Chapitres Maths en Terminale Générale

Limites de fonction exercices et corrigés Terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Préparez vos révisions en vous exerçant sur nos exercices de mathématiques sur le chapitre des limites de fonction en Terminale. N’hésitez pas à compléter avec les annales de bac en Terminale en maths pour asseoir durablement vos connaissances. Ce chapitre est très important pour la suite de l’année car dans toute étude de fonction exponentielle ou encore de fonction logarithme en terminale, il y aura forcément un calcul de limite à effectuer. Par ailleurs, vous pouvez aussi faire appel à un prof particulier en maths pour comprendre et maîtriser les limites de fonction et réussir le bac.

1. Calcul de limites : exercices corrigés

Consignes :

$\bullet$ Lorsque le problème mettra en évidence une asymptote horizontale ou verticale, on précisera son équation.

$\bullet$ On répondra

$\ast$ +oo , -oo pour une limite égale à $+\infty$ , $-\infty$

$\ast$ a/b pour une limite égale à $\displaystyle \frac a b$

$\ast$ Pour « limite à gauche, à droite » : donner les 2 limites séparées par une virgule, sans espace

Exercice 1 : Limites en $\pm \infty$

Déterminer les limites suivantes en $+\infty$ ou $-\infty$ selon le cas.

Question 1 :
En $+\infty$ , $f : x \mapsto \displaystyle \frac {- 3 \, x ^2 +\, x - 6} {x^2 + 1}$

Question 2 :
En $- \infty$ , $f : x \mapsto \displaystyle \frac { 4 \, x ^3 -\, x^2 + 1 } {5 \ x^2 - \,x + 2}$

Question 3 :
En $+ \infty$ , $f : x \mapsto \displaystyle \frac {1 - 3\, x} { 5 - 4 \, x - 2\, x^2}$

Question 4 :
a) En $+\infty$ , $f : x \mapsto \sqrt{x ^2 - 1} + x$

b) En $-\infty$ , $f : x \mapsto \sqrt{x ^2 - 1} + x$ .

Question 5 :
En $-\infty$ , $f : x \mapsto \sqrt{x ^2 - x} + x$ .

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Correction de l’exercice 1 sur les Limites en $\pm \infty$ :

Question 1 :

Limite : -3

On a une forme indéterminée $\displaystyle \frac \infty \infty$

Car la limite d’une fonction polynôme en $\pm \infty$ est la limite du terme de plus haut degré .

On factorise $- 3\, x^2$ au numérateur et $x ^2$ au dénominateur de la fraction

$f(x) = \displaystyle \frac {- 3 \, x ^2 +\, x - 6} {x^2 + 1}$

$f(x) = \displaystyle \frac {\displaystyle - 3 \, x ^2 \left ( 1 - \frac 1 {3\, x} + \frac 2 {x^2} \right ) } {\displaystyle x^2 \left (1 + \frac 1 {x^2} \right )}$

$f(x) = - 3 \; \displaystyle \frac {\displaystyle 1 - \frac 1 {3\, x} + \frac 2 {x^2} } {\displaystyle 1 + \frac 1 {x^2} }$ .

Comme $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left ( 1 - \frac 1 {3\, x} + \frac 2 {x^2} \right ) = 1$

et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \left ( 1 + \frac 1 {x^2} \right ) = 1$ ,

On en déduit que $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = - 3$ .

Remarque : on démontre de même que $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = - 3$ .

On aurait aussi pu factoriser $x^2$ au lieu de $- 3 \, x^2$ au numérateur.

Question 2 :

Limite : -oo

On a une forme indéterminée $\displaystyle \frac \infty \infty$

car la limite d’une fonction polynôme en $\pm \infty$ est la limite du terme de plus haut degré .

On factorise $x ^3$ au numérateur et $x^2$ au dénominateur

$f(x) = \displaystyle \frac { 4 \, x ^3 -\, x^2 + 1 } {5\, x^2 - x + 2}$

$f(x) = \displaystyle \frac {\displaystyle x ^3 \left ( 4 - \frac 1 { x} + \frac 1 {x^3} \right ) } {\displaystyle x^2 \left (5 - \frac 1 x + \frac 2 {x^2} \right )}$

$f(x) = x \displaystyle \frac {\displaystyle 4 - \frac 1 { x} + \frac 1 {x^3} } {\displaystyle 5 - \frac 1 x + \frac 2 {x^2} }$

Comme $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left ( 4 - \frac 1 { x} + \frac 1 {x^3} \right ) = 4$

et $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left ( 5 - \frac 1 x + \frac 2 {x^2} \right ) = 5$ ,

On en déduit que $\qquad \displaystyle \lim_{x \to - \infty} \frac {\displaystyle 4 - \frac 1 { x} + \frac 1 {x^3} } {\displaystyle 5 - \frac 1 x + \frac 2 {x^2} } = \frac 4 5$

Et comme $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} x = - \infty$ ,

$\qquad \quad \displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$ .

On démontre de même que $\qquad \quad \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$ .

Question 3 :
Limites : 0

On a une forme indéterminée $\displaystyle \frac \infty \infty$
car la limite d’une fonction polynôme en $\pm \infty$ est la limite du terme de plus haut degré .

On factorise $x$ au numérateur et $x^2$ au dénominateur
$f(x) = \displaystyle\frac {1 - 3\, x} { 5 - 4 \, x - 2\, x^2}$
$f(x) = \displaystyle \frac {\displaystyle x \left ( - 3 +\frac 1 { x} \right ) } {\displaystyle x^2 \left (- 2 - \frac 4 x + \frac 5 {x^2} \right )}$
$f(x) = \displaystyle \frac 1 {x} \, \cdot \, \frac {\displaystyle - 3 +\frac 1 { x} } {\displaystyle - 2 - \frac 4 x + \frac 5 {x^2} }$

Comme $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left (- 3 +\frac 1 { x} \right ) = -3$
et $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \left ( - 2 - \frac 4 x + \frac 5 {x^2} \right ) = -2$ ,
on en déduit que $\qquad \displaystyle \lim_{x \to - \infty} \frac {\displaystyle - 2 - \frac 4 x + \frac 5 {x^2} } {\displaystyle - 3 +\frac 1 { x} } = \frac 2 3$ .

Et comme $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \frac 1 x = 0$ , $\qquad \quad \displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$ .

On démontre de même que $\qquad \quad \displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$ .

Question 4 :
a : Limite : +oo

$\displaystyle \lim_{x\to + \infty} \sqrt{x ^2 - 1} = + \infty$
et $\displaystyle \lim_{x\to + \infty} x = + \infty$
donc $\displaystyle \lim_{x\to + \infty} \left ( \sqrt{x ^2 - 1} + x \right ) = + \infty$ .

b : Limite : 0

$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x\to - \infty} \sqrt{x ^2 - 1} = + \infty$
et $\displaystyle \lim_{x\to - \infty} x = - \infty$
on a une forme indéterminée $\infty - \infty$ .

$\bullet$ On utilise la quantité conjuguée
$f(x) = \displaystyle \sqrt{x ^2 - 1} + x$
$f(x) = \displaystyle \frac {(x^2 - 1) - x^2 } {\sqrt{x ^2 - 1} - x }$
$f(x) = \displaystyle \frac {1 } {x - \sqrt{x ^2 - 1} }$
comme $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} (x - \sqrt{x ^2 - 1} ) = - \infty$ (somme de deux fonctions de limite $- \infty$ ), $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = 0$ .

On obtient une asymptote horizontale d’équation $y = 0$ en $-\infty$ .
La courbe est située en dessous de son asymptote car $f(x) < 0$ .

Question 5 :
Limite : 1/2

$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x\to - \infty} \sqrt{x ^2 - x} = + \infty$
et $\displaystyle \lim_{x\to - \infty} x = - \infty$ ,
on a une forme indéterminée $\infty - \infty$ .

$\bullet$ On utilise la quantité conjuguée
$f(x) = \displaystyle \sqrt{x ^2 - x} + x$
$f(x) = \displaystyle \frac {(x^2 - x) - x^2 } {\sqrt{x ^2 - x} - x }$
$f(x) = \displaystyle \frac {-x } { \sqrt{x ^2 - x} - x }$
$\displaystyle \lim_{x\to - \infty} (\sqrt{x ^2 - x} - x ) = + \infty$ (par somme de deux fonctions de limite égale à $+\infty$ ) et on a une forme indéterminée $\displaystyle \frac {\infty} {\infty}$ .

$\bullet$ On factorise $x$ au dénominateur
$\displaystyle \sqrt{x ^2 - x} - x = \sqrt{x^2 \left ( 1 - \frac {1} {x} \right ) } - x$
en faisant attention que $x < 0$ , donc $\sqrt{x ^2} = - x$ ,
$\displaystyle \sqrt{x ^2 - 1} - x = - x \sqrt{ 1 - \frac {1} {x} } - x$
on peut alors simplifier le quotient :
$\displaystyle f(x) = \frac {1} {\displaystyle \sqrt{ 1 - \frac {1} {x} } + 1}$
comme $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} \left ( \sqrt{ 1 - \frac {1} {x} } + 1 \right ) = 2$ alors $\boxed{\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = \frac {1} 2 }$ .

On obtient une asymptote horizontale d’équation $y = 1/2$ en $-\infty$ .

Exercice 2 : Limites en 0

Question 1 :
En $0$ , $f : x \mapsto \displaystyle \frac {\sqrt{x ^2}} {x( x + 1)}$

Question 2 :
En $0$ , $f : x \mapsto \displaystyle \frac {\sqrt{x + 4} - \sqrt{3\, x + 4}} {\sqrt{x + 1} - 1 }$

Question 3 :
En $0$ , $\displaystyle f : x \mapsto \frac {\sin(3\, x)} {x}$

Correction de l’exercice 2 sur les limites en 0 en Terminale :

Question 1 :
limite à gauche, à droite : -1,1

$f(x) = \displaystyle \frac {\sqrt{x ^2}} {x( x + 1)}$
On a une forme indéterminée $\displaystyle \frac 0 0$ .
Si $x > 0$ , $f(x) = \displaystyle \frac {x} {x( x + 1)} = \frac 1 {x + 1}$
Si $x < 0$ , $f(x) = \displaystyle \frac {- x} {x( x + 1)} = \frac {-1} {x + 1}$

$\displaystyle\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = 1$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0^{- }} f(x) = - 1$ .

Question 2 :
limite : -1

$\bullet$ On a une forme indéterminée $\displaystyle \frac 0 0$ :
$\displaystyle \lim_{x \to 0} (\sqrt{x + 4} - \sqrt{3\, x + 4} ) = \sqrt{4} - \sqrt{4} = 0$
$\displaystyle \lim_{x \to 0} (\sqrt{x + 1} - 1 ) = \sqrt{1} - 1 = 0$ .

$\bullet$ On utilise la quantité conjuguée du numérateur et dénominateur :
$\displaystyle f(x) = \frac {\sqrt{x + 4} - \sqrt{3\, x + 4}} {\sqrt{x + 1} - 1 }$
$\displaystyle f(x) = \frac {(x + 4) -(3 \, x + 4) } {\sqrt{x + 4} + \sqrt{3\, x + 4}} \; \frac {\sqrt{x + 1} + 1 } {(x + 1) - 1}$
on simplifie par $x$
$\displaystyle f(x) = \frac { - 2 } {1} \; \; \frac {\sqrt{x + 1} + 1 } {\sqrt{x + 4} + \sqrt{3\, x + 4}}$
$\displaystyle \lim_{x \to 0} (\sqrt{x + 4} + \sqrt{3\, x + 4} ) = \sqrt{4} + \sqrt{4} = 4$
$\displaystyle \lim_{x \to 0} (\sqrt{x + 1} + 1 ) = \sqrt{1} + 1 = 2$

Par quotient des limites,
$\displaystyle \lim_{x \to 0} - 2\, \frac {\sqrt{x + 1} + 1 } {\sqrt{x + 4} + \sqrt{3\, x + 4}} = - 2 \, \frac {2} 4$
$\displaystyle \boxed{\lim_{x \to 0} f(x) = - 1}$ .

Question 3 :
limite : 3

Utiliser un taux d’accroissement.

C’est une forme indéterminée $\displaystyle \frac {0} {0}$ .
On note $u(x) = \sin(3\, x)$
$f(x) = \displaystyle \frac {u(x) - u(0)} x$
c’est le taux d’accroissement de $u$ en $0$ , comme $u$ est dérivable,
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {u(x) - u(0)} x = u'(0) = 3 \, \cos(3 . 0)$
$\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac {\sin(3\,x)} x = 3$

On a utilisé
$\ast$ si $f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et si $a$ et $b$ sont réels, $g : x \mapsto f(a \, x + b)$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et $g'(x) = a\, f'(a \, x + b)$
$\ast$ et $\sin$ a pour dérivée $\cos$ .

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**Exercice 3 : Limite en $a \in \mathbb{R}^*$**

Question 1 :
En $a = - 1$ , $f : x \mapsto \displaystyle \frac {2 \,x - 1} {x + 1}$

Question 2 :
En $a = \displaystyle \frac 1 3$ , $\displaystyle f : x \mapsto \frac {- 2\, x} {(3 \, x - 1)^2}$

Question 3 :
En $a = 2$ , $f : x \mapsto \displaystyle \frac {2 \,x^2 - 3} {2 - x }$

**Corrigé de l’exercice 3 sur les limites en $a \in \mathbb{R}^*$ en Terminale :**

Question 1 :
limite à gauche, à droite : +oo,-oo

$\displaystyle \lim_{x \to 1} (2\, x - 1) = -3 .$
$\ast$ $\displaystyle \lim_{x \to { - 1} ^{+}} (x + 1) = 0$ et $x + 1 > 0$
donc $\displaystyle \lim_{x \to { - 1} ^{+}} \frac 1 {x + 1} = + \infty$
alors $\displaystyle \boxed{ \lim_{x \to 1^{+} } \frac {2 \,x - 1} {x + 1} = - \infty }$ .

$\ast$ $\displaystyle \lim_{x \to { - 1} ^{-}} (x + 1) = 0$ et $x + 1< 0$
donc $\displaystyle \lim_{x \to { - 1} ^{-} }\frac 1 {x + 1} = - \infty$
alors $\displaystyle \boxed{\lim_{x \to 1^{-} } \frac {2 \,x - 1} {x + 1} = + \infty }$ .

On obtient une asymptote verticale d’équation $x = - 1$

Question 2 :
limite à gauche, à droite : -oo,-oo

$\displaystyle \lim_{x \to 1/3} {(3 \, x - 1)^2} = 0$ et $(3\, x - 1)^2 \geqslant 0$ ,
$\displaystyle \lim_{x \to 1/3} \frac 1 {(3 \, x - 1)^2} = +\infty$ .

$\displaystyle \lim_{x \to 1/3} {-2\, x} = \frac {- 2} 3$ ,
donc $\displaystyle \boxed{ \lim_{x \to 1/3} \frac {- 2\, x} {(3 \, x - 1)^2} = - \infty}$ .

La droite verticale d’équation $\displaystyle x = \frac {1} 3$ est asymptote à la courbe.

Question 3 :
limite à gauche, à droite : +oo,-oo

$\displaystyle \lim_{x \to 2} (2\, x^2 - 3) = 5$ .

$\ast$ $\displaystyle \lim_{x \to { 2} ^{+}} (2 - x) = 0$ et $2 - x < 0$
donc $\displaystyle \lim_{x \to { 2} ^{+} }\frac 1 {2 - x} = - \infty$
alors $\displaystyle \boxed{ \lim_{x \to 2^{+} } \frac {2 \,x^2 - 3} {2 - x } = - \infty }$ .

$\ast$ $\displaystyle \lim_{x \to {2} ^{-} }(2 - x) = 0$ et $2 - x > 0$
donc $\displaystyle \lim_{x \to { 2} ^{-} }\frac 1 {2 - x } = + \infty$
alors $\displaystyle \boxed{\lim_{x \to 2^{-} } \frac {2 \,x^2 - 3} {2 - x } =+ \infty }$ .

On obtient une asymptote verticale d’équation $x = 2$ .

2. Limites de fonction et suites : exercices corrigés

Question 1 :

$\bullet$ Soit $f : [a , + \infty[ \to \mathbb{R}$ admettant une limite $L$ (finie ou infinie) en $+\infty$ .
Pour toute suite $(u_n)_n$ de $[a , + \infty[$ telle que $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = + \infty$ , $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} f(u_n) = L$ .

Corrigés limites de fonction de la question 1 :

$\bullet$ Démonstration dans le cas où $L \in \mathbb{R}$
$\ast$ On introduit un intervalle $I$ ouvert quelconque contenant $L$ .
Par définition de $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = L$ ,
il existe $A \geqslant a$ tel que si $x \geqslant A$ , $f(x) \in I$

$\ast$ Comme $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = +\infty$ , à partir d’un certain rang $N$ , $u_n \geqslant A$ , donc $f(u_n) \in I$ .

$\ast \ast$ Ayant prouvé que pour tout intervalle $I$ ouvert quelconque contenant $L$ , il existe un rang $N$ entier tel que si $n \geqslant N$ , $f(u_n) \in I$ , on a donc prouvé que $\qquad \qquad \displaystyle \lim_ {n \to+ \infty} f(u_n) = L$

$\bullet$ Démonstration dans le cas où $L = + \infty$
$\ast$ Soit $A \geqslant 0$ .
Par définition de $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = +\infty$
il existe $B \geqslant a$ tel que si $x \geqslant B$ , $f(x) \geqslant A$

$\ast$ Comme $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = +\infty$ , à partir d’un certain rang $N$ , $u_n \geqslant B$ , donc $f(u_n) \geqslant A$ .

$\ast \ast$ Ayant prouvé que pour tout $A \geqslant 0$ , il existe un rang $N$ entier tel que si $n \geqslant N$ , $f(u_n) \geqslant A$ , on a donc prouvé que $\qquad \qquad \displaystyle \lim_ {n \to+ \infty} f(u_n) = +\infty$ .

$\bullet$ Dans le cas où $L = - \infty$ , il suffit d’appliquer le résultat précédent à la fonction $-f$ .

3. Étude complète d’une fonction en Terminale

On note $f : \displaystyle x \mapsto \frac {x^2 + x + 4} {x + 1}$ .

Question 1 :
Étude des branches infinies

Question 2 :
Étude des variations de $f$

Question 3 :
Tableau de variation et graphe

Correction de l’exercice :

Question 1 :

$f$ est définie sur $\mathbb{R} \setminus \{ - 1 \}$ .
$\bullet$ Étude en $- 1$
$\displaystyle \lim_ {x \to - 1} (x ^2 + x + 4) = 4$
$\ast$ $\displaystyle \lim_{x \to - 1 ^{+}} (x + 1) = 0$ et $x + 1 > 0$ , donc $\displaystyle \lim_{x \to - 1 ^{+}} f(x) = +\infty$ .
$\ast$ $\displaystyle \lim_{x \to - 1 ^{-}} (x + 1) = 0$ et $x + 1 < 0$ , donc $\displaystyle \lim_{x \to - 1 ^{-}} f(x) = -\infty$ .
La droite d’équation $x = - 1$ est asymptote à la courbe.

$\bullet$ Limites en $\pm \infty$
On lève l’indétermination $\displaystyle \frac {\infty} {\infty}$ en factorisant $x^2$ au numérateur et $x$ au dénominateur
$\displaystyle f(x) = \frac {x^2} {x} \, \frac {1 + 1/x + 4/x^2}{1 + 1/x}$
$\displaystyle f(x) = {x} \, \frac {1 + 1/x + 4/x^2}{1 + 1/x}$
comme $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( 1 + \frac 1 x + \frac 4 {x ^2} \right ) = 1$
et $\displaystyle \lim_{x \to \infty} \left ( 1 + \frac 1 x \right ) = 1$
alors $\displaystyle \lim_{x \to + \infty} f(x) = + \infty$
$\quad$ et $\displaystyle \lim_{x \to - \infty} f(x) = - \infty$ .

$\bullet$ Étude de la branche infinie en $\pm \infty$
$\ast$ On forme $\displaystyle \frac {f(x)} x = \frac {1 + 1/x + 4/x^2}{1 + 1/x}$
donc $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} \frac {f(x)} x = 1$
et $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} \frac {f(x)} x = 1$ .

$\ast$ On forme $f(x) - x = \displaystyle \frac {x^2 + x + 4 - x^2 - x} {x + 1}$
$f(x) - x = \displaystyle \frac { 4} {x + 1}$
$\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)- x = 0$
et $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)- x = 0$ .

La droite d’équation $y = x$ est asymp- tote oblique à la courbe.

$\ast$ Position par rapport à l’asymptote
$f(x) - x = \displaystyle \frac { 4} {x + 1}$ est du signe de $x + 1$
La courbe est au dessus de l’asymptote sur $]- 1 , + \infty[$ et en dessous sur $] - \infty , - 1[$ .

Question 2 :

$f$ est dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{ - 1 \}$ .
$\displaystyle f'(x) = \frac{(2 \, x + 1)(x + 1) - (x^2 + x + 4)} {(x + 1)^2}$
$\displaystyle f'(x) = \frac{(2 \, x^2 + 3\,x + 1) - (x^2 + x + 4)} {(x + 1)^2}$
$\displaystyle f'(x) = \frac{ x^2 + 2\,x - 3} {(x + 1)^2}$ .

$1$ est racine évidente de $\qquad \quad P(x) = x^2 + 2\,x - 3$
l’autre racine est égale au produit des racines donc égale à $-3$ , ce qui permet la factorisation
$\qquad \quad P(x) = (x - 1)(x + 3)$
$f'(x)$ est du signe de $(x - 1)(x + 3)$ .

$f$ est strictement croissante sur $] - \infty , - 3[$ et sur $]1, + \infty[$
et strictement décroissante sur $]- 3 , - 1[$ et sur $]-1 , 1[$ .

Question 3 :

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Limites de fonction exercices et corrigés Terminale

1. Calcul de limites : exercices corrigés

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