurs les plus fréquentes et la formulation à adopter.

Erreur fréquente	Ce qu’il faut écrire
Écrire « supposons $\mathcal{P}(n)$ vraie pour tout $n$ » dans l’hérédité	« Soit $n$ un entier fixé tel que $\mathcal{P}(n)$ soit vraie » : sinon, on suppose ce qu’on veut démontrer
Oublier l’initialisation	Toujours vérifier le premier rang, même quand il paraît évident
Initialiser à $n = 0$ alors que l’énoncé porte sur $n \geqslant 1$	Commencer au premier rang demandé (exercices 3, 4, 5 et 10)
Ne jamais utiliser $\mathcal{P}(n)$ dans le calcul de l’hérédité	Signaler le moment où l’on remplace $u_n$ (ou $S_n$ ) grâce à l’hypothèse de récurrence
Multiplier une inégalité sans vérifier le signe	Justifier le signe du facteur, comme $1 + x > 0$ dans l’exercice 6
Terminer sans conclusion	« La propriété est initialisée et héréditaire, donc vraie pour tout entier $n$ »

💡 Astuce : une propriété peut être héréditaire et fausse à tous les rangs. Prenez

$\mathcal{P}(n)$ : « 3 divise

$4^n + 1$ ». Si

$4^n + 1 = 3k$ , alors

$4^{n+1} + 1 = 4(4^n + 1) - 3 = 3(4k - 1)$ : l’hérédité fonctionne. Pourtant

$4^0 + 1 = 2$ et

$4^1 + 1 = 5$ ne sont pas divisibles par 3. Sans initialisation, la récurrence ne démontre rien.

Pour continuer l’entraînement, enchaînez avec les exercices corrigés sur les suites en terminale, où la récurrence sert à préparer l’étude des limites. Si vous préférez être guidé sur la rédaction, nos cours particuliers de maths et nos stages intensifs de terminale reprennent ces méthodes avec un professeur.

PROFITER DE L'ETE POUR UN STAGE SECONDE

Préparer le programme de seconde en aout

FAQ sur le raisonnement par récurrence en terminale

Comment rédiger un raisonnement par récurrence ?

On nomme la propriété P(n), puis on rédige trois étapes. Initialisation : on vérifie P au premier rang (souvent n = 0 ou n = 1). Hérédité : on fixe un entier n tel que P(n) soit vraie et on démontre P(n+1) en utilisant cette hypothèse. Conclusion : la propriété est initialisée et héréditaire, donc vraie pour tout entier à partir du premier rang.

Quand faut-il utiliser une récurrence ?

Dès qu'il faut démontrer une propriété qui dépend d'un entier n et que le rang n+1 se déduit du rang n : formule explicite d'une suite définie par récurrence, somme de n termes, encadrement des termes d'une suite, sens de variation d'une suite définie par u(n+1) = f(u(n)), divisibilité. Quand l'énoncé écrit « montrer par récurrence », la méthode est imposée.

Faut-il toujours initialiser à n = 0 ?

Non. On initialise au premier rang pour lequel la propriété est annoncée. Si l'énoncé dit « pour tout entier n supérieur ou égal à 1 », l'initialisation se fait à n = 1. Une somme comme 1 + 2 + ... + n commence en général à n = 1.

La récurrence est-elle au programme du bac ?

Oui. Le programme de spécialité mathématiques de terminale fixe comme capacité attendue de raisonner par récurrence pour établir une propriété d'une suite, et inclut la démonstration par récurrence de l'inégalité de Bernoulli. Elle peut donc être évaluée à l'épreuve écrite de spécialité, qui dure 4 heures et compte coefficient 16.

Quelle différence entre récurrence et suite définie par récurrence ?

Une suite définie par récurrence est une suite dont chaque terme se calcule à partir du précédent, par exemple u(n+1) = 2u(n) + 3. Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration. On l'utilise très souvent sur ces suites, mais il sert aussi pour des sommes, des inégalités ou des divisibilités.