Chapitres Maths en Terminale Générale

Exercices et corrigés : primitives et équations différentielles

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Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Entraînez-vous avec les exercices et les corrigés sur les calcul de primitive et d’équation différentielle. Cela vous aidera à obtenir une meilleure moyenne en maths et à vous entraîner efficacement pour les épreuves du baccalauréat.

1. Calcul Primitives

Exercice 1 : lecture graphique d’une primitive :

Soit $f$ une fonction dérivable de dérivée continue et $F$ une primitive de $f$ sur l’intervalle $I = [-2 , \, 2]$ .
On a représenté les fonctions $f$ , $f'$ et $F$ dans le même repère.
Donner les valeurs $a,\, b$ et $c$ telles que $\mathcal{C}_a$ est le graphe de $f$ , $\mathcal{C}_b$ celui de $f'$ et $\mathcal{C}_c$ celui de $F$ .

Exercice 2 : primitive d’une fonction

Déterminer les primitives des fonctions suivantes en précisant l’intervalle de définition.

$x \mapsto \left ( x ^2 + \dfrac 1 {x ^2} \right ) ^2$
$x \mapsto \dfrac {\left ( 1 - \sqrt{x} \right ) ^2} {\sqrt{x}}$
$x \mapsto \dfrac {x ^4 - 2\, x ^2 + 2} {(x - 1)^2}$
$x \mapsto 5\,\cos(3\, x) - 4 \, \sin(3\, x)$

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2. Calcul Equation différentielle

Exercice 1 Equations différentielles : résoudre une équation

Résoudre l’équation $y' + y = \textrm{e} ^{2\, x}$ en cherchant une solution particulière sous la forme $x \mapsto a \, \textrm{e}^{2\, x}$ où $a \in \mathbb{R}$
Résoudre $y' + y = (x+1) \, \textrm{e} ^{- x}$ en cherchant une solution particulière sous la forme $x \mapsto (a \, x ^2 + b \, x) \, \textrm{e}^{- x}$ ..
Résoudre l’équation $\quad 7\, y' + 2\, y = 2\, x^3 - 5\, x ^2 + 4\, x - 1$ en cherchant une solution particulière sous forme d’une fonction polynôme de degré 3.

Exercice 2 Equations différentielles : trouver la solution

Déterminer les solutions de $\quad y'' - 6 \, y' + 3\, y = \dfrac {1 - x} { x ^3} \textrm{e}^{ 3\,x}$ sur $I =\; ]0 , + \infty[$ .

Indication : On cherchera une fonction $u$ telle que pour tout $x \in I$ , $\qquad \qquad f(x) = u(x) \, \textrm{e}^{ 3\,x}$ .

Démontrer et déterminer qu’il existe une seule solution $f$ telle que $f(1) = 0$ et $f'(1) = 0$ .
Soit $u$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle $I$ . Calculer la dérivée seconde de $\qquad \qquad f : x \mapsto x^2\, u(x)$ .

Correction de l’exercice 1 sur les primitives :

On utilise la propriété suivante :
Si le graphe d’une fonction $h$ a une tangente horizontale en $(x_0\, , \, h(x_0))$ , alors $h'(x_0) = 0$ .

On va donc raisonner suivant le nombre de points où les courbes coupent l’axe horizontal.
Toutes les courbes ont des points à tangente horizontale.

$\ast$ $\mathcal{C}_1$ a deux points à tangente horizon- tale et ne coupe pas l’axe $Ox$ .
$\ast$ $\mathcal{C}_2$ a quatre points à tangente horizon- tale et coupe trois fois l’axe $Ox$ .
$\ast$ $\mathcal{C}_3$ a trois points à tangente horizon- tale et coupe deux fois l’axe $Ox$ .

On note $g_i$ la fonction de graphe $\mathcal{C}_i$ si $1\leqslant i \leqslant 3$ .

$\bullet$ On en déduit que $g_1$ n’est pas la dérivée de $g_2$ ou de $g_3\,$ .
Donc $G_1 = F$ et $\boxed{c = 3}$ .

$\bullet$ Les tangentes à $\mathcal{C}_1$ sont horizontales en $a \in\; ]- 1 , 0[$ et $b \in \; ]0 , 1[$ .
$\mathcal{C}_3$ est la courbe qui coupe l’axe $Ox$ aux points d’abscisse $a$ et $b$ , donc $F' = f$ a pour courbe représentative $\mathcal{C}_3\,$ , alors $\boxed{a = 3}$ .

$\bullet$ Et pour vérification :
Les tangentes à $\mathcal{C}_3$ sont horizontales en $c \in \;]- 2 , -1[$ , $0$ et et $d \in \,]1 , 2[$ . La courbe $\mathcal{C}_2$ coupe $Ox$ aux points d’abscisse $c, 0 , d$ , donc c’est la courbe représentative de $f'$ . Ce qui donne $\boxed{b = 2}$ .

Correction de l’exercice 2 sur les primitives :

On cherche une primitive sur $I_1 = \mathbb{R}^{+*}$ ou sur $I_ 2 = \mathbb{R} ^{- *}$ .
$f(x) = x^4 + 2 + \dfrac 1 {x ^4}$
Les primitives sont les fonctions
$\quad x \mapsto \dfrac {x^5} 5 + 2\, x - \dfrac {1} {3\, x^3} + k$ où $k \in \mathbb{R}$ .
On cherche une primitive sur $I = \mathbb{R}^{+*}$
$f(x) = \dfrac {1 - 2\sqrt{x} + x } {\sqrt{x}}$
$f(x) = \dfrac 1 {\sqrt{x}} - 2 + {\sqrt{x}}$
Les primitives sont les fonctions $x \mapsto 2 \, {\sqrt{x}} - 2\, x + \dfrac 2 3 \, x \, {\sqrt{x}} + k$ où $k \in\mathbb{R}$ .
On cherche une primitive sur $I_1 = \; ]\infty,\, 1[$ ou sur $I_ 2 =\; ]1 ,\, + \infty[$ .Comme $x ^4 - 2\, x ^2 + 1 = (x ^2 - 1) ^2$
$x^4 - 2\, x ^2 + 2= (x - 1) ^2 \, (x + 1) ^2 + 1$
on peut simplifier l’expression de $f(x)$ ,
$f(x) = \dfrac {(x - 1) ^2 (x + 1) ^2 } {(x - 1) ^2} + \dfrac 1 {(x - 1) ^2}$
$f(x) = (x + 1) ^2 + \dfrac 1 {(x - 1) ^2}$
$f(x) = x^2 + 2\, x + 1 + \dfrac 1 {(x - 1) ^2}$ .

Les primitives sur $I_1$ (puis sur $I_2$ ) sont les fonctions
$x \mapsto \dfrac {x^3} 3 + x^2 + x - \dfrac 1 {x - 1} + k$ où $k \in \mathbb{R}$

On cherche une primitive sur $\mathbb{R}$ .
Les primitives sont $x \mapsto \dfrac 5 3 \, \sin(3\, x) + \dfrac 4 3\, \cos(3\, x) + k$ où $k \in \mathbb{R}$ .

Correction de l’exercice 1 sur les équations différentielles

1. La solution générale de l’équation $y' + y = 0$ est $x \mapsto k \, \textrm{e} ^{ - x}$ où $k \in \mathbb{R}$ .
Soit $f : x \mapsto a \, \textrm{e}^{2\, x}$
Pour tout réel $x$ , $f'(x) = 2\, a \, \textrm{e}^{2\, x}$
Pour tout réel $x$ , $f'(x) + f(x) = \textrm{e} ^{2\, x}$
ssi $3\, a \, \textrm{e} ^{2\, x} = \textrm{e} ^{2\, x}$ ssi $a = \dfrac 1 3$ .
L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions
$\qquad x \mapsto \dfrac 1 3 \, \textrm{e} ^{2\, x} + k \, \textrm{e} ^{-x}$ où $k \in \mathbb{R}$ .

2. La solution générale de l’équation $y' + y = 0$ est $x \mapsto k \, \textrm{e} ^{ - x}$ où $k \in \mathbb{R}$ .Soit pour $x \in \mathbb{R}$ , $f(x) = (a \, x ^2 + b \, x) \, \textrm{e}^{- x}$
$f'(x) = - (a \, x ^2 + b \, x) \, \textrm{e}^{- x}$ $\qquad \qquad +\, (2\, a \, x + b \, ) \, \textrm{e}^{- x}$
$f'(x) = \left (- a\, x^2 + ( 2\, a - b) \, x + b \right ) \,\textrm{e}^{- x}$ .
Pour tout réel $x$ ,
$\qquad f'(x) + f(x) = (x+1) \, \textrm{e}^{- x}$
ssi pour tout réel $x$ ,
$\left ( (a - a) \, x ^3 + (b + 2\, a - b) \, x + b \right ) \,\textrm{e}^{- x}$ $\qquad \qquad \qquad = (x + 1) \,\textrm{e}^{- x}$
ssi $2\, a\, x + b = x + 1$
ssi $\left \{ \begin{matrix} 2\, a = 1\\ b = 1\end{matrix} \right.$
ssi $a = \dfrac 1 2$ , $b = 1$

Donc $x \mapsto \left ( \dfrac 1 2 \, x ^2 + x \right ) \, \textrm{e} ^{ - x}$ est une solution pariculière de l’équation.

La solution générale de l’équation $y' + y = (x + 1) \, \textrm{e} ^{ - x}$ est $x \mapsto \left ( \dfrac 1 2 \, x ^2 + x + k \right ) \, \textrm{e} ^{ - x}$ où $k \in \mathbb{R}$ .

3. $\bullet$ La solution générale de l’équation homogène $7\, y' + 2\, y = 0$ soit $y' = - \dfrac 2 7 \, y = 0$ est $x \mapsto k \, \textrm{e} ^{- 2\, x / 7}$ où $k\in\mathbb{R}$ .

$\bullet$ Soit si $x \in \mathbb{R}$ , $P(x) = a\, x ^3 + b \, x ^2 + c\, x + d$
$P'(x) = 3\, a \, x^2 + 2\, b \, x + c$
Pour tout réel $x$ ,
$7\, P'(x) + 2\, P(x) = 2\, x^3 - 5\, x ^2 + 4\, x - 1$
ssi pour tout réel $x$
$2\, a \, x^3 + (2\, b + 21\, a)\, x ^2 + (2\, c + 14 \, b)\, x$ $\qquad \quad + \, 2\, d + 7 \, c =2\, x^3 - 5\, x ^2 + 4\, x - 1$
ssi $\left \{ \begin{matrix} 2\, a = 2\\ 2\, b + 21\, a = - 5\\ 2\, c + 14\, b = 4\\ 2\, d + 7\, c = - 1\end{matrix} \right.$
ssi $\left \{ \begin{matrix} a = 1\\ 2\, b = - 26\\ 2\, c = 4 + 14 \times 13 \\ 2\, d = - 1 - 7\times 93\end{matrix} \right.$

L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions $x \mapsto k \, \textrm{e} ^{- 2\, x / 7} + x^3 - 13 \, x ^2 + 93\, x - 326$ où $k \in \mathbb{R}$

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Correction de l’exercice 2 sur les équations différentielles

Comme la fonction $x \mapsto \textrm{e}^{ 3\,x}$ ne s’annule pas, la fonction $f$ est deux fois dérivable ssi la fonction $u$ définie par $\qquad \qquad u : x \mapsto \textrm{e}^{ - 3\,x} \, f(x)$
est deux fois dérivable sur $I$ .En notant donc pour $x \in I$ , $f(x) = u(x)\, \textrm{e}^{ 3\,x}$
$f'(x) = u'(x) \, \textrm{e}^{ 3\,x} + 3 \, u(x) \, \textrm{e}^{ 3\,x}$
$f'(x) = (u'(x) + 3\, u(x)) \, \textrm{e}^{ 3\,x}$
et $f''(x) = (u''(x) + 3\, u'(x)) \, \textrm{e}^{ 3\,x}$ $\qquad \qquad\quad + \, 3\, (u'(x) + 3\, u(x)) \, \textrm{e}^{ 3\,x}$
$f''(x) = (u''(x) + 6\, u'(x) + 9\, u(x) ) \, \textrm{e}^{ 3\,x}$

$f$ est solution sur $I$ ssi pour tout $x \in I$ ,

$\left ( \, u''(x) + (6 - 6) \, u'(x)\right.$ $\qquad \qquad \left. + \, (9 -18 + 9) \, u(x) \, \right ) \, \textrm{e}^{ 3\,x}$ $\qquad \qquad \qquad = \dfrac {1 - x} { x ^3} \textrm{e}^{ 3\,x}$
ssi pour tout $x \in I$ , $\qquad u''(x) = \dfrac {1 - x} { x ^3} = \dfrac 1 {x ^3} - \dfrac 1 {x ^2}$
ssi il existe $a \in \mathbb{R}$ tel que pour tout $x \in I$ , $\qquad \quad u'(x) = \dfrac { - 1} {2\, x ^2} + \dfrac 1 {x} + a$
ssi il existe deux réels $a$ et $b$ tels que pour tout $x \in I$ , $\qquad \quad u(x) = \dfrac 1 {2\, x} + \ln(x) + a \, x + b$ .

L’ensemble des solutions est l’ensemble des fonctions $\quad x \mapsto \left ( \dfrac 1 {2\, x} + \ln(x) + a \, x + b \right ) \, \textrm{e}^{ 3\,x}$
où $a$ et $b$ sont réels.

On cherche $a$ et $b$ tels que $f(1) = 0$ et $f'(1) = 0$ .
En utilisant $f(x) = u(x) \, \textrm{e} ^{3\, x}$
et $f'(x) = (3\, u(x) + u'(x)) \, \textrm{e} ^{3\, x}$
on obtient les conditions équivalentes $u(1) = 0$ et $3\, u(1) + u'(1) = 0$
ssi $u(1) = u'(1) = 0$
ssi $\dfrac 1 2 + a + b = 0$ et $\dfrac {-1} 2 + \dfrac 1 1 + a = 0$
ssi $a = - \dfrac 1 2$ et $b = - \dfrac 1 2 - a = 0$
(on a repris les expressions de $u$ et $u'$ obtenues dans la question précédente).

Le problème admet une unique solution définie par $\boxed{f : x \mapsto \left ( \dfrac 1 {2\, x} + \ln(x) - \dfrac 1 2 x \right ) \, \textrm{e}^{ 3\,x}}$ .

$f(x) = x^2\, u(x)$
$f'(x) = 2\, x \, u(x) + x^2 \, u'(x)$
$f''(x) = 2\, u(x) + 2\, x \, u'(x) + 2\, x \, u'(x)$ $\qquad \qquad \qquad +\, x^2 \, u''(x)$
$f''(x) = 2\, u(x) + 4\, x \, u'(x) + x ^2\, u''(x)$ .

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