Chapitres Maths en Terminale Générale

Primitives et les équations différentielles en terminale

Il est important de connaître le cours et les formules de mathématiques sur les primitives et les équations différentielles. D’autant plus que l’année de terminale est une année importante puisqu’il faut préparer le bac. Vous pouvez notamment retrouvez d’autres cours en ligne, et des professeurs particuliers de maths de terminale sur notre site, pour vous aider à augmenter votre moyenne générale, mais aussi pour vous préparer aux meilleures prépas scientifiques..

1.Equations différentielles

$\bullet$ Soit $n \in \mathbb{N}^*$ . On appelle équation différentielle d’ordre $n$ toute équation
$\ast$ dont l’inconnue est une fonction $y$ de la variable $x$
$\ast$ exprimant $y ^{(n)}$ en fonction de $y,$ $y' , \cdots , \, y ^{(n - 1 )}$ et éventuellement de $x$ .

Résoudre une équation différentielle d’ordre $n$ sur un intervalle $I \subset \mathbb{R}$ , c’est chercher l’ensemble des fonctions $n$ fois dérivables sur $I$ et vérifiant cette équation en tout point $x \in I$ .

Exemple :

Il existe de nombreux types d’équations différentielles et on ne sait pas toutes les résoudre.
$\ast$ équation linéaire du premier ordre :

Exemple :

$y' + a \, y = b$ , $y' + a \, y = b(x)$ , $y' + x \, y = b(x)$ etc …

$\ast$ équation linéaire du second ordre :

Exemple :

$y'' + y = 0$ , $y'' + 4 \, y =\cos( x)$ ,
$x ^2 \ y'' + 2\, x \, y' + y = 0$ que l’on peut écrire sur $I = \mathbb{R} ^{+ *}$ sous la forme $\quad y'' + \dfrac 2 x \, y' + \dfrac 1 {x ^2} \, y = 0$ .

$\ast$ équation non linéaire du premier ordre :

Exemple : $y ' = y ^2$ , $y ' =x \, \textrm{e} ^y$ .

En Première, vous avez résolu l’équation différentielle $y ' = y$ en apprenant que les fonctions vérifiant pour tout réel $x$ , $f'(x) = f(x)$ sont les fonctions $\mathbb{R} \to \mathbb{R}, \,x \mapsto a \, \textrm{e} ^x$ où $a \in \mathbb{R}$ .

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2. Primitives

Définition d’une primitive :

Soit $f$ est une fonction définie sur un intervalle $I$ .
On appelle primitive de $f$ sur $I$ toute solution $F$ de l’équation $y′ = f (x)$ .

$F$ est une primitive de $f$ sur $I$ ssi
$F$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ $F′(x) = f (x)$ .

⚠️ On se place toujours sur un intervalle pour parler d’une primitive d’une fonction.

3. Calcul primitive

Opérations sur les primitives :

Dans le tableau suivant on se place sur un intervalle $I$ , $k \in \mathbb{R}$ et $\lambda \in \mathbb{R}$

$\boxed{ \begin{matrix} fonction &\vert& primitives\\ -----&\vert& -------\\ f + g &\vert& F + G + \lambda\\ k \, f &\vert& k\, F + \lambda \\ f\, G + F \, g &\vert& F \, G + \lambda\\ \dfrac {f \, G - F \, g} {G ^2} &\vert& \dfrac {F} {G} + \lambda \end{matrix}}$

Primitives des fonctions usuelles :

$\ast$ Soit $a \in \mathbb{R}^*$ .
Primitives de $x \mapsto \textrm{e} ^{a \, x}$ sur $\mathbb{R}$
$\qquad x \mapsto \dfrac 1 a \, \textrm{e} ^{a\, x} + \lambda$

$\ast$ Soit $n \in \mathbb{N}$ .
Primitives de $x \mapsto x^n$ sur $\mathbb{R}$
$\qquad \quad x \mapsto \dfrac 1 {n + 1} \, x ^{n + 1} + \lambda$

$\ast$ Soit $n \in \mathbb{N}$ , $n \geqslant 2$
Primitives de $x \mapsto \dfrac 1 {x^n}$ sur $\mathbb{R}^ {+*}$ ou $\mathbb{R} ^{ - *}$
$\qquad \quad x \mapsto \dfrac { - 1} {n - 1} \, x ^{n - 1}+ \lambda$

4. Equations différentielles $y' = a \, y + b$

Équation homogène $y ' = a \, y$ où $a \in \mathbb{R}$ .

Théorème : Les solutions de l’équation différentielle $y' = a \, y$ où $a \in \mathbb{R}$ sont les fonctions $\mathbb{R} \to \mathbb{R}, x \mapsto k \, \textrm{e} ^{a \, x}$ où $k \in\mathbb{R}$ .

Démonstration :

$\bullet$ Soit $f : x \mapsto k \, \textrm{e} ^{a \, x}$ .
$f$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et pour tout réel $x$ , $f'(x) = k \, a \, \textrm{e} ^{a \, x} = a \, f(x)$ , donc $f$ est solution de l’équation $y' = a \, y$ .

$\bullet$ Soit $g$ une fonction dérivable solution de l’équation différentielle.
On note $h : x \mapsto \textrm{e} ^{ - a \, x} \, g(x)$ .
$h$ est dérivable sur $\mathbb{R}$ et vérifie pour tout réel $x$ ,
$h'(x) = - a \, \textrm{e} ^{- a \, x} \, g(x) + \textrm{e} ^{ - a\, x} \, g'(x)$ .
Pour tout réel $x$ , $g'(x) = - a \, g(x)$ , donc $h'(x) = 0$ , alors $h$ est une fonction constante égale à $k$ sur $\mathbb{R}$
Pour tout $x$ , $h(x) = k$ donne $g(x) = k \, \textrm{e} ^{a \, x}$ .
Toute solution est de la forme $\qquad \mathbb{R} \to \mathbb{R}, \, x \mapsto k \, \textrm{e}^{a\, x}$ où $k \in \mathbb{R}$ .

Propriété : Soit $(x_0 \,,\, y_0) \in \mathbb{R}^2$ , il existe une unique solution $h$ de $y' = a \, y$ telle que $h(x_0) = y_0\,$ .

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5.Méthode d’Euler

Principe de la méthode d’Euler :

Soit $f$ une fonction dérivable sur $I$ , d’après l’approximation affine, pour un pas $p$ petit :
si $x, x+p \in I$ , $\qquad \quad f (x + p) \approx f (x) + p f ′(x)$

Si $f$ vérifie une équation différentielle d’ordre $1$ , on peut remplacer $f'(x)$ par une expression en fonction de $f(x)$ et $x$ er donc obtenir une approximation de $f(x + p)$ en fonction de $f(x) ,\, x$ et $p$
Si l’on connaît une condition initiale $f'(x_0) = y_0$ , en utilisant l’approxima- tion affine de façon itérative, on peut déterminer des valeurs approchées de $f(x)$ pour $x \in I$ .

⚠️ il se peut que l’approximation ne soit pas bonne quand on s’éloigne trop de $x_0$ .

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