Chapitres Maths en Terminale Générale

Exercices et corrigés : les fonctions trigonométriques en Terminale

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
Rating: 4.9 (1049 reviews)

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Revoyez et vérifiez votre niveau de maths en Terminale en vous entraînant sur nos cours en ligne de terminale et leurs exercices corrigés. Maîtriser le programme de maths en terminale est nécessaire pour les élèves qui visent les meilleures prepa MP ou qui souhaitent rejoindre les meilleures écoles d’ingénieurs post-bac.

Avant cela, il vous faudra réussir les épreuves du bac pour ne pas être déçu le jour des résultats du bac. En effet, les maths ont un très fort coefficient au bac, comme vous pouvez le constater sur notre simulateur du bac.

Exercices de fonctions trigonométriques en Terminale

Exercice 1 : première équation trigonométrique en Terminale

Résoudre
$\quad \sin\left ( x + \dfrac {3\,\pi} 4\right ) = \cos \left( 2\, x - \dfrac {\pi} 3 \right )$
dans $\mathbb{R}$ puis dans $[0 ,\, 2\, \pi]$ .

Exercice 2 : deuxième équation trigonométrique en Terminale

Résoudre $\sin \left (2\, x - \dfrac {\pi} 3 \right ) = - \sin(x)$
dans $\mathbb{R}$ puis dans $]- \pi ,\, \pi]$ .

Exercice 3 : première inéquation trigonométrique en Terminale

Résoudre dans $[0\,,\, 2\,\pi[$ ,
$\qquad 2\,\sin^2(x) + 3\, \sin(x) - 2\geqslant 0$

Exercice 4 : deuxième inéquation trigonométrique en Terminale

Résoudre dans $[0\,,\, 2\,\pi[$
$\quad 2\,\cos^2(x) + 9\, \cos(x) +4 2< 0$ .

Exercice 5 : étude d’une fonction trigonométrique en Terminale

On note $f : [ - \, \pi,\, \pi]\to \mathbb{R}$

$x \displaystyle \mapsto \frac {\cos(x) + x \, \sin(x)} {\cos(x) - \sin(x)}$

Question 1
Quel est le domaine de définition $\mathcal{D}$ de $f$ ?

Question 2
Calculer $f'(x)$ lorsque $x \in \mathcal{D}$ .

Question 3
Si $x \in [- \pi\, ,\pi]$ , on note $N(x) = x + \sin(x) \, \cos(x) + \cos^2(x)$
Étudier les variations de $N$ et en déduire que $N$ s’annule en un unique point $a \in \; ]-\pi/2, \, 0[$ .
On donne $a \approx -0,437$ .

Question 4
En déduire les variations de $f$ sur $\mathcal{D}$ .
On donne $f(a)\approx 0,821$ .

Question 5
Donner le tableau de variation de $f$ et son graphe

COURS DE MATHS

Les meilleurs professeurs particuliers

Pour progresser et réussir

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

Correction des exercices de fonctions trigonométriques

Correction de l’exercice 1 sur les fonctions trigonométriques

On écrit l’équation sous la forme
$\cos \left( 2\, x - \dfrac {\pi} 3 \right ) = \cos \left ( \dfrac {\pi} 2 - x - \dfrac {3\, \pi} 4 \right )$
ssi $\cos \left ( 2\, x - \dfrac {\pi} \right ) = \cos \left ( - \dfrac {\pi} 4 - x \right )$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\qquad \;\; 2\, x - \dfrac {\pi} 3 = - \dfrac {\pi} 4 - x + 2\, k\, \pi$
$\quad$ ou $2\, x - \dfrac {\pi} 3 = \dfrac {\pi} 4 + x + 2\, k\, \pi$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\qquad 3\, x = \dfrac {\pi} 3 - \dfrac {\pi} 4 + 2\, k\, \pi$
$\quad$ ou $x = \dfrac {\pi} 3 + \dfrac {\pi} 4 + 2\, k\, \pi$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\;\; 3\, x = \dfrac {\pi} {12} + 2\, k\, \pi$ ou $x = \dfrac {7\, \pi} {12} + 2\, k\, \pi$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\;\; x = \dfrac {\pi} {36} +\dfrac{ 2\, k\, \pi} 3$ ou $x = \dfrac {7\, \pi} {12} + 2\, k\, \pi$ .

Les solutions dans $[0,\, 2\, \pi[$ sont
$\qquad \boxed{\left \{ \dfrac {\pi} {36} \,,\, \dfrac {13\, \pi} {36} \,,\,\dfrac {25\, \pi} {36} \,,\, \dfrac {7\, \pi} {12}\right \}}$ .

Correction de l’exercice 2 sur les fonctions trigonométriques

$\sin \left (2\, x - \dfrac {\pi} 3 \right ) = - \sin(x)$
ssi $\sin \left (2\, x - \dfrac {\pi} 3 \right ) = \sin(x + \pi )$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\qquad \;\; 2\, x - \dfrac {\pi} 3 = - x + 2\, k\,\pi$
$\quad$ ou $2\, x - \dfrac {\pi} 3 = \pi + x + 2\, k\, \pi$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que
$3\, x = \dfrac {\pi} 3 + 2\, k\,\pi$ ou $x = \dfrac {4\, \pi} 3 + 2\, k\, \pi$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que
$x = \dfrac {\pi} 9 + \dfrac{2\, k\,\pi} 3$ ou $x = \dfrac {4\, \pi} 3 + 2\, k\, \pi$ .

Les solutions dans $]-\pi ,\, \pi]$ sont $\qquad \boxed{\mathcal{S} = \left\{ \dfrac {\pi} 9\,,\, \dfrac {- 5\, \pi} 9\,,\, \dfrac {7\, \pi} 9\,,\, \dfrac {-2\, \pi} 3 \right \}}$ .

Correction de l’exercice 3 sur les fonctions trigonométriques

On considère d’abord l’équation
$2\, t ^2 + 3\, t - 2 = 0$ de discriminant $\Delta = 25$ et de racines $-2$ et $1/2$ .
Donc $2\, t ^2 + 3\, t - 2 = (2\, t - 1)(t + 2)$ .

On doit donc résoudre $\quad (2\, \sin(x) - 1) \,(\sin(x) + 2) \geqslant 0$
avec $\sin(x) + 2 > 0$ , on obtient l’inéquation équivalente
$2\,\sin(x) - 1 \geqslant 0$ ssi $\sin(x) \geqslant \sin(\pi/6)$
ssi il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $\pi - \dfrac {\pi} 6 + 2\, k \, \pi \leqslant x \leqslant 2\, \pi - \dfrac {\pi} 6 + 2\, k \, \pi$ .

Comme on cherche les valeurs dans $[0 , 2\, \pi[$ , on obtient $\left [ \dfrac {5 \, \pi } 6 \,,\, \dfrac {11\, \pi} 6 \right ]$ .

Correction de l’exercice 4 sur les fonctions trigonométriques

On considère d’abord l’équation
$2\, t ^2 + 9\, t+4 = 0$ de discriminant $\Delta = 49$ et de racines $-4$ et $-1/2$
donc $2\, t ^2 + 9\, t +4 = (2\, t +1)(t + 4)$ .

On doit donc résoudre $\quad (2\, \cos(x) + 1) \,(\cos(x) + 4)< 0$
avec $\cos(x) + 4 > 0$ , on obtient l’inéquation équivalente
$2\,\cos(x) + 1 < 0$ ssi $\cos(x) < \dfrac {- 1} 2$
ssi $\cos(x) < \cos(2\, \pi/3)$
ssi il existe $k\in\mathbb{Z}$ tel que $\;\; \dfrac {2\,\pi} 3 + 2\, k \, \pi < x < 2\, \pi - \dfrac {2\, \pi} 3 + 2\, k \, \pi$

Comme on cherche les valeurs dans $[0 , 2\, \pi[$ , on obtient $\left ] \dfrac {2 \, \pi } 3 \,,\, \dfrac {4\, \pi} 3 \right [$ .

Correction de l’exercice 5 sur les fonctions trigonométriques

Question 1

$\cos(x) = \sin(x)$ ssi $\cos(x) = \cos \left (\dfrac {\pi} 2 - x \right )$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x = \dfrac {\pi} 2 - x + 2\,k\, \pi$ ou $x = x - \dfrac {\pi} 2 + 2\,k\, \pi$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $2\, x = \dfrac {\pi} 2 + 2\,k\, \pi$
ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x = \dfrac {\pi} 4 + k\, \pi$ .

Comme $x \in [- \pi\, ,\, \pi]$ , les solutions à retenir sont $\dfrac {\pi} 4$ et $\dfrac {- 3\, \pi} 4$ .

Dans la suite, on note $\mathcal{D}$ l’ensemble $\left [ - \pi , \, \dfrac {- 3\, \pi} 4 \right [ \, \cup \, \left ] \dfrac {- 3\, \pi} 4\,,\, \dfrac { \pi} 4 \right [ \, \cup \, \left ]\dfrac {\pi} 4\,,\, \pi \right ]$ .

Question 2

$\bullet$ Calcul de la dérivée
En notant $u(x) = \cos(x) + x \, \sin(x)$ et $v(x) = \cos(x) - \sin(x)$ ,
$f'(x) = \dfrac {u'(x) \, v(x) - u(x) \, v'(x)} {v^2(x)}$
$u'(x) = - \sin(x) + \sin(x) + x\, \cos(x)$ $u'(x) = x \, \cos(x)$

$N(x) = u'(x) \, v(x) - u(x) \, v(x)$
$N(x) = x \, \cos(x) \left ( \cos(x) - \sin(x)\right )$ $\;\; +\, \left ( \cos(x) + x \, \sin(x) \right ) \, \left ( \sin(x) +\cos(x) \right )$
$N(x) = x \, \cos^2(x) - x \, \cos(x)\, \sin(x)$ $\qquad \quad + \, \sin(x) \, \cos(x) + x \, \sin^2(x)$ $\qquad \qquad \quad + \,\cos^2(x) + x \, \cos(x) \, \sin(x)$
$N(x) = x + \sin(x) \, \cos(x) + \cos^2(x)$

et $f'(x) = \dfrac {x + \sin(x) \, \cos(x) + \cos^2(x)} { ( \cos(x) - \sin(x))^2}$ est du signe de $N(x)$ .

Question 3

Pour $x \in [0,\, \pi]$ , $N(x) = x + \sin(x) \, \cos(x) + \cos^2(x)$
$N'(x) = 1 +\cos^2(x) - \sin^2(x) - 2\,\sin(x)\, \cos(x)$ $N'(x) = 2\, \cos^2(x)$ $\qquad \qquad \qquad -\, 2\,\sin(x)\,\cos(x)$
$N'(x) = 2\,\cos(x) \,\left ( 1 - \sin(x) \right )$ .

Sur $[-\pi\,,\,\pi]$ , $N'$ s’annule en $\pm \pi/2$ .
$N'(x) > 0$ si $x \in\; ]-\pi/2\, ,\pi/2[$ et $N'(x) < 0$ si $x \in \;[-\pi\,,\, - \pi/2[ \, \cup\, ]\pi/2\,,\, \pi]$ .

Je vous laisse faire le tableau de variations de $N$ , en utilisant $N(-\pi) = - \pi + 1 < 0$ , $N(0) = 1$ et $N(\pi) = \pi + 1 > 0$ ,
on démontre que

$\qquad \;\; N(-\pi/2) < N(-\pi) < 0$
$\quad$ et $N(\pi/2) > N(\pi) > 0$ .

La fonction $N$ étant continue et strictement croissante sur $[- \pi/2\,,\, \pi/2]$ , il existe un unique $a \in \;]-\pi/2 , \, \pi/2[$ tel que $N(a) = 0$ .

De plus $a < 0$ car $N(0) = 1 > 0$ .

Le tableau de variations que vous avez tracé donne donc

$N'(x) < 0$ si $x \in [ - \pi , \, a[$ et $N'(x) > 0$ si $x \in \;]a\,,\, \pi]$

Question 4

On rappelle que $N'(x) < 0$ si $x \in [ - \pi , \, a[$ et $N'(x) > 0$ si $x \in \;]a\,,\, \pi]$ et que sur $\mathcal{D}$ , $f'(x)$ et $N(x)$ sont de même signe.

Sur $\left [- \pi\,,\, \dfrac {- 3\,\pi} 4 \right [\, \cup \, \left ]\dfrac {-\pi}4 \,,\, a \right ]$ , $f$ est strictement décroissante.

Sur $\left [a\, , \, \dfrac {\pi} 4 \right [ \, \cup \, \left ] \pi/4\,,\, {\pi} \right]$ , $f$ est strictement croissante.

Question 5

COURS PARTICULIERS EN LIGNE

Nous avons sélectionné pour vous les meilleurs professeurs particuliers.

POUR ACCÉLÉRER MA PROGRESSION

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

Vous pouvez gagnez de l’avance sur le programme de terminale grâce aux annales de maths au bac et aux cours en ligne de maths de terminale gratuits, testez-vous par exemple sur les chapitres suivants :

Pour réussir en terminale et au bac, il vous faudra travailler régulièrement et sérieusement. Si vous souffrez de lacunes dans certaines matières vous pouvez prendre des cours particuliers au lycée pour les combler. Ils peuvent prendre la forme de cours particuliers à domicile ou bien de cours particuliers en ligne. Les cours particuliers de maths vous permettent d’adopter entre autres les bonnes méthodes de calcul et de raisonnement sur des sujets concrets, tout en complétant vos connaissances.

Exercices et corrigés : les fonctions trigonométriques en Terminale

Exercices de fonctions trigonométriques en Terminale

Exercice 1 : première équation trigonométrique en Terminale

Exercice 2 : deuxième équation trigonométrique en Terminale

Exercice 3 : première inéquation trigonométrique en Terminale

Exercice 4 : deuxième inéquation trigonométrique en Terminale

Exercice 5 : étude d’une fonction trigonométrique en Terminale

COURS DE MATHS

Les meilleurs professeurs particuliers

Pour progresser et réussir

Correction des exercices de fonctions trigonométriques

Correction de l’exercice 1 sur les fonctions trigonométriques

Correction de l’exercice 2 sur les fonctions trigonométriques

Correction de l’exercice 3 sur les fonctions trigonométriques

Correction de l’exercice 4 sur les fonctions trigonométriques

Correction de l’exercice 5 sur les fonctions trigonométriques

COURS PARTICULIERS EN LIGNE

Nous avons sélectionné pour vous les meilleurs professeurs particuliers.

POUR ACCÉLÉRER MA PROGRESSION

Contact

Qui sommes-nous ?

Nous rejoindre

Copyright @ GROUPE REUSSITE - Mentions légales