Chapitres Maths en Terminale Générale

Limites de fonctions : exercices corrigés en terminale

Q: Quelles sont les formes indéterminées des limites ?

Il y en a quatre : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞ et 0/0. Dans ces cas, les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure : il faut transformer l'expression (factorisation, quantité conjuguée, taux d'accroissement, croissances comparées) avant de calculer.

Q: Comment lever une forme indéterminée ?

Pour une fonction polynôme ou rationnelle en l'infini, on factorise par le terme de plus haut degré. Avec une racine carrée, on multiplie par la quantité conjuguée. Avec l'exponentielle ou le logarithme, on utilise les croissances comparées. Pour une forme 0/0 en un réel, on simplifie ou on reconnaît un taux d'accroissement.

Q: Comment savoir si une courbe a une asymptote ?

Si f tend vers un réel ℓ en +∞ ou en −∞, la droite y = ℓ est asymptote horizontale. Si f tend vers +∞ ou −∞ quand x tend vers un réel a, la droite x = a est asymptote verticale. L'asymptote oblique y = ax + b existe quand f(x) − (ax + b) tend vers 0 en l'infini.

Q: Que disent les croissances comparées ?

En +∞, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x : e^x / x^n tend vers +∞. En −∞, x^n e^x tend vers 0. Le logarithme, lui, est dominé par les puissances de x : ln(x) / x tend vers 0 en +∞ et x ln(x) tend vers 0 en 0.

Q: Que faire si les limites à gauche et à droite sont différentes ?

La fonction n'a alors pas de limite en ce point. On donne séparément la limite à gauche et la limite à droite. Si au moins l'une des deux est infinie, la droite verticale passant par ce point est asymptote à la courbe.

Q: Une courbe peut-elle couper son asymptote horizontale ?

Oui. Une asymptote décrit le comportement de la courbe à l'infini, pas sur tout l'intervalle. Par exemple, la courbe de x ↦ sin(x)/x coupe l'axe des abscisses une infinité de fois alors que cet axe est son asymptote en +∞.

Par Seda Biber, mis à jour le 21/10/2026

Pour calculer la limite d’une fonction, on applique d’abord les règles d’opérations sur les limites (somme, produit, quotient). Si l’on tombe sur une forme indéterminée ( $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ ou $\dfrac{0}{0}$ ), on transforme l’écriture de la fonction : factorisation par le terme de plus haut degré, quantité conjuguée, taux d’accroissement, croissances comparées ou théorème de comparaison. Cette page propose 10 exercices corrigés de terminale, classés par méthode et par niveau, du calcul direct à l’étude complète de fonction type bac. Avant de commencer, vous pouvez relire le cours sur les limites de fonctions en terminale.

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de maths en terminale

Situation rencontrée	Méthode	Exercice
Fonction rationnelle en $\pm\infty$ , forme $\dfrac{\infty}{\infty}$	Factoriser par le terme de plus haut degré	Exercice 1
Racine carrée, forme $\infty - \infty$	Multiplier par la quantité conjuguée	Exercice 2
Dénominateur qui tend vers 0, numérateur non nul	Étudier le signe à gauche et à droite	Exercice 3
Forme $\dfrac{0}{0}$ en un réel	Simplifier (valeur absolue, quantité conjuguée)	Exercice 4
Forme $\dfrac{0}{0}$ du type $\dfrac{u(x)-u(a)}{x-a}$	Reconnaître un taux d’accroissement	Exercice 5
Exponentielle face à une puissance de $x$	Croissances comparées	Exercice 6
Logarithme népérien face à une puissance de $x$	Croissances comparées	Exercice 7
Fonction contenant $\sin$ ou $\cos$	Minoration ou encadrement (gendarmes)	Exercice 8
Fonction composée	Limite de la fonction intérieure, puis de la fonction extérieure	Exercice 9
Étude complète d’une fonction	Limites, asymptotes, dérivée et tableau de variations	Exercice 10

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Comment calculer une limite de fonction ?

Face à une limite, suivez toujours le même ordre :

Repérez où l’on cherche la limite : en $+\infty$ , en $-\infty$ ou en un réel $a$ . En un réel, demandez-vous si le dénominateur s’annule.
Appliquez les opérations sur les limites terme à terme. Si le résultat est déterminé, la limite est trouvée.
Si vous obtenez une forme indéterminée, identifiez laquelle, puis choisissez la méthode adaptée dans le tableau ci-dessus.
Interprétez le résultat : une limite finie $\ell$ en $\pm\infty$ donne une asymptote horizontale $y = \ell$ , une limite infinie en $a$ donne une asymptote verticale $x = a$ .

Il existe quatre formes indéterminées : $\infty - \infty$ , $0 \times \infty$ , $\dfrac{\infty}{\infty}$ et $\dfrac{0}{0}$ . Une forme comme $\dfrac{1}{0}$ n’est pas indéterminée : la limite est infinie, et seul le signe du dénominateur décide entre $+\infty$ et $-\infty$ .

💡 Astuce : au bac, écrivez toujours la limite de chaque morceau avant de conclure, puis nommez la règle utilisée (« par somme », « par quotient », « par croissances comparées »). Un résultat juste sans justification rapporte très peu de points.

Exercice 1 : limites en l’infini de fonctions rationnelles

Niveau : facile. Déterminez les limites suivantes.

$f(x) = \dfrac{-3x^2 + x - 6}{x^2 + 1}$ en $+\infty$ .
$f(x) = \dfrac{4x^3 - x^2 + 1}{5x^2 - x + 2}$ en $-\infty$ .
$f(x) = \dfrac{1 - 3x}{5 - 4x - 2x^2}$ en $+\infty$ .

Corrigé

Dans les trois cas, le numérateur et le dénominateur tendent vers l’infini : on a la forme indéterminée $\dfrac{\infty}{\infty}$ . On factorise le numérateur et le dénominateur par leur terme de plus haut degré.

1. Pour $x \neq 0$ :

$f(x) = \dfrac{x^2\left(-3 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{6}{x^2}\right)}{x^2\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)} = \dfrac{-3 + \dfrac{1}{x} - \dfrac{6}{x^2}}{1 + \dfrac{1}{x^2}}$

Le numérateur tend vers $-3$ et le dénominateur vers $1$ , donc par quotient $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = -3$ . La droite d’équation $y = -3$ est asymptote horizontale à la courbe en $+\infty$ (et aussi en $-\infty$ , par le même calcul).

2. Pour $x \neq 0$ :

$f(x) = \dfrac{x^3\left(4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^3}\right)}{x^2\left(5 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x^2}\right)} = x \times \dfrac{4 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^3}}{5 - \dfrac{1}{x} + \dfrac{2}{x^2}}$

La fraction tend vers $\dfrac{4}{5}$ et $x$ tend vers $-\infty$ . Par produit, $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ .

3. Pour $x \neq 0$ :

$f(x) = \dfrac{x\left(-3 + \dfrac{1}{x}\right)}{x^2\left(-2 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{x^2}\right)} = \dfrac{1}{x} \times \dfrac{-3 + \dfrac{1}{x}}{-2 - \dfrac{4}{x} + \dfrac{5}{x^2}}$

La fraction tend vers $\dfrac{-3}{-2} = \dfrac{3}{2}$ et $\dfrac{1}{x}$ tend vers $0$ . Par produit, $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$ : l’axe des abscisses ( $y = 0$ ) est asymptote horizontale en $+\infty$ .

💡 Astuce : en

$\pm\infty$ , une fraction rationnelle a la même limite que le quotient de ses termes de plus haut degré. Ici,

$\dfrac{-3x^2}{x^2} = -3$ ,

$\dfrac{4x^3}{5x^2} = \dfrac{4x}{5}$ et

$\dfrac{-3x}{-2x^2} = \dfrac{3}{2x}$ . Ce raccourci sert à vérifier votre résultat, mais la factorisation reste attendue dans la rédaction.

Exercice 2 : forme ∞ − ∞ et quantité conjuguée

Niveau : intermédiaire. Déterminez les limites suivantes et précisez les éventuelles asymptotes.

$f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + x$ en $+\infty$ , puis en $-\infty$ .
$g(x) = \sqrt{x^2 - x} + x$ en $-\infty$ .

Corrigé

1. En $+\infty$ . $\sqrt{x^2 - 1}$ et $x$ tendent tous les deux vers $+\infty$ , donc par somme $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ . Il n’y a pas d’indétermination.

En $-\infty$ . $\sqrt{x^2 - 1}$ tend vers $+\infty$ et $x$ vers $-\infty$ : forme indéterminée $\infty - \infty$ . On multiplie et on divise par la quantité conjuguée $\sqrt{x^2 - 1} - x$ , qui est strictement positive :

$f(x) = \dfrac{\left(\sqrt{x^2 - 1} + x\right)\left(\sqrt{x^2 - 1} - x\right)}{\sqrt{x^2 - 1} - x} = \dfrac{(x^2 - 1) - x^2}{\sqrt{x^2 - 1} - x} = \dfrac{-1}{\sqrt{x^2 - 1} - x}$

En $-\infty$ , $\sqrt{x^2 - 1}$ et $-x$ tendent vers $+\infty$ , donc le dénominateur tend vers $+\infty$ . Par quotient, $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = 0$ . La droite $y = 0$ est asymptote horizontale en $-\infty$ , et la courbe est en dessous car $f(x) < 0$ .

2. Même forme $\infty - \infty$ . Avec la quantité conjuguée :

$g(x) = \dfrac{(x^2 - x) - x^2}{\sqrt{x^2 - x} - x} = \dfrac{-x}{\sqrt{x^2 - x} - x}$

On obtient une nouvelle forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ . On factorise sous la racine par $x^2$ , en se souvenant que pour $x < 0$ , $\sqrt{x^2} = |x| = -x$ :

$\sqrt{x^2 - x} = \sqrt{x^2\left(1 - \dfrac{1}{x}\right)} = -x\sqrt{1 - \dfrac{1}{x}}$

Donc $g(x) = \dfrac{-x}{-x\sqrt{1 - \dfrac{1}{x}} - x} = \dfrac{-x}{-x\left(\sqrt{1 - \dfrac{1}{x}} + 1\right)} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{1}{x}} + 1}$ .

Le dénominateur tend vers $\sqrt{1} + 1 = 2$ , d’où $\lim\limits_{x \to -\infty} g(x) = \dfrac{1}{2}$ . La droite $y = \dfrac{1}{2}$ est asymptote horizontale en $-\infty$ .

Exercice 3 : limites à gauche, à droite et asymptotes verticales

Niveau : facile. Déterminez les limites à gauche et à droite au point indiqué.

$f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}$ en $-1$ .
$f(x) = \dfrac{-2x}{(3x - 1)^2}$ en $\dfrac{1}{3}$ .
$f(x) = \dfrac{2x^2 - 3}{2 - x}$ en $2$ .

Corrigé

Dans chaque cas, le numérateur tend vers un réel non nul et le dénominateur vers $0$ : la limite est infinie, et tout se joue sur le signe du dénominateur.

1. $\lim\limits_{x \to -1} (2x - 1) = -3$ .

À droite ( $x > -1$ ) : $x + 1 \to 0$ avec $x + 1 > 0$ , donc $\dfrac{1}{x + 1} \to +\infty$ et, par produit avec $-3$ , $\lim\limits_{x \to -1^+} f(x) = -\infty$ .
À gauche ( $x < -1$ ) : $x + 1 \to 0$ avec $x + 1 < 0$ , donc $\dfrac{1}{x + 1} \to -\infty$ et $\lim\limits_{x \to -1^-} f(x) = +\infty$ .

La droite d’équation $x = -1$ est asymptote verticale.

2. $\lim\limits_{x \to \frac{1}{3}} (-2x) = -\dfrac{2}{3}$ et $(3x - 1)^2 \to 0$ en restant positif, des deux côtés. Donc $\dfrac{1}{(3x - 1)^2} \to +\infty$ et $\lim\limits_{x \to \frac{1}{3}} f(x) = -\infty$ , à gauche comme à droite. La droite $x = \dfrac{1}{3}$ est asymptote verticale.

3. $\lim\limits_{x \to 2} (2x^2 - 3) = 5$ .

À droite ( $x > 2$ ) : $2 - x < 0$ , donc $\lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$ .
À gauche ( $x < 2$ ) : $2 - x > 0$ , donc $\lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$ .

La droite $x = 2$ est asymptote verticale.

Exercice 4 : forme indéterminée 0/0 en un réel

Niveau : intermédiaire. Déterminez les limites suivantes en $0$ .

$f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2}}{x(x + 1)}$ .
$g(x) = \dfrac{\sqrt{x + 4} - \sqrt{3x + 4}}{\sqrt{x + 1} - 1}$ .

Corrigé

1. Numérateur et dénominateur tendent vers $0$ : forme $\dfrac{0}{0}$ . Comme $\sqrt{x^2} = |x|$ , on distingue deux cas.

Si $x > 0$ : $f(x) = \dfrac{x}{x(x + 1)} = \dfrac{1}{x + 1}$ , donc $\lim\limits_{x \to 0^+} f(x) = 1$ .
Si $x < 0$ : $f(x) = \dfrac{-x}{x(x + 1)} = \dfrac{-1}{x + 1}$ , donc $\lim\limits_{x \to 0^-} f(x) = -1$ .

Les limites à gauche et à droite sont différentes : $f$ n’a pas de limite en $0$ .

2. En $0$ , le numérateur vaut $\sqrt{4} - \sqrt{4} = 0$ et le dénominateur $\sqrt{1} - 1 = 0$ : forme $\dfrac{0}{0}$ . On utilise la quantité conjuguée au numérateur et au dénominateur :

$g(x) = \dfrac{(x + 4) - (3x + 4)}{\sqrt{x + 4} + \sqrt{3x + 4}} \times \dfrac{\sqrt{x + 1} + 1}{(x + 1) - 1} = \dfrac{-2x}{\sqrt{x + 4} + \sqrt{3x + 4}} \times \dfrac{\sqrt{x + 1} + 1}{x}$

On simplifie par $x$ (avec $x \neq 0$ ) : $g(x) = \dfrac{-2\left(\sqrt{x + 1} + 1\right)}{\sqrt{x + 4} + \sqrt{3x + 4}}$ .

En $0$ , le numérateur tend vers $-2 \times 2 = -4$ et le dénominateur vers $2 + 2 = 4$ . Par quotient, $\lim\limits_{x \to 0} g(x) = -1$ .

Exercice 5 : utiliser un taux d’accroissement

Niveau : intermédiaire. Déterminez les limites suivantes.

$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin(3x)}{x}$
$\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x}$
$\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\ln(x)}{x - 1}$

Corrigé

Les trois limites sont des formes $\dfrac{0}{0}$ . On les reconnaît comme des taux d’accroissement : si $u$ est dérivable en $a$ , alors $\lim\limits_{x \to a} \dfrac{u(x) - u(a)}{x - a} = u'(a)$ . Ce lien est développé dans le cours de dérivation et convexité en terminale.

Avec $u(x) = \sin(3x)$ , on a $u(0) = 0$ , donc $\dfrac{\sin(3x)}{x} = \dfrac{u(x) - u(0)}{x - 0}$ . Comme $u'(x) = 3\cos(3x)$ , la limite vaut $u'(0) = 3$ .
Avec $u(x) = e^x$ , on a $u(0) = 1$ et $u'(0) = e^0 = 1$ . La limite vaut $1$ .
Avec $u(x) = \ln(x)$ , on a $u(1) = 0$ et $u'(x) = \dfrac{1}{x}$ . La limite vaut $u'(1) = 1$ .

💡 Astuce : dès que vous voyez une forme

$\dfrac{0}{0}$ avec

$x$ ou

$x - a$ seul au dénominateur, cherchez la fonction

$u$ cachée au numérateur et vérifiez que le numérateur s’écrit bien

$u(x) - u(a)$ .

Exercice 6 : limites avec l’exponentielle et croissances comparées

Niveau : intermédiaire. On rappelle que, pour tout entier $n \geq 1$ , $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} x^n e^x = 0$ . Déterminez les limites suivantes.

$f(x) = e^x - x$ en $+\infty$ .
$g(x) = (x^2 - 3x)e^{-x}$ en $+\infty$ .
$h(x) = xe^x$ en $-\infty$ .
$k(x) = \dfrac{e^x}{x^2 + 1}$ en $+\infty$ et en $-\infty$ .

Corrigé

1. Forme $\infty - \infty$ . Pour $x > 0$ , $f(x) = x\left(\dfrac{e^x}{x} - 1\right)$ . Par croissances comparées, $\dfrac{e^x}{x} \to +\infty$ , donc la parenthèse tend vers $+\infty$ . Par produit, $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ .

2. Forme $\infty \times 0$ . On développe : $g(x) = \dfrac{x^2}{e^x} - 3 \times \dfrac{x}{e^x}$ . Par croissances comparées, $\dfrac{x^2}{e^x} \to 0$ et $\dfrac{x}{e^x} \to 0$ . Par somme, $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0$ .

3. Forme $\infty \times 0$ , réglée directement par croissances comparées : $\lim\limits_{x \to -\infty} xe^x = 0$ . La droite $y = 0$ est asymptote horizontale en $-\infty$ .

4. En $+\infty$ , forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ . Pour $x \neq 0$ :

$k(x) = \dfrac{e^x}{x^2\left(1 + \dfrac{1}{x^2}\right)} = \dfrac{e^x}{x^2} \times \dfrac{1}{1 + \dfrac{1}{x^2}}$

Par croissances comparées $\dfrac{e^x}{x^2} \to +\infty$ , et le second facteur tend vers $1$ , donc $\lim\limits_{x \to +\infty} k(x) = +\infty$ . En $-\infty$ , il n’y a pas d’indétermination : $e^x \to 0$ et $x^2 + 1 \to +\infty$ , donc $\lim\limits_{x \to -\infty} k(x) = 0$ .

Pour revoir les propriétés de l’exponentielle, consultez le cours sur la fonction exponentielle en terminale.

Exercice 7 : limites avec le logarithme népérien

Niveau : intermédiaire. On rappelle que $\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln(x)}{x} = 0$ et $\lim\limits_{x \to 0^+} x\ln(x) = 0$ . Déterminez les limites suivantes.

$f(x) = x - \ln(x)$ en $+\infty$ .
$g(x) = x^2\ln(x)$ en $0$ (à droite).
$h(x) = \dfrac{\ln(x)}{x^2}$ en $+\infty$ .

Corrigé

1. Forme $\infty - \infty$ . Pour $x > 0$ , $f(x) = x\left(1 - \dfrac{\ln(x)}{x}\right)$ . La parenthèse tend vers $1 - 0 = 1$ et $x \to +\infty$ , donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ .

2. Forme $0 \times \infty$ . On écrit $g(x) = x \times x\ln(x)$ . Or $x \to 0$ et $x\ln(x) \to 0$ , donc par produit $\lim\limits_{x \to 0^+} g(x) = 0$ .

3. Forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ . On écrit $h(x) = \dfrac{1}{x} \times \dfrac{\ln(x)}{x}$ . Les deux facteurs tendent vers $0$ , donc $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = 0$ .

D’autres exercices sur ce thème vous attendent dans les exercices corrigés sur la fonction logarithme en terminale.

Exercice 8 : théorèmes de comparaison et des gendarmes

Niveau : intermédiaire. Déterminez les limites suivantes en $+\infty$ .

$f(x) = x + \sin(x)$
$g(x) = \dfrac{\cos(x)}{x}$

Corrigé

Les fonctions $\sin$ et $\cos$ n’ont pas de limite en $+\infty$ : les opérations sur les limites ne s’appliquent pas. On utilise l’encadrement $-1 \leq \sin(x) \leq 1$ (idem pour $\cos$ ), vu dans le cours sur les fonctions trigonométriques.

1. Pour tout réel $x$ , $f(x) \geq x - 1$ . Comme $\lim\limits_{x \to +\infty} (x - 1) = +\infty$ , le théorème de comparaison (minoration) donne $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ .

2. Pour $x > 0$ , on divise l’encadrement par $x$ , qui est positif : $-\dfrac{1}{x} \leq g(x) \leq \dfrac{1}{x}$ . Les deux fonctions qui encadrent $g$ tendent vers $0$ . D’après le théorème des gendarmes, $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = 0$ .

Exercice 9 : limite d’une fonction composée

Niveau : facile. Déterminez les limites suivantes en $+\infty$ .

$f(x) = e^{-x^2}$
$g(x) = \sqrt{\dfrac{4x + 1}{x + 2}}$
$h(x) = \ln\left(1 + \dfrac{1}{x}\right)$

Corrigé

On calcule d’abord la limite de la fonction « intérieure », puis on l’utilise comme point de départ pour la fonction « extérieure ».

$X = -x^2 \to -\infty$ et $\lim\limits_{X \to -\infty} e^X = 0$ . Par composition, $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = 0$ .
$X = \dfrac{4x + 1}{x + 2} \to 4$ (quotient des termes de plus haut degré $\dfrac{4x}{x}$ ). La fonction racine carrée est continue en $4$ , donc $\lim\limits_{x \to +\infty} g(x) = \sqrt{4} = 2$ .
$X = 1 + \dfrac{1}{x} \to 1$ et $\ln$ est continue en $1$ , donc $\lim\limits_{x \to +\infty} h(x) = \ln(1) = 0$ .

Exercice 10 : étude complète d’une fonction type bac

Niveau : type bac. On considère la fonction $f$ définie sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ par $f(x) = \dfrac{x^2 + x + 4}{x + 1}$ .

Étudiez les limites de $f$ en $-1$ , en $+\infty$ et en $-\infty$ .
Montrez que la droite $D$ d’équation $y = x$ est asymptote oblique à la courbe, et étudiez leur position relative.
Étudiez les variations de $f$ et dressez son tableau de variations.

Corrigé

1. Limites en $-1$ . $\lim\limits_{x \to -1} (x^2 + x + 4) = 4$ .

À droite, $x + 1 \to 0$ avec $x + 1 > 0$ , donc $\lim\limits_{x \to -1^+} f(x) = +\infty$ .
À gauche, $x + 1 \to 0$ avec $x + 1 < 0$ , donc $\lim\limits_{x \to -1^-} f(x) = -\infty$ .

La droite $x = -1$ est asymptote verticale.

Limites en $\pm\infty$ . Forme $\dfrac{\infty}{\infty}$ . Pour $x \neq 0$ , $f(x) = x \times \dfrac{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{4}{x^2}}{1 + \dfrac{1}{x}}$ . La fraction tend vers $1$ , donc $\lim\limits_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty} f(x) = -\infty$ .

2. On calcule $f(x) - x = \dfrac{x^2 + x + 4 - x(x + 1)}{x + 1} = \dfrac{4}{x + 1}$ . Cette quantité tend vers $0$ en $+\infty$ et en $-\infty$ , donc $D$ est asymptote oblique à la courbe en $\pm\infty$ . Le signe de $f(x) - x$ est celui de $x + 1$ : la courbe est au-dessus de $D$ sur $]-1 \, ; +\infty[$ et en dessous sur $]-\infty \, ; -1[$ .

3. $f$ est dérivable sur $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ et :

$f'(x) = \dfrac{(2x + 1)(x + 1) - (x^2 + x + 4)}{(x + 1)^2} = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{(x + 1)^2} = \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{(x + 1)^2}$

Le trinôme $x^2 + 2x - 3$ a pour racine évidente $1$ . Le produit des racines vaut $\dfrac{-3}{1} = -3$ , donc l’autre racine est $-3$ . Le dénominateur est positif, donc $f'(x)$ a le signe de $(x - 1)(x + 3)$ . On calcule $f(-3) = \dfrac{9 - 3 + 4}{-2} = -5$ et $f(1) = \dfrac{6}{2} = 3$ .

Intervalle	$]-\infty \, ; -3[$	$]-3 \, ; -1[$	$]-1 \, ; 1[$	$]1 \, ; +\infty[$
Signe de $f'(x)$	$+$	$-$	$-$	$+$
Variations de $f$	croissante de $-\infty$ à $-5$	décroissante de $-5$ à $-\infty$	décroissante de $+\infty$ à $3$	croissante de $3$ à $+\infty$

$f$ admet un maximum local $-5$ en $x = -3$ et un minimum local $3$ en $x = 1$ . L’asymptote oblique est un approfondissement du programme : elle peut figurer dans un sujet, mais l’énoncé guide alors toujours le calcul.

Quelles erreurs éviter dans un calcul de limite ?

Conclure trop vite sur une forme indéterminée : $\infty - \infty$ ne vaut pas $0$ , et $\dfrac{\infty}{\infty}$ ne vaut pas $1$ .
Oublier le signe du dénominateur devant une forme $\dfrac{k}{0}$ : il faut séparer la limite à gauche et la limite à droite.
Écrire $\sqrt{x^2} = x$ pour $x$ négatif : en $-\infty$ , $\sqrt{x^2} = -x$ (exercice 2).
Appliquer les opérations à $\sin$ ou $\cos$ en l’infini : ces fonctions n’ont pas de limite, il faut passer par un encadrement (exercice 8).
Diviser une inégalité par un nombre négatif sans changer le sens, ce qui fausse le théorème des gendarmes.

Comment réviser les limites de fonctions pour le bac ?

Les limites ne font pas l’objet d’un exercice isolé au bac : elles interviennent dans presque toutes les études de fonctions, avec l’exponentielle, le logarithme ou les suites. Le programme officiel de spécialité demande de savoir déterminer une limite à l’aide des limites usuelles, des croissances comparées, des opérations, des majorations, minorations ou encadrements et de la factorisation du terme prépondérant, et de faire le lien avec les asymptotes parallèles aux axes. Pour progresser :

refaites les exercices sans regarder le corrigé, puis comparez votre rédaction ligne par ligne ;
enchaînez avec les exercices corrigés sur la continuité en terminale, qui réutilisent les mêmes calculs ;
consultez le programme de maths de terminale pour situer ce chapitre dans l’année.

Si les formes indéterminées vous bloquent encore, un professeur particulier de maths peut reprendre les méthodes avec vous au rythme qui vous convient. Pendant les vacances, les stages intensifs de terminale de Groupe Réussite consacrent chaque jour plusieurs heures aux maths, en petit groupe, à Paris, à Lyon ou en visio.

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FAQ sur les limites de fonctions en terminale

Quelles sont les formes indéterminées des limites ?

Il y en a quatre : ∞ − ∞, 0 × ∞, ∞/∞ et 0/0. Dans ces cas, les opérations sur les limites ne permettent pas de conclure : il faut transformer l'expression (factorisation, quantité conjuguée, taux d'accroissement, croissances comparées) avant de calculer.

Comment lever une forme indéterminée ?

Pour une fonction polynôme ou rationnelle en l'infini, on factorise par le terme de plus haut degré. Avec une racine carrée, on multiplie par la quantité conjuguée. Avec l'exponentielle ou le logarithme, on utilise les croissances comparées. Pour une forme 0/0 en un réel, on simplifie ou on reconnaît un taux d'accroissement.

Comment savoir si une courbe a une asymptote ?

Si f tend vers un réel ℓ en +∞ ou en −∞, la droite y = ℓ est asymptote horizontale. Si f tend vers +∞ ou −∞ quand x tend vers un réel a, la droite x = a est asymptote verticale. L'asymptote oblique y = ax + b existe quand f(x) − (ax + b) tend vers 0 en l'infini.

Que disent les croissances comparées ?

En +∞, l'exponentielle l'emporte sur toute puissance de x : e^x / x^n tend vers +∞. En −∞, x^n e^x tend vers 0. Le logarithme, lui, est dominé par les puissances de x : ln(x) / x tend vers 0 en +∞ et x ln(x) tend vers 0 en 0.

Que faire si les limites à gauche et à droite sont différentes ?

La fonction n'a alors pas de limite en ce point. On donne séparément la limite à gauche et la limite à droite. Si au moins l'une des deux est infinie, la droite verticale passant par ce point est asymptote à la courbe.

Une courbe peut-elle couper son asymptote horizontale ?

Oui. Une asymptote décrit le comportement de la courbe à l'infini, pas sur tout l'intervalle. Par exemple, la courbe de x ↦ sin(x)/x coupe l'axe des abscisses une infinité de fois alors que cet axe est son asymptote en +∞.

Sources

Ministère de l’Éducation nationale, programme de l’enseignement de spécialité de mathématiques de la classe terminale de la voie générale, Éduscol (parties « Limites des fonctions » et « Fonction logarithme »).
Éduscol, programmes et ressources en mathématiques, voie générale et technologique.

Limites de fonctions : exercices corrigés en terminale

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Comment calculer une limite de fonction ?

Exercice 1 : limites en l’infini de fonctions rationnelles

Exercice 2 : forme ∞ − ∞ et quantité conjuguée

Exercice 3 : limites à gauche, à droite et asymptotes verticales

Exercice 4 : forme indéterminée 0/0 en un réel

Exercice 5 : utiliser un taux d’accroissement

Exercice 6 : limites avec l’exponentielle et croissances comparées

Exercice 7 : limites avec le logarithme népérien

Exercice 8 : théorèmes de comparaison et des gendarmes

Exercice 9 : limite d’une fonction composée

Exercice 10 : étude complète d’une fonction type bac

Quelles erreurs éviter dans un calcul de limite ?

Comment réviser les limites de fonctions pour le bac ?

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FAQ sur les limites de fonctions en terminale

Quelles sont les formes indéterminées des limites ?

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