Chapitres Maths en Terminale Générale

Exercices et corrigés : les fonctions trigonométriques en Terminale

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

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Exercices de fonctions trigonométriques en Terminale

Exercice 1 : première équation trigonométrique en Terminale

Résoudre
$\quad \sin\left ( x + \dfrac {3\,\pi} 4\right ) = \cos \left( 2\, x - \dfrac {\pi} 3 \right )$
dans $\mathbb{R}$ puis dans $[0 ,\, 2\, \pi]$ .

Exercice 2 : deuxième équation trigonométrique en Terminale

Résoudre $\sin \left (2\, x - \dfrac {\pi} 3 \right ) = - \sin(x)$
dans $\mathbb{R}$ puis dans $]- \pi ,\, \pi]$ .

Exercice 3 : première inéquation trigonométrique en Terminale

Résoudre dans $[0\,,\, 2\,\pi[$ ,
$\qquad 2\,\sin^2(x) + 3\, \sin(x) - 2\geqslant 0$

Exercice 4 : deuxième inéquation trigonométrique en Terminale

Résoudre dans $[0\,,\, 2\,\pi[$
$\quad 2\,\cos^2(x) + 9\, \cos(x) +4 2< 0$ .

Exercice 5 : étude d’une fonction trigonométrique en Terminale

On note $f : [ - \, \pi,\, \pi]\to \mathbb{R}$

$x \displaystyle \mapsto \frac {\cos(x) + x \, \sin(x)} {\cos(x) - \sin(x)}$

Question 1
Quel est le domaine de définition $\mathcal{D}$ de $f$ ?

Question 2
Calculer $f'(x)$ lorsque $x \in \mathcal{D}$ .

Question 3
Si $x \in [- \pi\, ,\pi]$ , on note $N(x) = x + \sin(x) \, \cos(x) + \cos^2(x)$
Étudier les variations de $N$ et en déduire que $N$ s’annule en un unique point $a \in \; ]-\pi/2, \, 0[$ .
On donne $a \approx -0,437$ .

Question 4
En déduire les variations de $f$ sur $\mathcal{D}$ .
On donne $f(a)\approx 0,821$ .

Question 5
Donner le tableau de variation de $f$ et son graphe

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Correction des exercices de fonctions trigonométriques

Correction de l’exercice 1 sur les fonctions trigonométriques

On écrit l’équation sous la forme
$\cos \left( 2\, x - \dfrac {\pi} 3 \right ) = \cos \left ( \dfrac {\pi} 2 - x - \dfrac {3\, \pi} 4 \right )$
ssi $\cos \left ( 2\, x - \dfrac {\pi} \right ) = \cos \left ( - \dfrac {\pi} 4 - x \right )$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\qquad \;\; 2\, x - \dfrac {\pi} 3 = - \dfrac {\pi} 4 - x + 2\, k\, \pi$
$\quad$ ou $2\, x - \dfrac {\pi} 3 = \dfrac {\pi} 4 + x + 2\, k\, \pi$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\qquad 3\, x = \dfrac {\pi} 3 - \dfrac {\pi} 4 + 2\, k\, \pi$
$\quad$ ou $x = \dfrac {\pi} 3 + \dfrac {\pi} 4 + 2\, k\, \pi$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\;\; 3\, x = \dfrac {\pi} {12} + 2\, k\, \pi$ ou $x = \dfrac {7\, \pi} {12} + 2\, k\, \pi$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\;\; x = \dfrac {\pi} {36} +\dfrac{ 2\, k\, \pi} 3$ ou $x = \dfrac {7\, \pi} {12} + 2\, k\, \pi$ .

Les solutions dans $[0,\, 2\, \pi[$ sont
$\qquad \boxed{\left \{ \dfrac {\pi} {36} \,,\, \dfrac {13\, \pi} {36} \,,\,\dfrac {25\, \pi} {36} \,,\, \dfrac {7\, \pi} {12}\right \}}$ .

Correction de l’exercice 2 sur les fonctions trigonométriques

$\sin \left (2\, x - \dfrac {\pi} 3 \right ) = - \sin(x)$
ssi $\sin \left (2\, x - \dfrac {\pi} 3 \right ) = \sin(x + \pi )$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\qquad \;\; 2\, x - \dfrac {\pi} 3 = - x + 2\, k\,\pi$
$\quad$ ou $2\, x - \dfrac {\pi} 3 = \pi + x + 2\, k\, \pi$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que
$3\, x = \dfrac {\pi} 3 + 2\, k\,\pi$ ou $x = \dfrac {4\, \pi} 3 + 2\, k\, \pi$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que
$x = \dfrac {\pi} 9 + \dfrac{2\, k\,\pi} 3$ ou $x = \dfrac {4\, \pi} 3 + 2\, k\, \pi$ .

Les solutions dans $]-\pi ,\, \pi]$ sont $\qquad \boxed{\mathcal{S} = \left\{ \dfrac {\pi} 9\,,\, \dfrac {- 5\, \pi} 9\,,\, \dfrac {7\, \pi} 9\,,\, \dfrac {-2\, \pi} 3 \right \}}$ .

Correction de l’exercice 3 sur les fonctions trigonométriques

On considère d’abord l’équation
$2\, t ^2 + 3\, t - 2 = 0$ de discriminant $\Delta = 25$ et de racines $-2$ et $1/2$ .
Donc $2\, t ^2 + 3\, t - 2 = (2\, t - 1)(t + 2)$ .

On doit donc résoudre $\quad (2\, \sin(x) - 1) \,(\sin(x) + 2) \geqslant 0$
avec $\sin(x) + 2 > 0$ , on obtient l’inéquation équivalente
$2\,\sin(x) - 1 \geqslant 0$ ssi $\sin(x) \geqslant \sin(\pi/6)$
ssi il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $\pi - \dfrac {\pi} 6 + 2\, k \, \pi \leqslant x \leqslant 2\, \pi - \dfrac {\pi} 6 + 2\, k \, \pi$ .

Comme on cherche les valeurs dans $[0 , 2\, \pi[$ , on obtient $\left [ \dfrac {5 \, \pi } 6 \,,\, \dfrac {11\, \pi} 6 \right ]$ .

Correction de l’exercice 4 sur les fonctions trigonométriques

On considère d’abord l’équation
$2\, t ^2 + 9\, t+4 = 0$ de discriminant $\Delta = 49$ et de racines $-4$ et $-1/2$
donc $2\, t ^2 + 9\, t +4 = (2\, t +1)(t + 4)$ .

On doit donc résoudre $\quad (2\, \cos(x) + 1) \,(\cos(x) + 4)< 0$
avec $\cos(x) + 4 > 0$ , on obtient l’inéquation équivalente
$2\,\cos(x) + 1 < 0$ ssi $\cos(x) < \dfrac {- 1} 2$
ssi $\cos(x) < \cos(2\, \pi/3)$
ssi il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $\;\; \dfrac {2\,\pi} 3 + 2\, k \, \pi < x < 2\, \pi - \dfrac {2\, \pi} 3 + 2\, k \, \pi$

Comme on cherche les valeurs dans $[0 , 2\, \pi[$ , on obtient $\left ] \dfrac {2 \, \pi } 3 \,,\, \dfrac {4\, \pi} 3 \right [$ .

Correction de l’exercice 5 sur les fonctions trigonométriques

Question 1

$\cos(x) = \sin(x)$ ssi $\cos(x) = \cos \left (\dfrac {\pi} 2 - x \right )$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x = \dfrac {\pi} 2 - x + 2\,k\, \pi$ ou $x = x - \dfrac {\pi} 2 + 2\,k\, \pi$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $2\, x = \dfrac {\pi} 2 + 2\,k\, \pi$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x = \dfrac {\pi} 4 + k\, \pi$ .

Comme $x \in [- \pi\, ,\, \pi]$ , les solutions à retenir sont $\dfrac {\pi} 4$ et $\dfrac {- 3\, \pi} 4$ .

Dans la suite, on note $\mathcal{D}$ l’ensemble $\left [ - \pi , \, \dfrac {- 3\, \pi} 4 \right [ \, \cup \, \left ] \dfrac {- 3\, \pi} 4\,,\, \dfrac { \pi} 4 \right [ \, \cup \, \left ]\dfrac {\pi} 4\,,\, \pi \right ]$ .

Question 2

$\bullet$ Calcul de la dérivée
En notant $u(x) = \cos(x) + x \, \sin(x)$ et $v(x) = \cos(x) - \sin(x)$ ,
$f'(x) = \dfrac {u'(x) \, v(x) - u(x) \, v'(x)} {v^2(x)}$
$u'(x) = - \sin(x) + \sin(x) + x\, \cos(x)$ $u'(x) = x \, \cos(x)$

$N(x) = u'(x) \, v(x) - u(x) \, v(x)$
$N(x) = x \, \cos(x) \left ( \cos(x) - \sin(x)\right )$ $\;\; +\, \left ( \cos(x) + x \, \sin(x) \right ) \, \left ( \sin(x) +\cos(x) \right )$
$N(x) = x \, \cos^2(x) - x \, \cos(x)\, \sin(x)$ $\qquad \quad + \, \sin(x) \, \cos(x) + x \, \sin^2(x)$ $\qquad \qquad \quad + \,\cos^2(x) + x \, \cos(x) \, \sin(x)$
$N(x) = x + \sin(x) \, \cos(x) + \cos^2(x)$

et $f'(x) = \dfrac {x + \sin(x) \, \cos(x) + \cos^2(x)} { ( \cos(x) - \sin(x))^2}$ est du signe de $N(x)$ .

Question 3

Pour $x \in [0,\, \pi]$ , $N(x) = x + \sin(x) \, \cos(x) + \cos^2(x)$
$N'(x) = 1 +\cos^2(x) - \sin^2(x) - 2\,\sin(x)\, \cos(x)$ $N'(x) = 2\, \cos^2(x)$ $\qquad \qquad \qquad -\, 2\,\sin(x)\,\cos(x)$
$N'(x) = 2\,\cos(x) \,\left ( 1 - \sin(x) \right )$ .

Sur $[-\pi\,,\,\pi]$ , $N'$ s’annule en $\pm \pi/2$ .
$N'(x) > 0$ si $x \in\; ]-\pi/2\, ,\pi/2[$ et $N'(x) < 0$ si $x \in \;[-\pi\,,\, - \pi/2[ \, \cup\, ]\pi/2\,,\, \pi]$ .

Je vous laisse faire le tableau de variations de $N$ , en utilisant $N(-\pi) = - \pi + 1 < 0$ , $N(0) = 1$ et $N(\pi) = \pi + 1 > 0$ ,
on démontre que

$\qquad \;\; N(-\pi/2) < N(-\pi) < 0$
$\quad$ et $N(\pi/2) > N(\pi) > 0$ .

La fonction $N$ étant continue et strictement croissante sur $[- \pi/2\,,\, \pi/2]$ , il existe un unique $a \in \;]-\pi/2 , \, \pi/2[$ tel que $N(a) = 0$ .

De plus $a < 0$ car $N(0) = 1 > 0$ .

Le tableau de variations que vous avez tracé donne donc

$N'(x) < 0$ si $x \in [ - \pi , \, a[$ et $N'(x) > 0$ si $x \in \;]a\,,\, \pi]$

Question 4

On rappelle que $N'(x) < 0$ si $x \in [ - \pi , \, a[$ et $N'(x) > 0$ si $x \in \;]a\,,\, \pi]$ et que sur $\mathcal{D}$ , $f'(x)$ et $N(x)$ sont de même signe.

Sur $\left [- \pi\,,\, \dfrac {- 3\,\pi} 4 \right [\, \cup \, \left ]\dfrac {-\pi}4 \,,\, a \right ]$ , $f$ est strictement décroissante.

Sur $\left [a\, , \, \dfrac {\pi} 4 \right [ \, \cup \, \left ] \pi/4\,,\, {\pi} \right]$ , $f$ est strictement croissante.

Question 5

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Exercices et corrigés : les fonctions trigonométriques en Terminale

Exercices de fonctions trigonométriques en Terminale

Exercice 1 : première équation trigonométrique en Terminale

Exercice 2 : deuxième équation trigonométrique en Terminale

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