Chapitres Maths en Terminale Générale

Exercices et corrigés : Les algorithmes en Terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Profitez de ces exercices sur les algorithmes et de leurs corrigés gratuits au programme de mathématiques en Terminale pour prendre de l’avance sur vos révisions. Faites un bilan de vos connaissances en algorithmique et commencez votre préparation pour le bac en fin d’année. Utilisez aussi notre simulateur de bac pour déterminer les notes à obtenir à l’examen en fonction des différents coefficients au bac.

On pourra utiliser la notation $S_n = \displaystyle \sum _ {k = 0} ^n x_k$ pour représenter la somme $x_0 + x_1 + \cdots +\, x_n \,$ .

1. Définir une suite en algorithmique en Terminale

Exercice pour déterminer une suite en algorithmique :

Que donne la fonction suivante lorsque l’on appelle Devine(N) où $N$ est un entier donné ?

def Devine(n):
$\qquad \vert \qquad \vert$ u = 1
$\qquad \vert \qquad \vert$ for k in range(n):
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad$ u = (1 + 1/(k + 1)) * u
$\qquad \vert \qquad \vert$ return u

Correction de l’exercice pour déterminer une suite en algorithmique :

On calcule $u_n = \displaystyle 1 . \left ( 1 + \frac 11 \right ) \left (1 + \frac 1 2 \right ) \cdots \left (1 + \frac 1 {n} \right )$
$u_n = \displaystyle \frac 2 1 \, \frac 3 2 \, \frac 4 3 \, \cdots \, \frac {n } {n - 1}\, \frac {n + 1} n = n + 1$ .

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2.Termes successifs d’une suite en algorithmique en Terminale Générale

Exercice sur les termes successifs d’une suite en Terminale

On définit la suite $(u_n)_n$ par $u_0 = \displaystyle \frac 1 2$ et pour tout entier $n$ , $u _{n + 1} = \displaystyle \frac {2\, u_n} {1 + u_n}$
Compléter l’algorithme suivant pour que l’appel à Suite $U(n)$ pour un entier $n > 0$ donné fournisse la liste $[u_0\, ,\, u_1 \, ,\, \cdots\,,\, u_{n}]$

def SuiteU (n):%
$\qquad \vert \qquad \vert$ u = …
$\qquad \vert \qquad \vert$ L =[…] $\qquad$
$\qquad \vert \qquad \vert$ for i in range (… ) :
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ u = …
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ L. append(…)
$\qquad \vert \qquad \vert$ return …

Correction de l’exercice sur les termes successifs d’une suite en Terminale

l est indispensable d’initialiser $U$ à $1/2$ .
et on initialise la liste avec $u$ car on calcule dans la boucle les termes successifs.

Dans la boucle, on calcule les $n$ termes suivants de la suite et on les place dans la liste grâce à append.
Il faut donc faire $n$ calculs donc $i$ décrit range(0 , n)

def SuiteU (n):
$\qquad \vert \qquad \vert$ u = 1/2
$\qquad \vert \qquad \vert$ L = [u] $\qquad$
$\qquad \vert \qquad \vert$ for i in range (n) :
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ u = 2 * u / (1 + u)
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ L. append(u)
$\qquad \vert \qquad \vert$ return L

3. Somme des termes d’une suite en algorithmique en Terminale

On définit une suite $(u_n)_n$ par son premier terme $u_0$ et la relation $\forall\, n \in \mathbb{N}, u_n = 0,8*u_n + 50$
On note $\displaystyle S_n = \sum _ {k = 0} ^n u_k$ .

Exercice sur la sommes des termes d’une suite en Terminale :

Compléter la fonction suivante dont le résultat est $S_n$ lorsque $n \in \mathbb{N}^*$

def Somme ( $u_0$ , n):
$\qquad \vert \qquad \vert$ U = $\cdots$
$\qquad \vert \qquad \vert$ S = $\cdots$
$\qquad \vert \qquad \vert$ for i in range (… ):
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ S = …
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ U = …
$\qquad \vert \qquad \vert$ return …

Correction de l’exercice sur la sommes des termes d’une suite en Terminale :

Il est indispensable d’initialiser $U$ avec $u_0$ pour commencer
Dans la boucle, on met à jour $S$ avant de calculer le terme suivant
Donc il faut à l’ancienne valeur de $S$ ajouter la valeur de $U$ calculée auparavant
lorsque $i = 0$ , $S$ est égal à $u_0$ et il faut dobc que l’initialisation avant la boucle soit $S = 0$
Dans la boucle sur $i$ , on introduit le nouveau terme pour $U$ .

Il faut additionner en tout $n + 1$ éléments donc i doit varier de 0 à $n$ soit $i$ in range(n + 1).

La réponse attendue est :
def Somme ( $u_0$ , n):
$\qquad \vert \qquad \vert$ U = $u_0$
$\qquad \vert \qquad \vert$ S = 0
$\qquad \vert \qquad \vert$ for i in range (n + 1):
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ S = S + U
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ U = 0.8*U + 50
$\qquad \vert \qquad \vert$ return S

4. Problèmes de seuils en algorithmique

Exercice sur les problèmes de seuils en Terminale

On considère la suite définie par $u_0 = 2$ et $\forall\, n \in \mathbb{N},\,u_{n + 1} = - u_n ^2 + 5\, u_n - 3$

Question 1 :
Écrire une fonction ListedesU de paramètre l’entier $n$ dont le résultat est la liste $[u_0\, ,\, u_1 \, ,\, \cdots\,,\, u_{n}]$ . N’hésitez pas à revoir le cours sur les limites en terminale pour cette question.

Question 2 :
On admet que si $u_0 = 2.5$ , la suite $(u_n)_n$ converge vers 3.
Compléter la fonction suivante qui donne le premier entier $N$ tel que $\vert u_n - 2 \vert < e$ lorsque $e$ est un réel de $]0 , 1[$ .

def Proche(e):
$\qquad \vert \qquad \vert$ N $=$ …
$\qquad \vert \qquad \vert$ U $=2.5$
$\qquad \vert \qquad \vert$ while abs(U $-$ 3) $\cdots$ :
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ N $= \cdots$
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ U $= \cdots$
$\qquad \vert \qquad \vert$ return …

Question 3 :
On admet que la suite $(u_n)_n$ converge vers 3.
Montrer que la suite de terme général $S_n = \displaystyle \sum _{k = 0} ^n u_n$ diverge vers $+ \infty$ .
Ecrire une fonction Depasse ( $A$ ) dont le résultat est le plus petit entier $N$ tel que $S_N \geqslant A$

Correction de l’exercice sur les problèmes de seuils en Terminale

Question 1 :
ef ListeDesU(n):
$\qquad \vert \qquad \vert$ u = 2.5
$\qquad \vert \qquad \vert$ L = [u] $\qquad$
$\qquad \vert \qquad \vert$ for i in range (n ) :
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ u = – u **2 + 5 * u – 3
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ L. append(u)
$\qquad \vert \qquad \vert$ return L

ListeDesU(6)

[2.5,
3.25,
2.6875,
3.21484375,
2.7389984130859375,
3.1928797585424036,
2.7699176402022196]

Question 2 :
On initialise $N = 0$ , $U$ a été initialisé par l’ énoncé.
On doit arrêter le while lorsque $\vert u - e \vert < e$ donc tant que $\vert u - e \vert \geqslant a$ , on effectue les instructions de la boucle
$\ast$ on incrémente le compteur N par $N = N + 1$
$\ast$ on calcule la valeur suivante de la suite par $U = - U ^2 + 5 *U - 3$
Le résultat de la fonction est la dernière valeur de $N$ calculée qui mène à $\vert u_N - 3 \vert < e$ .

def Proche(e):
$\qquad \vert \qquad \vert$ N $=$ 0
$\qquad \vert \qquad \vert$ U $=2.5$
$\qquad \vert \qquad \vert$ while abs(U $-$ 3) $\,>=\,$ e:
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ N $=$ N $+1$
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ U= $-$ U** $2 + 5$ *U $-3$
$\qquad \vert \qquad \vert$ return N

exemples :
Proche(1/100) renvoie 4937

Proche(1/1000) renvoie 499481

Question 3 :
$\bullet$ Comme $\displaystyle \lim_{n \to + \infty} u_n = 3$ , il existe $k \in \mathbb{N}$ si $n \geqslant k$ , $u_n \geqslant 2$ .
Si $n \geqslant k$ , $\displaystyle \sum _ {p = k} ^n u_p \geqslant \sum _ {p = k} ^n 2$
donc $S_n - S_k \geqslant (n - k + 1) 2$
soit $S _ n \geqslant S_k + 2( n - k + 1)$ .
Comme $\qquad \displaystyle \lim _ {n \to + \infty} S_k + 2( n - k + 1) = + \infty$
donc $\displaystyle \lim _ {n \to + \infty} = + \infty$

$\bullet$ Python
def Depasse(A):
$\qquad \vert \qquad \vert$ U = 2.5
$\qquad \vert \qquad \vert$ S = U
$\qquad \vert \qquad \vert$ N = 0
$\qquad \vert \qquad \vert$ while S < A:
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ N = N + 1
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ U= $-$ U** $2 + 5$ *U $-3$
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ S = S + U
$\qquad \vert \qquad \vert$ return N

Depasse(10000) renvoie 3333.

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5. Suite de Syracuse en Terminale en Algorithmique

Exercice sur les suites de Syracuse en Algorithmique

La suite de Syracuse définie par la donnée d’un terme $u_0$ et les conditions
pour tout $n \in \mathbb{N}$ :
$\ast$ si $u_n$ est impair, $u_{n + 1} = \displaystyle {3 \, u_n + 1}$
$\ast$ si $u_n$ est pair, $u_{n + 1} = \displaystyle \frac {u_n} 2$ .

On conjecture (la démonstration n’a pas été faite) que quelque soit l’entier >1 de départ, la suite prend la valeur 1.
Ecrire une fonction de paramètre la valeur de départ et qui indique l’indice du premier terme pour lequel on obtient $1$ et donne la liste des valeurs obtenue.

Le quotient d’un entier $a$ par 2 est donné par a \\2

Correction de l’exercice sur les suites de Syracuse en Algorithmique

def Syracuse ( debut ):
$\qquad \vert \qquad \vert$ u = debut
$\qquad \vert \qquad \vert$ L = [u] $\qquad$
$\qquad \vert \qquad \vert$ n = 1
$\qquad \vert \qquad \vert$ while u > 1:
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ if u != 2 * (u//2) :
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ u= 3 * u + 1
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ else :
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ u = u//2
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ L.append (u)
$\qquad \vert \qquad \vert \qquad \vert$ n = n + 1
$\qquad \vert \qquad \vert$ return n , L

Syracuse(11)
(14, [11, 34, 17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1])

Syracuse(17)
(13, [17, 52, 26, 13, 40, 20, 10, 5, 16, 8, 4, 2, 1])

Pour Syracuse (121) : on calcule 96 termes !

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