Chapitres Maths en Terminale Générale

Les fonctions trigonométriques en terminale

Name: Groupe Réussite: Cours particuliers, stages intensifs de révision
Brand: Groupe Réussite
SKU: Cours Particuliers
Rating: 4.8 (1000 reviews)

Résumé de cours Exercices et corrigés

Cours en ligne de Maths en Terminale

Résumé de cours sur les fonctions trigonométriques en Terminale :

Entraînez-vous et vérifiez vos connaissances grâce à notre cours en ligne sur le chapitre des fonctions trigonométriques au programme de maths en terminale. Certaines notions du chapitre peuvent poser des difficultés, c’est pourquoi de nombreux élèves du lycée et notamment de terminale font appel à un professeur particulier de maths. Prendre des cours particuliers de maths, permet à l’élève de se rassurer et de venir plus confiant en cours et par conséquent plus confiant pour la préparation du bac en fin d’année. Ces cours particuliers peuvent bien entendu être des cours particuliers à domicile comme des cours particuliers en ligne.

Plan du cours sur les fonctions trigonométriques de Terminale

1. Rappels : parité et périodicité
2. En utilisant le cercle trigonométrique
3. Étude de la fonction cosinus
4. Étude de la fonction sinus
5. Équation $\cos(x) = a$ et inéquation $\cos(x) \leqslant a$
6. Équation $\sin(x) = a$ et inéquation $\sin(x) \leqslant a$

On suppose dans tout le chapitre que l’on se place dans le plan usuel $\mathcal{P}$ rapporté au repère orthonormé direct $\mathcal{R} \left ( O , \, \overrightarrow{i} \, ,\, \overrightarrow{j} \right )$ .

1. Rappels : parité et périodicité des fonctions trigonométriques

$\bullet$ Soit $\overrightarrow{u}$ un vecteur.
La translation de vecteur $\overrightarrow{u}$ est l’application $t _ {\overrightarrow{u}} : \mathcal{P} \to \mathcal{P},\, M \mapsto M'$ avec $\overrightarrow{M \, M'} = \overrightarrow{u}$ .
Si $\overrightarrow{u} \, (\alpha\,,\, \beta)$ , si $M$ a pour coordonnées $(x , y)$ , $M' = t _ {\overrightarrow{u}}(M)$ a pour coordonnées
$\qquad$ $x' = x + \alpha$ et $y' = y + \beta$ .

$\bullet$ Soit $I$ un intervalle de $\mathbb{R}$ centré en $0$ (c’est-à-dire de la forme $]-a , a[$ , $[-a , a]$ où $a \in \mathbb{R}$ ou $I = \mathbb{R}$ ).
Soit $f : I \to \mathbb{R}$ .
$\ast$ $f$ est une fonction paire si pour tout $x \in I$ , $f(- x) = f(x)$ .
Si $f$ est une fonction paire, son graphe est symétrique par rapport à l’axe $Oy$ .

$\ast$ $f$ est une fonction impaire si pour tout $x \in I$ , $f(- x) = -f(x)$ .
Si $f$ est impaire, son graphe est symétrique par rapport au point $O$ .

$\bullet$ Soit $T > 0$ et $\mathcal{D}$ une partie de $\mathbb{R}$ telle que si $x \in \mathcal{D}$ ,
$\quad$ pour tout $n \in \mathbb{Z}, \, x + n \, T \in \mathcal{D}$ .
Soit $f : \mathcal{D} \to \mathbb{R}$ .
$f$ est une fonction périodique de période $T$ lorsque pour tout $x \in \mathcal{D}$ , $f(x + T) = f(x)$ .

Pour une fonction périodique de période $T$ et paire ou impaire, choisir de l’étudier
$...$ d’abord sur $[ - T/2 \, ,\, T/2] \cap \mathcal{D}$ (utilisation de la périodicité)
$...$ puis par la suite sur $[0 \, ,\, T/2] \cap \mathcal{D}$ (pour utiliser la parité).

AVOIR LES MEILLEURS PROFS DE MATHS

C'est gagner en autonomie

2. En utilisant le cercle trigonométrique en Terminale

On note $\Gamma$ le cercle de centre $O$ et de rayon 1.
Soit $M(x)$ de $\Gamma$ tel que $x$ soit une mesure de l’angle $\left( \overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{OM} \right )$ .

On rappelle les résultats :

$\bullet$ Tout réel $x + 2\, k \, \pi$ est aussi une mesure de l’angle $\left( \overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{OM} \right )$ et que l’on écrit $\left( \overrightarrow{i}\,,\,\overrightarrow{OM} \right ) = x \;\; (2\, \pi)$ .

$\bullet$ Les coordonnées de $M(x)$ sont $(\cos(x)\,,\, \sin(x))$ .

$\bullet$ Pour tout réel $x$ , $\qquad \quad \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1$ .

$\bullet$ Pour tout réel $x$ ,
$\qquad \, \cos(x + 2\, \pi) = \cos(x)$
$\quad$ et $\sin(x + 2\, \pi) = \sin(x)$
ce que l’on traduit en disant que les fonctions $\cos$ et $\sin$ sont périodiques de période $2\, \pi$ .

$\bullet$ Pour tout réel $x$ , $\cos(- x ) = \cos(x)$ et $\sin(- x ) = -\sin(x)$ ,
ce que l’on traduit en disant que la fonction $\cos$ est paire et la fonction $\sin$ est impaire.

$\bullet$ Pour tout réel $x$ , $\qquad \, \cos(\pi - x ) =- \cos(x)$
$\quad$ et $\sin(\pi - x ) = \sin(x)$
en utilisant $M(\pi - x)$ et $M(x)$ sont symétriques par rapport à $Oy$ .

$\bullet$ Pour tout réel $x$ , $\qquad \, \cos(\pi + x ) =- \cos(x)$
$\quad$ et $\sin(\pi + x ) = - \sin(x)$
en utilisant $M(\pi + x)$ et $M(x)$ sont symétriques par rapport à $O$ .

$\bullet$ Pour tout réel $x$ , $\qquad \displaystyle \, \cos\left (\frac {\pi} 2 - x \right ) = \sin(x)$
$\quad$ et $\displaystyle \sin\left (\frac {\pi} 2 - x \right ) = \cos(x)$ .

$\bullet$ Les valeurs à connaître
$\begin{vmatrix} ---&-&---&-&----\\ t&\big |& \cos(t)&\big | & \sin(t) \\ ---&\vert&---&\vert&----\\ 0&\big |& 1&\big | & 0 \\ ---&\big |&---&\big |&----\\ \displaystyle \frac {\pi} 6 &\Big | & \displaystyle \frac {\sqrt{3}} 2&\Big |& \displaystyle \frac {1} 2 \\ ---&\big |&---&\big |&----\\ \displaystyle \frac {\pi}4 &\Big |& \displaystyle \frac {\sqrt{2}} 2&\Big | & \displaystyle \frac {\sqrt{2}} 2\\ ---&\big |&---&\big |&----\\ \displaystyle \frac {\pi} 3 &\Big | & \displaystyle \frac {1} 2&\Big | & \displaystyle \frac {\sqrt{3}} 2 \\ ---&\big |&---&\big |&----\\ \displaystyle \frac {\pi} 2 &\Big | & 0&\Big | & 1\\ ---&-&---&-&----\\\end{vmatrix}$

3. Etude de la fonction cosinus, fonction trigonométrique de Terminale

$\bullet$ La fonction cosinus est définie et continue sur $\mathbb{R}$ , périodique de période $2 \, \pi$ et paire.

Il suffit de l’étudier sur : $[- \, \pi\,,\, \pi]$ et enfin sur $[0, \, \pi]$ .

On complète le graphe par symétrie par rapport à l’axe $Oy$ puis par translation de vecteur $2\, \pi \, \overrightarrow{i}$ .

$\bullet$ La fonction cosinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et de dérivée $x \mapsto - \sin(x)$
Elle est strictement décroissante sur $[0 , \pi]$ .

Remarque Pour tout réel $x$ , $\qquad \quad \displaystyle \cos'(x) = \sin \left (x + \frac {\pi} 2 \right )$ .

$\bullet$ On obtient donc le tableau de variation suivant et le graphe :

$\bullet$ Si $u$ est une fonction dérivable sur l’intervalle $I$ , $f : x \mapsto \cos(u(x))$ est une fonction dérivable sur $I$ et si $x \in I$ , $f'(x) = - u'(x) \, \sin(u(x))$ .

$\bullet$ La fonction $\cos$ est continue et strictement décroissante sur $[0 , \, \pi]$ avec $\cos(0) = 0$ et $\cos(\pi) = - 1$ , donc pour tout $a \in [- 1,\, 1]$ , il existe un unique $\alpha \in [0 , \, \pi]$ tel que $a = \cos(\alpha)$ .

$\bullet$ La fonction $\cos$ n’a pas de limite en $\pm \infty$ .

$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac {1 - \cos(x)} x = 0$ .

COURS DE MATHS A DOMICILE

Les meilleurs profs de maths pour
réussir sa scolarité

En ligne ou à domicile

Avis Google France ★★★★★ 4,9 sur 5

4. Etude de la fonction sinus, fonction trigonométrique de Terminale

$\bullet$ La fonction sinus est définie et continue sur $\mathbb{R}$ , périodique de période $2 \, \pi$ et impaire.
Il suffit de l’étudier sur $[- \, \pi\,,\, \pi]$ et enfin sur $[0, \, \pi]$ .
On le complète par symétrie par rapport au point $O$ puis par translation de vecteur $2\, \pi \, \overrightarrow{i}$ .

$\bullet$ La fonction sinus est dérivable sur $\mathbb{R}$ et de dérivée $x \mapsto \cos(x)$ .
Elle est strictement croissante sur $[0 , \pi/2]$ et strictement décroissante sur $[\pi/2 , \pi]$ .

Remarque : Pour tout réel $x$ , $\qquad \quad \displaystyle \sin'(x) = \cos \left (x + \frac {\pi} 2 \right )$ .

$\bullet$ On obtient donc le tableau de variation suivant et le graphe :

Dans le même repère, les graphes des fonctions $\sin$ et $\cos$ .

$\bullet$ Si $u$ est une fonction dérivable sur l’intervalle $I$ , $f : x \mapsto \sin(u(x))$ est une fonction dérivable sur $I$ et si $x \in I$ , $f'(x) = u'(x) \, \cos(u(x))$ .

$\bullet$ La fonction $\sin$ n’a pas de limite en $\pm \,\infty$ .

$\bullet$ $\displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac {\sin(x)} x = 1$

5. Équation $\cos(x) = a$ $\textrm{ET INEQUATION } \cos(x) \leqslant a$

L’équation $\cos(x) = a$ en Trigonométrie en Terminale

$\bullet$ Si $a \notin [ - 1 , 1]$ , l’équation $\cos(x) = a$ n’a pas de solution.
$\bullet$ $\cos(x) = 1$ ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x = 2\, k \, \pi$ .
$\bullet$ $\cos(x) = - 1$ ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x = \pi + 2\, k \, \pi$ .
$\bullet$ Si $a \in \; ] - 1 , 1[$ , on peut trouver $\alpha \in\; ]0 ,\, \pi[$ tel que $a = \cos(\alpha)$ .
$\cos(x) = \cos(\alpha)$ ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x = \alpha + 2 \, k \, \pi$ ou $x = - \alpha + 2\, k\, \pi$

L’inéquation $\cos(x) \leqslant a]$ en Trigonométrie en Terminale

$\bullet$ Si $a \leqslant - 1$ , l’équation $\cos(x) \leqslant a$ n’a pas de solution.

$\bullet$ $\cos(x) \leqslant - 1$ ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x = \pi + 2\, k \, \pi$ .

$\bullet$ Si $a \in \; ] - 1 , 1[$ , on peut trouver $\alpha \in \; ]0 , \, \pi[$ tel que $a = \cos(\alpha)$ .
$\cos(x) \leqslant \cos(\alpha)$ ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que
$\quad x \in [\pi - a + 2 \, k \, \pi\,,\, \pi + a + 2\, k\, \pi]$ .

$\bullet$ Si $a \geqslant 1$ , l’ensemble des solutions est $\mathbb{R}$ .

Si $\alpha \in\; ]0 , \, \pi[$
$\cos(x) \geqslant \cos(\alpha)$ ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x \in [ - \alpha + 2\, k \, \pi\,,\, \alpha + 2 \, k \, \pi]$ .

6. Équation $\sin(x) = a$ $\textrm{ ET INEQUATION }$ $\sin(x) \leqslant a$

Équation $\sin(x) = a$

$\bullet$ Si $a \notin [ - 1 , 1]$ , l’équation $\sin(x) = a$ n’a pas de solution.

$\bullet$ $\sin(x) = 1$ ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\displaystyle x = \frac {\pi} 2 + 2\, k \, \pi$ .

$\bullet$ $\sin(x) = - 1$ ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $\displaystyle x = - \frac {\pi} 2 + 2\, k \, \pi$ .

$\bullet$ Si $a \in \; ] - 1 , 1[$ , on peut trouver $\alpha \in \; \left ]-\dfrac {\pi} 2 ,\, \dfrac { \pi} 2 \right [$ tel que $a = \sin(\alpha)$ .
$\sin(x) = \sin(\alpha)$ ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x = \alpha + 2 \, k \, \pi$
$\quad$ ou $x =\pi - \alpha + 2\, k\, \pi$ .

Inéquation $\sin(x) \leqslant a$

$\bullet$ Si $a< - 1$ , l’équation $\sin(x) \leqslant a$ n’a pas de solution.

$\bullet$ $\sin(x) \leqslant - 1$ ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x = \displaystyle \frac {3\, \pi} 2 + 2\, k \, \pi$ .

$\bullet$ Si $a \in \; ] - 1 , 1[$ , on peut trouver $\alpha \in \; \left ]-\dfrac {\pi} 2 ,\, \dfrac { \pi} 2 \right [$ tel que $a = \sin(\alpha)$ .
$\sin(x) \leqslant \sin(\alpha)$ ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que
$\;\; x \in [\pi - \alpha + 2 \, k \, \pi\,,\, 2 \pi + \alpha + 2\, k\, \pi]$ .

$\bullet$ Si $a \geqslant 1$ , l’ensemble des solutions est $\mathbb{R}$ .

Si $\alpha \in \; \left ]-\dfrac {\pi} 2 ,\, \dfrac { \pi} 2 \right [$ ,
$\sin(x) \geqslant \sin(\alpha)$ ssi il existe $k \in \mathbb{Z}$ tel que $x \in [ \alpha + 2\, k \, \pi\,,\, \pi - \alpha + 2 \, k \, \pi]$ .

Une bonne préparation au bac est une préparation qui a été faite sur le long terme. Ainsi, si l’élève de terminale s’entraîne régulièrement sur les annales du bac en maths, et sur des cours de mathématiques en ligne en Terminale dont :

il n’aura aucun difficulté à réaliser les exercices le jour de examen, obtiendra de très bons résultats au bac et n’aura aucun difficulté à obtenir une mention.

Les fonctions trigonométriques en terminale

Résumé de cours sur les fonctions trigonométriques en Terminale :

Plan du cours sur les fonctions trigonométriques de Terminale